Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 9

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 9 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 9 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница

Тогда модуль и аргумент корня в формуле (6) будут соответственно равны Р р,р, и (0~+ Оз)(2 (см. правило извлечения корня, п. 2). Отсюда следует, что при обходе точкой ш зачкнутой линии типа У или П (рис. 12), охватывающей лишь одну из точек +1 и — 1, значение корня меняется на противоположное по знаку. В самом деле, при таком обходе О~ (или Оз) меняется на 2п, а Оз (или О,) не изменяется; следовательно, аргумент корня меняется на и, модуль же корня при обходе любого замкнутого контура возвращается к начальному значению.

Если теперь точка ш обходит замкнутую линию типа Пт' (рис. 12), охватывающую обе точки сЕ1, то значение корня не изменяется, ибо при этом и 0~ а Оз изменяются на 2п и, следовательно, аргумент корпя (0~ + Оз)/2 также изменяется на 2п. Значение корня не ~Р У' изменяется и в том случае, а В когда ш обходит замкнутую линию типа (г' (рис.

12), не у содержащую внутри себя ни одной из точек +-1, ибо при этом ни Оь ни Оз не изме- Рис. 12. няются. Таким образом, в любой области Л, в которой нельзя провести замкнутую линию, обходящую лишь одну из точек +1 илн — 1, функция (6) допускает выделение двух однозначных ветвей. Эти ветви в каждой фиксврованной точке ш отличаются знаком корня в формуле (6) и приводят к двум значениям г, связанным условием г,гз = 1.

Каждая нз этих ветвей осуществляет однолистное отображение и по теореме о производной обратной функции аналитична. Если же в области Л можно обойти точку + 1 (не обходя при этом — 1) или — 1 (не обходя +1), например, если Л содержит внутри хотя бы одну из этих точек, то в такой области ветви функции (6) нельзя отделить друг от друга. Точки ш = = ~ 1, в которых обе ветви функции (6) как бы соединяются между собой, называются гочка,ии ветвления этой функции. В качестве примера области Л первого типа можно рассматривать плоскость ш с вырезанной линией Л, соединяющей точки — 1 и +1. Если Л есть отрезок [ — 1, Ц действительной оси, то две ветви функции (6) отображают Л, соответственно, на внутренность и внешность единичного круга. Эти отображения обратны к рассмотренным выше (рис. 11).

гл. !. основныв понятия 32 1а 8. Показательная функция и логарифм. Показательную 4ункг(ию е' мы определим* ) для любого комплексного г = = х + /у соотношением ш = е' = е'+г" = е" (соз у + ! з1п у). Покажем, что: !) для действительных г = х наше определение совпадает с обычным; 2) определенная нами функция всюду аналитична; 3) сохраняется обычная формула дифференцирования (е')' = е'! (2) 4) сохраняется основное свойство показательной функции (теорема сложения): еюеп — ею+», (3) Первое свойство следует непосредственно из формулы (1), если положить в ней у = О, второе — из теоремы и. 5, ибо в любой точке плоскости справедливы условия Коши — Римана — (е сову) = — (е з(ну); д х д х дх ду (ех соз у) (ех зш у) др дх '] Читателю, которому наше определение показательной функции кажется слишком формальным, ыы рекомендуем определить ее по аналогии с такой же функцией действительного переыеиного соотнощениеы е'= Ит (1+ — ) .

При этои необходимо доказать существование предела последовательности а! комплексных чисел гл=(! + — ) прн любом» и вычислить этот предел. л/ Это проще всего сделать так: по правилам возведения н степень ныееы: н агах„=лагс1К; отбрасывая н первом выражении малую высшего у/л 1 + х/л ' порядка (х' + ут)/лэ н основании степени н заменяя но втором малый угол его р/л / 2« 1лдь тангепсоы , ыы нидни,чтосущестнуют Игп 1»„1=(пп (1+ — ) =е» 1+ х/гг' И.+ю " я.эьь л л— р и Ищ ага»„= Ищ =у. Но из сущестэозаикя этих пределов еле.

л.эао " э-эсю1+ «/л дует существование предела ("), причем мы получаем, что )е*(=ех и агу е'= ай это совпадает с фориулой (1). 4 3. злемгнтлрные Функции зз Для доказательства свойства 3), используя независимость производной от направления, вычислим е' по направлению оси х. Имеем. (Е')'= бх Е (СОЗУ+ ! З!Пу) =Е (СОЗу+ !а!ну) =Е', что и дает формулу (2) Наконец, для доказательства свойства 4) положим г! = = х! + гу!, гв — — ха + гуа! тогда е':е"=е (сову, + !япу)е" (созув+!япу)= =е*+" (сов(у, + у,) + !а)п(у, + ув)) =е'Ф" что и требуется (мы использовали, кроме определения (1), правило перемножения комплексных чисел и известные формулы тригонометрии) .

Отметим, что показательная функция ни для какого комплексного а=х+!у не обращается в нуль. В самом деле, (ее~= = ех ) О, Полагая, в частности, в соотношении (1) х = О, у = тр, получим классическую Формулу Эйлера *) е'Ф = соз !р + ! з! и !р. (4) С помощью формулы Эйлера любое комплексное число г с мо.

дулем г и аргументом !р можно записать в следующей показательной Форме: х = г (сов !р + ! я п гр) = ге'Ф. (5) Наряду со свойствамн 1) — 4), которые справедливы и в действительной н в комплексной областях, показательная функция коъгплексного переменного обладает и специфическим свойством: она оказывается периодической с чисто мнимым основным периодом 2п!'.

В самом дслс, для любого целого числа а имеем: Е'+тля! = Е'Ев"А' = Е э (б) ибо по формуле Эйлера е'та! = 1, С другой стороны, если е' =е', и г! — — х, + гу!, а~ = ха+ + тут, то из определения (1) мы имеем ех~ =е", сову! = сов уз, вшу! = япум откуда следует, что ха = х!, у, = у!+ 2йп, или гв — г! = 2йти, (7) где й — целое число. ") Л. Эйлер привел ее в своем «Ввслении в анализ бсснонс ыо малых» (!748); формулы, равносильные (4), появля!отса в его работах, начиная с !740 г. 2 М.

А. Лвврентвев н В. В. Шневт ГЛ. ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 34 Ввиду свойства периодичности изучение функции е* на всей плоскости сводится к изучению ее в полосе О (у ( 2л. Из только что проведенного анализа видно, что отображение (1) одполистпо в этой полосе; из равенства е" =е' следует соотношение (7), а полоса не содержит ни одной пары точек, связанных этим соотношением. Введем в плоскости и полярные координаты, псложив и1 = = ре1э; тогда (1) запишется в виде двух равенств (8) р = ех Следовательно, отображение (1) преобразует прямые у=уэ в лучи О=уо, а отрезки к=хо, О =у 2л — в окружности р =е" .

Полоса О ( у ( 2А преобразуется при этом в плоскость ьэ с разрезом вдоль положительной полуоси, половина этой полосы О ( у ( и — в верхнюю полуплоскость. Вообще полосы О ( 1ш г ~ й показательная функция преобразует в углы О ( агд и ( й (рис. 13). Рис. !3. Логарифмическая функция о п р е д е л я е т с я как функция, обратная показательной; число ю называется логарифмом числа г„ если е" = г; обозначение; ш= 1пг.

Из определения вытекает основное свойство логарифмов: если ш1=1пг, и юх =1п г,, то !пг1+1п гз является логарифмом числа г = г1гх: !и г, +1и г. = 1п(г,г,). (!О) В самом деле, имеем г, = е, г, = е"'ч следовательно, гг =е'"э". 1 г 4 3. ЭЛЕМЕНТЛРНЫЕ ФУНКЦИИ В частности, полагая в (10) зг =! г !, г, = е""и', получим: (п г = 1и ! е ! + г' агп. г. (1 1) В формуле (1!) символ агда может обозначать любое значение аргумента г; поэтому каждое комплексное число г ~ 0 пшеег бесчисленное множество логарифмов.

Иными словами, логарифм есть бесконечнозначная функция: ее действительная часть определяется однозначно, а мнимая — с точностью до слагаемого, кратного 2п в), Для четкости мы будем обозначать эту многозпачную функцию специальным символом Епг, так что 1.п г = !п ! а )+ г Агп а = 1и г + г (гр + 2йп). (12) Символом !из мы будем обозначать одно из значений 1.па, в случае надобности специально оговаривая, какое именно значение выбирается, так что во всех предыдущих формулах, содержащих символ 1п, не требуется изменения обозначения. Рассмотрим подробнее вопрос о выборе значений Епг. Как и для рассмотренных выше многозначных функций, значение Епг определяется значением аргумента, которое приписано точке е.

Предположим, что точка е, начиная от положения г, Ф О, описывает некоторую кривую С, не проходящую через начало координат. Как и выше, через агав мы обозначим однозначную и непрерывную вдоль С ветвь функции Ага г, определяемую каким-либо фиксированным начальным значением агдго. Через 1и з будем обозначать значение Епг, определяемое равенством (!1) при выбранном значении агап; очевидно, функция 1па будет однозначной и непрерывной вдоль С. Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку а = О. Когда г описывает С, точка пг =!па пробегает некоторую замкнутую кривую Г; другие значения логарифма, определяемые другим начальным значением агдас, опишут кривые Га, отличающиеся от Г лишь сдвигом на вектор 2!гяг', й = -4-1, ~2, ..., (рис. 14, сплошные линии). Если теперь С вЂ” замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая г = 0 внутрв себя, то при полном обходе ее точкой е в положительном направлении точка щ = (п г не вернется к своему первоначальному положению, а займет новое положение ш<он =що+ 2пг (рис.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее