Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 5

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 5 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 5 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 5 - страница

14, 15 и др.). Комплекснымн числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в ХИ11 в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика ХИН в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (!740 — 1749), даны условия днфференцируемости ") (1755) и начала интегральгюго исчисления функций комплексного переменного (1777).

Леонард Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам ') К этим условиям пришел в )782 г. также Жан Гх а л а м б е р ()7)7 — !783), который исходил иэ гидродинамияеских соображений. Однако именно в работах Эйлера впервые выясняется общий характер условий дяфференнируемости.

19 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и положил начало применению их в гидродинамике (1755— 1757) и картографии (177?). 11осле Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине Х1Х в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и Карлу В ей ерш т р а с с у (18!5 — !897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Р им а ну (1826 — 1856), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения, 9 1.

Комплексные числа Для удобства читателя мы изложим здесь основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел„ действиям с ними и их геометрической ил.люстрации*). 1. Комплексные числа. Комплекснылг числом называется выражение вида х+ !у, где х и у — действительные числа, а 1'— символ, который называется мнимой единицей. Числа х и у называются, соответственно, действительной и лгнимой частями комплексного числа х+(у и обозначаются символами х = Ке(х + (у), у = !гп(х+ гу). (1) Если, в частности, у = О, то х+ 10 считается совпадающим с действительным числом х; если х = О, то О+ гу обозначается просто гу и называется чисто мнимым. Определим на множестве комплексных чисел понятие равенства и простейшие операции.

Будем говорить, что комплексные числа х1+ гу1 и ха+ гух рваны, (2) х, +ту, =ха+сух. тогда и только тогда, когда х1 = хм у1 = ух. Отметим еще, что если х, = х,, а уз — — — ун то комплексное число х, + гух называется сопряженнылг с х! + 1у, н *) Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных из отрицательных чисел относится еше к ХН! в. (Лж. К а р да н а, 1545). До середины ХН1П в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отделыгых математиков (И Н ь юг о н, Н.

Б ер н у л л и, А. Клер о). Первое наложение теории комплексных чисел иа русском языке принадлежит Л. Э й л е р у («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена иа иностранные языки н многократно переиздавалась) символ «Ы также введен Л. Э й л е р о и. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относятся к концу ХН)П в. (датчанин Каспар В е с селе« 1799 г ). % |. комплексные числл обозначается символом х| + 1уь Таким образом, х+ |у = х — |у. Перейдем к определению операций над комплексными числами.

1) С л о ж е н и е. Суммой г| + гз комплексных чисел г| = = х|+ 1у| и гз —— хз+ 1уз называется комплексное число г =г, + г,=(х, + х,)+ |(у, + у,). (4) Из данного определения непосредственно вытекают следующие законы сложения: а) переместительный: г|+ гз = гз+ г|, б) сочетательный'; г| + (гз+ гз) = («| + «з) + гз. Если г, и гз действительные числа (т.

е. у| = уз = 0), то определение (4) совйадает с определением сложения для действительных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел «| —— — х;+ 1у| и г, = хз+ |уз можно найти такое число г, что гз+ г = г|. Это число называется разностью чисел г, и гз и обозначается символом «| — гз. Очевидно, г = г, — гз — — (х| — хз) + 1(у| — уз).

(5) 2) У м н о ж е н н е. Произведением г,гз комплексных чисел «, = х|+ |у| и «з — — хз+ |уз называется комплексное число г = г|«з = (х|хз — у|уз) + | (х|уз + у|хз). (6) Из определения вытекают следующие законы умножения: а) переместительный: г,«з = «з«,; б) сочетательный: г|(гггз) =(г|гг)гз: в) распределительный (относительно сложения): (г| + гз) «з = г|гз + гзгз.

Если «| и гз — действительные числа, то определение (6) совпадает с обычным. При г| — — гз = | из определения произведения следует: 1 ° 1= — 1. (7) Легко заметить, что формула (6) получается при перемножении х|+|у| и хз+ |уз по обычным правилам алгебры и замене произведения 1 1 через — 1. Отметим еще, что произведение комплексного числа г = х + 1у на сопряженное с ннм всегда неотрицательно. В самом деле, из равенства (6) имеем: гй = х'+ у' ) 6.

(6) Умножение также допускает обратную операцию, если только данный множитель не равен нулю. Пусть гз чь О, тогда [г ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ можно найти такое число г, что гзг = г[, для этого, соглас- но (6), надо решить систему уравнений х,х — уту = х„ у,х+ х,у= у„ (9) которая при г2 Ф 0 всегда однозначно разрешима, так как ее. определитель х~ ~-(- у22 ) О. Это число г называется частным двух чисел г, и г2 и обозначается символом г[/г2. Решая систему (9), получим: «~«2+ У~У2 1 У~«а «нуа «2+ У2 «2+ У2 2 2 2 2 (10) Легко заметить, что (10) может быть получено умножением числителя и знаменателя дроби г[/г2 на гз, 3) Возведение в целую с те пен ь.

Произведение и равных чисел г называется и-й степенью числа г и обозначается символом г": г" =г ... г. а раз (11). (здесь [( — 1 означает одно из двух его возможных значений). 2. Геометрическая иллюстрация. Рассмотрим плоскость декартовых координат хОУ и условимся изображать комплексное число г = х+ [у точкой с координатами (х, у). При этом действительные числа будут изображаться точками оси х (которую в дальнейшем мы будем называть действительной осью), чисто мнимые — точками осн у (называемой «[ниной осью).

В частности, изображением числа [ будет служить точка (О,!) мнимой оси. Легко видеть, что и обратно, каждой точке плоскости хОу с координатами (х,у) будет таким способом .поставлено в соответствие вполне определенное комплексное число г = х+ [у, так что это соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно. Поэтому Обратная операция — извлечение корня — определяется следующим образом: число и[ называется корнем и-й степени из чнса ла г, если [са = г (обозначается символом )~гг, причем для и = 2 пишут просто )тг). Ниже мы увидим, что для всяког[а г Ф 0 корень )/гг имеет и различных значений. Равенство (7) мы можем теперь записать в виде Р = — 1, и для мнимой единицы [ имеем: 1= )/ — 1 % ь кОмплексные числА !з в дальнейшем лгы не будем различать понятия комплексного числа и точки плоскости и будем говорить, например, «точка 1+ !», «треугольник с вершинами гь гь гз» и т. п.

Далее, каждой точке (х, д) соответствует вполне определенный вектор — радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу- вектору, лежащему в плоскости, — вполне определенная точка— его конец (рис. 1). Поэтому мы У будем в дальнейшем представлять комплексные числа также в виде радиусов векторов на плоскости. Из рис, 1 ясен геометрический смысл операции сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел г, и г» изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах е~ и гь В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел Рис.

к в декартовых координатах, полезно иметь их представление в полярных координатах. Для этого, как обычно, совмещаем полярную ось с положительной полуосью х, а полюс — с началом координат; тогда если обозначить через г полярный радиус н через ф полярный угол точки г (рис. !), то будем иметь: г = х + !у = г (соз ф + 1 з!п ф). Полярный радиус г называется модулем комплексного числа г и обозначается символом (е), угол ф — его аргументом и обозначается символом Агп», В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно: (г 1= 7 х»+ ра-=б, (2) аргумент определен лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2п: ~ агс!и †" + 2йп (1 и 1Ч квадРанты), ф=Агпе=( ! агс!и е +(2й+!)и (11 и 1!1» ); здесь агс!и означает главное значение Агс1п, т.

е. значение, большее — и/2 и не превосходящее и/2, й — произвольное целое число. В дальнейшем наряду с символом Агп, обозначающим гл, ь основные понятия 14 всю совокупность значений аргумента, мы будем употреблять символ агп, обозначая им одно какое-либо из значений Агд, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение берется (ср. п. 6). Очевидны следующие неравенства (см. рис. 1): 1г, +за 1(~ з, ~+1га 1; 1г, — га ~)!1г~1 — 1га11. (4) Знаки равенства в (4) имеют место тогда и только тогда, когда Агд г~ — — Агд га или одно из чисел — нуль, Из определения (6) предыдущего пункта следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее