М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 9

Тогда модуль и аргумент корня в формуле (6) будут соответственно равны Р р,р, и (0~+ Оз)(2 (см. правило извлечения корня, п. 2). Отсюда следует, что при обходе точкой ш зачкнутой линии типа У или П (рис. 12), охватывающей лишь одну из точек +1 и — 1, значение корня меняется на противоположное по знаку. В самом деле, при таком обходе О~ (или Оз) меняется на 2п, а Оз (или О,) не изменяется; следовательно, аргумент корня меняется на и, модуль же корня при обходе любого замкнутого контура возвращается к начальному значению.

Если теперь точка ш обходит замкнутую линию типа Пт' (рис. 12), охватывающую обе точки сЕ1, то значение корня не изменяется, ибо при этом и 0~ а Оз изменяются на 2п и, следовательно, аргумент корпя (0~ + Оз)/2 также изменяется на 2п. Значение корня не ~Р У' изменяется и в том случае, а В когда ш обходит замкнутую линию типа (г' (рис.

12), не у содержащую внутри себя ни одной из точек +-1, ибо при этом ни Оь ни Оз не изме- Рис. 12. няются. Таким образом, в любой области Л, в которой нельзя провести замкнутую линию, обходящую лишь одну из точек +1 илн — 1, функция (6) допускает выделение двух однозначных ветвей. Эти ветви в каждой фиксврованной точке ш отличаются знаком корня в формуле (6) и приводят к двум значениям г, связанным условием г,гз = 1.

Каждая нз этих ветвей осуществляет однолистное отображение и по теореме о производной обратной функции аналитична. Если же в области Л можно обойти точку + 1 (не обходя при этом — 1) или — 1 (не обходя +1), например, если Л содержит внутри хотя бы одну из этих точек, то в такой области ветви функции (6) нельзя отделить друг от друга. Точки ш = = ~ 1, в которых обе ветви функции (6) как бы соединяются между собой, называются гочка,ии ветвления этой функции. В качестве примера области Л первого типа можно рассматривать плоскость ш с вырезанной линией Л, соединяющей точки — 1 и +1. Если Л есть отрезок [ — 1, Ц действительной оси, то две ветви функции (6) отображают Л, соответственно, на внутренность и внешность единичного круга. Эти отображения обратны к рассмотренным выше (рис. 11).

гл. !. основныв понятия 32 1а 8. Показательная функция и логарифм. Показательную 4ункг(ию е' мы определим* ) для любого комплексного г = = х + /у соотношением ш = е' = е'+г" = е" (соз у + ! з1п у). Покажем, что: !) для действительных г = х наше определение совпадает с обычным; 2) определенная нами функция всюду аналитична; 3) сохраняется обычная формула дифференцирования (е')' = е'! (2) 4) сохраняется основное свойство показательной функции (теорема сложения): еюеп — ею+», (3) Первое свойство следует непосредственно из формулы (1), если положить в ней у = О, второе — из теоремы и. 5, ибо в любой точке плоскости справедливы условия Коши — Римана — (е сову) = — (е з(ну); д х д х дх ду (ех соз у) (ех зш у) др дх '] Читателю, которому наше определение показательной функции кажется слишком формальным, ыы рекомендуем определить ее по аналогии с такой же функцией действительного переыеиного соотнощениеы е'= Ит (1+ — ) .

При этои необходимо доказать существование предела последовательности а! комплексных чисел гл=(! + — ) прн любом» и вычислить этот предел. л/ Это проще всего сделать так: по правилам возведения н степень ныееы: н агах„=лагс1К; отбрасывая н первом выражении малую высшего у/л 1 + х/л ' порядка (х' + ут)/лэ н основании степени н заменяя но втором малый угол его р/л / 2« 1лдь тангепсоы , ыы нидни,чтосущестнуют Игп 1»„1=(пп (1+ — ) =е» 1+ х/гг' И.+ю " я.эьь л л— р и Ищ ага»„= Ищ =у. Но из сущестэозаикя этих пределов еле.

л.эао " э-эсю1+ «/л дует существование предела ("), причем мы получаем, что )е*(=ех и агу е'= ай это совпадает с фориулой (1). 4 3. злемгнтлрные Функции зз Для доказательства свойства 3), используя независимость производной от направления, вычислим е' по направлению оси х. Имеем. (Е')'= бх Е (СОЗУ+ ! З!Пу) =Е (СОЗу+ !а!ну) =Е', что и дает формулу (2) Наконец, для доказательства свойства 4) положим г! = = х! + гу!, гв — — ха + гуа! тогда е':е"=е (сову, + !япу)е" (созув+!япу)= =е*+" (сов(у, + у,) + !а)п(у, + ув)) =е'Ф" что и требуется (мы использовали, кроме определения (1), правило перемножения комплексных чисел и известные формулы тригонометрии) .

Отметим, что показательная функция ни для какого комплексного а=х+!у не обращается в нуль. В самом деле, (ее~= = ех ) О, Полагая, в частности, в соотношении (1) х = О, у = тр, получим классическую Формулу Эйлера *) е'Ф = соз !р + ! з! и !р. (4) С помощью формулы Эйлера любое комплексное число г с мо.

дулем г и аргументом !р можно записать в следующей показательной Форме: х = г (сов !р + ! я п гр) = ге'Ф. (5) Наряду со свойствамн 1) — 4), которые справедливы и в действительной н в комплексной областях, показательная функция коъгплексного переменного обладает и специфическим свойством: она оказывается периодической с чисто мнимым основным периодом 2п!'.

В самом дслс, для любого целого числа а имеем: Е'+тля! = Е'Ев"А' = Е э (б) ибо по формуле Эйлера е'та! = 1, С другой стороны, если е' =е', и г! — — х, + гу!, а~ = ха+ + тут, то из определения (1) мы имеем ех~ =е", сову! = сов уз, вшу! = япум откуда следует, что ха = х!, у, = у!+ 2йп, или гв — г! = 2йти, (7) где й — целое число. ") Л. Эйлер привел ее в своем «Ввслении в анализ бсснонс ыо малых» (!748); формулы, равносильные (4), появля!отса в его работах, начиная с !740 г. 2 М.

А. Лвврентвев н В. В. Шневт ГЛ. ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 34 Ввиду свойства периодичности изучение функции е* на всей плоскости сводится к изучению ее в полосе О (у ( 2л. Из только что проведенного анализа видно, что отображение (1) одполистпо в этой полосе; из равенства е" =е' следует соотношение (7), а полоса не содержит ни одной пары точек, связанных этим соотношением. Введем в плоскости и полярные координаты, псложив и1 = = ре1э; тогда (1) запишется в виде двух равенств (8) р = ех Следовательно, отображение (1) преобразует прямые у=уэ в лучи О=уо, а отрезки к=хо, О =у 2л — в окружности р =е" .

Полоса О ( у ( 2А преобразуется при этом в плоскость ьэ с разрезом вдоль положительной полуоси, половина этой полосы О ( у ( и — в верхнюю полуплоскость. Вообще полосы О ( 1ш г ~ й показательная функция преобразует в углы О ( агд и ( й (рис. 13). Рис. !3. Логарифмическая функция о п р е д е л я е т с я как функция, обратная показательной; число ю называется логарифмом числа г„ если е" = г; обозначение; ш= 1пг.

Из определения вытекает основное свойство логарифмов: если ш1=1пг, и юх =1п г,, то !пг1+1п гз является логарифмом числа г = г1гх: !и г, +1и г. = 1п(г,г,). (!О) В самом деле, имеем г, = е, г, = е"'ч следовательно, гг =е'"э". 1 г 4 3. ЭЛЕМЕНТЛРНЫЕ ФУНКЦИИ В частности, полагая в (10) зг =! г !, г, = е""и', получим: (п г = 1и ! е ! + г' агп. г. (1 1) В формуле (1!) символ агда может обозначать любое значение аргумента г; поэтому каждое комплексное число г ~ 0 пшеег бесчисленное множество логарифмов.

Иными словами, логарифм есть бесконечнозначная функция: ее действительная часть определяется однозначно, а мнимая — с точностью до слагаемого, кратного 2п в), Для четкости мы будем обозначать эту многозпачную функцию специальным символом Епг, так что 1.п г = !п ! а )+ г Агп а = 1и г + г (гр + 2йп). (12) Символом !из мы будем обозначать одно из значений 1.па, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение выбирается, так что во всех предыдущих формулах, содержащих символ 1п, не требуется изменения обозначения. Рассмотрим подробнее вопрос о выборе значений Епг. Как и для рассмотренных выше многозначных функций, значение Епг определяется значением аргумента, которое приписано точке е.

Предположим, что точка е, начиная от положения г, Ф О, описывает некоторую кривую С, не проходящую через начало координат. Как и выше, через агав мы обозначим однозначную и непрерывную вдоль С ветвь функции Ага г, определяемую каким-либо фиксированным начальным значением агдго. Через 1и з будем обозначать значение Епг, определяемое равенством (!1) при выбранном значении агап; очевидно, функция 1па будет однозначной и непрерывной вдоль С. Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку а = О. Когда г описывает С, точка пг =!па пробегает некоторую замкнутую кривую Г; другие значения логарифма, определяемые другим начальным значением агдас, опишут кривые Га, отличающиеся от Г лишь сдвигом на вектор 2!гяг', й = -4-1, ~2, ..., (рис. 14, сплошные линии). Если теперь С вЂ” замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая г = 0 внутрв себя, то при полном обходе ее точкой е в положительном направлении точка щ = (п г не вернется к своему первоначальному положению, а займет новое положение ш<он =що+ 2пг (рис.