М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 5

14, 15 и др.). Комплекснымн числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в ХИ11 в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика ХИН в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного, включая логарифм, показательную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции (!740 — 1749), даны условия днфференцируемости ") (1755) и начала интегральгюго исчисления функций комплексного переменного (1777).

Леонард Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам ') К этим условиям пришел в )782 г. также Жан Гх а л а м б е р ()7)7 — !783), который исходил иэ гидродинамияеских соображений. Однако именно в работах Эйлера впервые выясняется общий характер условий дяфференнируемости.

19 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и положил начало применению их в гидродинамике (1755— 1757) и картографии (177?). 11осле Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине Х1Х в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789— 1857) и Карлу В ей ерш т р а с с у (18!5 — !897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Р им а ну (1826 — 1856), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложения, 9 1.

Комплексные числа Для удобства читателя мы изложим здесь основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел„ действиям с ними и их геометрической ил.люстрации*). 1. Комплексные числа. Комплекснылг числом называется выражение вида х+ !у, где х и у — действительные числа, а 1'— символ, который называется мнимой единицей. Числа х и у называются, соответственно, действительной и лгнимой частями комплексного числа х+(у и обозначаются символами х = Ке(х + (у), у = !гп(х+ гу). (1) Если, в частности, у = О, то х+ 10 считается совпадающим с действительным числом х; если х = О, то О+ гу обозначается просто гу и называется чисто мнимым. Определим на множестве комплексных чисел понятие равенства и простейшие операции.

Будем говорить, что комплексные числа х1+ гу1 и ха+ гух рваны, (2) х, +ту, =ха+сух. тогда и только тогда, когда х1 = хм у1 = ух. Отметим еще, что если х, = х,, а уз — — — ун то комплексное число х, + гух называется сопряженнылг с х! + 1у, н *) Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных из отрицательных чисел относится еше к ХН! в. (Лж. К а р да н а, 1545). До середины ХН1П в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отделыгых математиков (И Н ь юг о н, Н.

Б ер н у л л и, А. Клер о). Первое наложение теории комплексных чисел иа русском языке принадлежит Л. Э й л е р у («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена иа иностранные языки н многократно переиздавалась) символ «Ы также введен Л. Э й л е р о и. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относятся к концу ХН)П в. (датчанин Каспар В е с селе« 1799 г ). % |. комплексные числл обозначается символом х| + 1уь Таким образом, х+ |у = х — |у. Перейдем к определению операций над комплексными числами.

1) С л о ж е н и е. Суммой г| + гз комплексных чисел г| = = х|+ 1у| и гз —— хз+ 1уз называется комплексное число г =г, + г,=(х, + х,)+ |(у, + у,). (4) Из данного определения непосредственно вытекают следующие законы сложения: а) переместительный: г|+ гз = гз+ г|, б) сочетательный'; г| + (гз+ гз) = («| + «з) + гз. Если г, и гз действительные числа (т.

е. у| = уз = 0), то определение (4) совйадает с определением сложения для действительных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел «| —— — х;+ 1у| и г, = хз+ |уз можно найти такое число г, что гз+ г = г|. Это число называется разностью чисел г, и гз и обозначается символом «| — гз. Очевидно, г = г, — гз — — (х| — хз) + 1(у| — уз).

(5) 2) У м н о ж е н н е. Произведением г,гз комплексных чисел «, = х|+ |у| и «з — — хз+ |уз называется комплексное число г = г|«з = (х|хз — у|уз) + | (х|уз + у|хз). (6) Из определения вытекают следующие законы умножения: а) переместительный: г,«з = «з«,; б) сочетательный: г|(гггз) =(г|гг)гз: в) распределительный (относительно сложения): (г| + гз) «з = г|гз + гзгз.

Если «| и гз — действительные числа, то определение (6) совпадает с обычным. При г| — — гз = | из определения произведения следует: 1 ° 1= — 1. (7) Легко заметить, что формула (6) получается при перемножении х|+|у| и хз+ |уз по обычным правилам алгебры и замене произведения 1 1 через — 1. Отметим еще, что произведение комплексного числа г = х + 1у на сопряженное с ннм всегда неотрицательно. В самом деле, из равенства (6) имеем: гй = х'+ у' ) 6.

(6) Умножение также допускает обратную операцию, если только данный множитель не равен нулю. Пусть гз чь О, тогда [г ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ можно найти такое число г, что гзг = г[, для этого, соглас- но (6), надо решить систему уравнений х,х — уту = х„ у,х+ х,у= у„ (9) которая при г2 Ф 0 всегда однозначно разрешима, так как ее. определитель х~ ~-(- у22 ) О. Это число г называется частным двух чисел г, и г2 и обозначается символом г[/г2. Решая систему (9), получим: «~«2+ У~У2 1 У~«а «нуа «2+ У2 «2+ У2 2 2 2 2 (10) Легко заметить, что (10) может быть получено умножением числителя и знаменателя дроби г[/г2 на гз, 3) Возведение в целую с те пен ь.

Произведение и равных чисел г называется и-й степенью числа г и обозначается символом г": г" =г ... г. а раз (11). (здесь [( — 1 означает одно из двух его возможных значений). 2. Геометрическая иллюстрация. Рассмотрим плоскость декартовых координат хОУ и условимся изображать комплексное число г = х+ [у точкой с координатами (х, у). При этом действительные числа будут изображаться точками оси х (которую в дальнейшем мы будем называть действительной осью), чисто мнимые — точками осн у (называемой «[ниной осью).

В частности, изображением числа [ будет служить точка (О,!) мнимой оси. Легко видеть, что и обратно, каждой точке плоскости хОу с координатами (х,у) будет таким способом .поставлено в соответствие вполне определенное комплексное число г = х+ [у, так что это соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно. Поэтому Обратная операция — извлечение корня — определяется следующим образом: число и[ называется корнем и-й степени из чнса ла г, если [са = г (обозначается символом )~гг, причем для и = 2 пишут просто )тг). Ниже мы увидим, что для всяког[а г Ф 0 корень )/гг имеет и различных значений. Равенство (7) мы можем теперь записать в виде Р = — 1, и для мнимой единицы [ имеем: 1= )/ — 1 % ь кОмплексные числА !з в дальнейшем лгы не будем различать понятия комплексного числа и точки плоскости и будем говорить, например, «точка 1+ !», «треугольник с вершинами гь гь гз» и т. п.

Далее, каждой точке (х, д) соответствует вполне определенный вектор — радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу- вектору, лежащему в плоскости, — вполне определенная точка— его конец (рис. 1). Поэтому мы У будем в дальнейшем представлять комплексные числа также в виде радиусов векторов на плоскости. Из рис, 1 ясен геометрический смысл операции сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел г, и г» изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах е~ и гь В дальнейшем, наряду с представлением комплексных чисел Рис.

к в декартовых координатах, полезно иметь их представление в полярных координатах. Для этого, как обычно, совмещаем полярную ось с положительной полуосью х, а полюс — с началом координат; тогда если обозначить через г полярный радиус н через ф полярный угол точки г (рис. !), то будем иметь: г = х + !у = г (соз ф + 1 з!п ф). Полярный радиус г называется модулем комплексного числа г и обозначается символом (е), угол ф — его аргументом и обозначается символом Агп», В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно: (г 1= 7 х»+ ра-=б, (2) аргумент определен лишь с точностью до любого слагаемого, кратного 2п: ~ агс!и †" + 2йп (1 и 1Ч квадРанты), ф=Агпе=( ! агс!и е +(2й+!)и (11 и 1!1» ); здесь агс!и означает главное значение Агс1п, т.

е. значение, большее — и/2 и не превосходящее и/2, й — произвольное целое число. В дальнейшем наряду с символом Агп, обозначающим гл, ь основные понятия 14 всю совокупность значений аргумента, мы будем употреблять символ агп, обозначая им одно какое-либо из значений Агд, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение берется (ср. п. 6). Очевидны следующие неравенства (см. рис. 1): 1г, +за 1(~ з, ~+1га 1; 1г, — га ~)!1г~1 — 1га11. (4) Знаки равенства в (4) имеют место тогда и только тогда, когда Агд г~ — — Агд га или одно из чисел — нуль, Из определения (6) предыдущего пункта следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.