М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 6

В самом деле, имеем: г1з,=г г,((сов ф, созфа — з1пф, з1пф )+1(з(пф, сов фа+ + з!п ф, соз ф )) = Г гт (сов (ф, + ф ) + 1 з1п(ф, + ф )). (5) Отсюда следует, что при умножении комплексного числа г~ на га всктоР г1 РастЯгиваетсЯ в 1га~ Раз') и, кРоме того, поворачивается (против часовой стрелки) на угол агдам В частности, умножение комплексного числа г на 1 сводится к повороту (без растяжения) вектора г на прямой угол против часовой стрелки. Рис. 3.

Рис. 2. На рис. 2 изобразкено построение произведения г = г,яа: чтобы получить г, достаточно на отрезке Ог, как на основании построить треугольник Оз1г, подобный треугольнику 01аа. Далее, деление комплексного числа г1 на га сводится к умножению г~ на 1/га, поэтому можно ограничиться выяснением геометрического смысла операции ю = 1/г. Пусть сначала 1Я~ = 1 (Рис.

3). ') Если 1а,1 < 1, то а, фактически сжимается в 1/1аа1 раа. Ь КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Восстании из точки г перпендикуляр к лучу Ог и через точку ь пересечения перпендикуляра с окружностью )г) = 1 проведем касательную к этой окружности. Для точки а пересечения построенной касательной с лучом Ог имеем, очевидно, Агфа =Агре, а из подобия прямоугольных треугольников Ог~ и Оьа имеем — — откуда 1а1 1ь1 17! ! )а1= —, ! 7! нбо 1Ь1= 1. Таким образом, число а является сопряженным с 1/г, а = 1/г, и для получения точки ш = 1/г остается построить точку, симметричную с а относительно действительной оси. Переход от точки г к точке а = 1/г называется инверсией', или симметрией' относительно единичной окружности !г~ = 1.

Таким образом, операция ш = 1/» геометрически сводится к выполнению двух последовательных симметрий — инверсии и симметрин относительно действительной оси. гя Если )г~) 1, то описанные построения следует вести в У обратном порядке; если 1»~= = 1, то точка а = 1/г совпадает с г и построение ш = 1/г сводится к симметрии относительно действительной оси.

Геометрический смысл возведения в -степень ясен из пре- Рас. 4. дыдущего. Для построения корней н-и степени из г заметим, что нз определения корня л и формулы (5) для ш=)/г имеем )ш!" =1»), аагпш = = агпг, н поэтому !ге!=)т)»1, агпа= — '" '. (6) Первое из соотношений (6) показывает, что модули всех корней одинаковы, второе, — что их аргументы отличаются на кратное 2Л/н, нбо к значению агп г можно добавлять кратное 2П.

Отсюда следует, что корень п-й степени из любого комплексного ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 16 числа г Ф 0 имеет л различных значений и что эти значения располагаются в вершинах правильного п-угольника, вписан- и ного в окружность )гв) =)Г~ з ~ (см, рис. 4, где и = б), й 2. Функции комплексного переменного В этом параграфе мы введем наиболее фундаментальные понятия теории функций комплексного переменного: понятие функции комплексного переменного, ее предела, производной и, наконец, понятие аналитической функции.

Центральное место занимает здесь теорема п. 5, устанавливающая условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Этн условия обычно называются условиями Коши — Римана, однако задолго до Коши и Римана они весьма существенно использовались в работах Даламбера и Эйлера (см.

введение к этой главе) . 3. Геометрические понятия. Областью на комплексной плоскости называют множество Г1 точек, обладающее следующими свойствами: 1) вместе с каждой точкой из В этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открьпости), 2) любые две точки тт можно соединить ломаной, состоящей из точек Г1 (свойство связности), Простыми примерами областей ма- ° а Г гут служить окрестности точек на ком.= плексной плоскости. Под и-окрестно- стью точки а понимают открытый круг Гь А = радИуСа Е С цЕНтрОМ В ЭтОй ТОЧКЕ,т.

Е. совокупность точек г, удовлетворяющих неравенству ~ з — а ~ < е. Рис, 5 Граничной точкой области ст назы- вают такую точку, которая сама не принадлежит ст, но в любой окрестности которой лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области ст назы. вают границей этой области. Область Р с присоединенной к ней границей обозначают символом Гт и называют занкнутой областью. Мы будем предполагать, что граница области состоит нз конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек (мы не даем определения этих понятий; см, рис. 5, где граница области состоит нз трех замкнутых линий Гм Гь Гь двух разрезов ун уз и одной точки а). Линии и разрезы, входящие~в со- 5 З.

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО став границы, мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими, т. е. состояшими из конечного числа гладких дуг (дуг с непрерывно изменяюшейся касательной). В случае ограниченной области В число связных частей, на которые разбивается ее граница, называется порядком связности *) этой области (на рнс. 5 изображена пятисвязная область; Го н у| образуют одну связную часть границы). В частности, если граница области 0 связна (состоит из одной связной части), то сз называется односвязной областью. Пусть  — односвязная область и г ' с Я Г вЂ” ее граница.

Выберем на Г какую- либо точку и будем, отправляясь из этой точки, обходить Г в положительном направлении. Положительным направлением обхода границы области считается такое, при котором область остается все время слева. При этом некоторые точки Г будут проходить- Рис.

6. ся лишь один раз (например, А на рнс. 6), другие — несколько раз (например,  — два раза, С— три раза). Точки первого типа мы назовем простечми, а второго типа — кратными точками контура 1, причем число раз, которое проходится точка, назовем ее кратностью ( — двойная точна, С вЂ” тройная). Понятие кратности граничной точки распространяется и на многосвязные области, 4. Функции комплексного переменного. Говорят, что на множестве М точек плоскости з задана функция тв =) (е), (1) если указан закон, по которому каждой точке е из М ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек тв.

В первом случае функция 1(з) называется однозначной, во втором — многозначной. Множество М называется множеством определения функции ~(г), а совокупность Лт всех значений ти, которые )(з) принимает на М,— л~ножеством ее изл~енения, В дальнейшем наиболее важную роль будет играть тот случай, когда множества М и У являются областями (см. теорему нн стр. 2!). Если положить г = к+ чу и тв = и+ ш, то задание функции комплексного переменного ш = 1" (е) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: и=и(х, у), п=п(х, у).

(2) *] Распространение определения порядка связности на неограниченные области см. в п. ВИ (Область 0 называется ограниченной, если она принад- лсачит некоторому кругу ~а~ ( и.) 18 гл. !. Основные понятия Условим кладывать значения г на одной комплексной плоскости, ачения и — на другой. Тогда функцию комплексного енного можно геометрически представлять как некоторое ажение множества М плоскости г на множество Л( пл и из. Если функция и = 7(г) однозначна на множестве при атом двум различным точкам М всегда соответствуют различные точки Ъ', то такое отображение называется взаимно однозначнын или однолисгныл! в М. Пусть дана функция в = )(г), осуществляющая отображение множества М на множество Л|. Функция з = ф(те), ставящая в соответствие каждой точке ю из У совокупность всех тех точек г, которые функцией в = ((г) отображаются в точку ю, называется обратной к функции ю = !'(е) (рис. 7).

Ясно, что отображение те = ! (Е) будет взаимно однозначным тогда и только тогда, когда обе функции 7 и |р однозначны. Пусть функция из =)(е) отображает множество М на |т1, а ю = а(ю) — множество У на Р. Функция ю = й (е) = й [) (е)), (3) отображающая М на Р, называется сложной функцией, составленной из ) и д, а соответствующее отображение а — сулернозицией отображений ) и а (рис.

7). Если, в частности, отображение ц| = ((г) взаимно однозначно и функция г = = ср(ю) — обратная к 1, то ф [!'(Е)) =г. (4) П р и н е р. Линейная функция определяется во всей плоскости соотно|пением ю =аз+ Ь, (5) а Ф 0 и Ь вЂ” произвольные комплекс- Рнс. 8.

ные постоннные. (1оло|кин Ь = (а[, а = Лгк а, т. е. а =- А(соз а+ 1 Мп а), и предстквнм функцию (5) кнк ело кную функцию, составленную нз функций: н) е, = (соза + ! Мп а) л; б) ле = Ьл| в) ю = яя + Ь. 5 2. ФУНКЦНН КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО !9 Вспоминая геометрический смысл умножения (п. 2), мы видим, что отображения а) н б) сводятся соответственно к повороту плоскости х на угол и н подобному преобразованию плоскости х, с коэффициентом подобия д Отображение в) геометрически означает сдвиг всей плоскости хз на постоянный вектор Ь.