М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

Содержание Из предисловия к первому изданию Из предисловия ко второму изданию Предисловие к четвертому изданию Глава 1. Основные понятия 8 1. Комплексные числа 1. Комплексные числа (10). 2. Геометрическая иллюстрация (12). 8 2. Функции комплексного переменного 3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного переменного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19). з 3. Элементарные функции 24 6. Функции ~ч = я" и ю = я'"" (24). 7.

Функция Жуковского 'н = (з+1й)/2 (29). 8. Показательная функция и логарифм (32). 9. Тригонометрические и гиперболические функции (36). 10. Общая степенная функция и = га (42). 8 4. Интегрирование функций комплексного переменного 43 11. Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Теорема Коши (45). 13. Распространение на многосвязные области (51). 14. Формула Коши и теорема о среднем (54). 15. Принцип максимума и лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходимость (58).

17. Высшие производные (63). 8 5. Представление аналитических функций рядами 65 18. Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема единственности (72). 21. Ряды Лорана (74). 22. Особые точки (78). 23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно удаленная точка (90). 25. Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции (93). 26. Римановы поверхности (99).

Литература к главе 1 Глава П. Конформные отображения 8 1. Общие положения. Примеры 27. Понятие конформного отображения (106). 28. Основная задача (112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (122). 16 104 105 105 М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Книга рассчитана на специалистов по прикладной математике, механике, физике, радио-, электро-, теплотехнике и других. Ее можно использовать также как учебное пособие при изучении анализа в университетах и высших технических учебных заведениях.

Наряду с кратким изложением теории, ориентированным на практические применения, она содержит болыпое число примеров и задач из разных областей математики и ее приложений. В четвертом издании исправлены неточности и опечатки„а также по-новому изложены некоторые разделы.

8 2. Простейшие конформные отображения 31. Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135). 33. Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148). 8 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников 35. Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176).

39. Примеры (183). 40. Скругление углов (192). Литература к главе П Глава 1П. Краевые задачи теории функций и их приложения з 1. Гармонические функции 41. Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства гармонических функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле (215). 44. Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).

з 2. Физические представления. Постановка краевых задач 46. Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры. Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272). 51. Краевые задачи теории упругости (279). 8 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи 52. Интеграл типа Коши.

Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша— Седова (304). 55. Другие краевые задачи (310). з 4. Приложения 56. Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи гидродинамики и газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного заряда (339). 59.

Задачи теории упругости (349). Литература к главе 1П Глава $У. Вариационные принципы конформных отображений 8 1. Основные вариационные принципы 60. Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение принципа (365). 62. Граничные производные (370). 8 2. Отображения близких областей 63. Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной (382). 65. Распространение результатов (385). 8 3. Приложения 66. Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости (398). 68.

Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение грунтовых вод (406). Литература к главе 1У Глава У. Приложения теории функций к анализу 8 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения 70. Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целых функций 128 158 197 198 199 235 286 315 357 358 358 375 393 414 415 415 в бесконечные произведения (431). 8 2. Приложения теории вычетов 73.

Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов (продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости (454). 8 3. Методы асимптотических оценок ?6. Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477). 78. Метод производящих функций (486). Литература к главе У Глава 'Л. Операционный метод и его приложении 8 1. Основные понятия и методы 79. Преобразование Лапласа (494).

80. Свойство преобразования Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы разложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520). е 2. Приложения 84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541). 85. Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с частными производными (557) 87. Расчет длинных линий (568). 88. Другие интегральные преобразования (574). Литература к главе У1 Глава УП.

Специальные функции 8 1. Гамма-функция Эйлера 89. Определение и основные свойства (588). 90. Примеры. Дополнения (598). з 2. Ортогональные многочлены 91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные многочленыа (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции (616). 94. Примеры. Приложения (624). 8 3. Цилиндрические функции 95. Цилиндрические функции первого рода (638).

96. Другие цилиндрические функции (648). 97. Асимптотические выражения для цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения (670). 8 4. Эллиптические функции 100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и функции Якоби (694). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции (703). 104. Примеры. Приложения (715). Литература к главе УП Предметный указатель 438 470 491 492 494 541 587 588 588 637 727 728 Абель Н.

70 Предметный указатель Абеля теоремы 70, 684 Автоморфизмы верхней полуплоскости 140 — единичного круга 139 Адиабатности условие 334 Амплитуда эллиптического интеграла 695 Аналитическая дуга 162 — функция 38, 97 — — полная 97 Аналитическое продолжение 93, 95, 163 — — гармонической функции 214 — — непосредственное 53, 94 Аналитичность в 1пК 92 Аргумент комплексного числа 13 — производной 111 Аргумента принцип 88 Арккосинус 41 Арккотангенс 42 Арксинус 42 Арктангенс 42 Асимптотическое выражение второй ханкелевой функции 659 — — гамма-функции 452, 598 — — многочленов Лежандра 488, 627 — — первой ханкелевой функции 659 — — функций Бесселя 486 — — — Вебера 660 — разложение 471 — — обобгценное 475 а-точка 90 Ахиезера — Голузина формула 723 Безциркулярное обтекание 256 Бернулли Д.

676 — задача 676 — — интеграл 334 — теорема 399 Бернулли — Эйлера формула 247 Бесконечно удаленная точка 90 Бесконечное произведение 432 и ел. Бесселевы функции 548, 637 — 674 Бесселя интеграл 419 Бета-функция Эйлера 586, 598 — —, аналитическое продолжение 599 Бигармоническая функция 276 ††, комплексноепредставление 277 Биномиальный ряд 487 Буняковского неравенство 605 Бурмана — Лагранжа ряд 422 Вариационный принцип 359 Вариация граничной производной 385 — отображения 384 — подьемной силы 393 — 397 Вебера функции 652 Вейерштрасс К. 10 Вейерштрасса теоремы 68,69, 436, 437 — функции 703, 709 Вектор потока тепла 249 Векторное поле 235 — — безвихревое 238 — — потенциальное 238 Векторное поле соленоидалыюе 237 — — стационарное, плоскопараплельное 235 Ветвь 27, 31, 35 Вихревая точка 238 Вихреисточник 242 Вихрь поля 238, 241 Волна длинная 401 — малой амплитуды 401 — уединенная 403 Волновое уравнение 634 Волны период 401 Вторая краевая задача 229 Вычет функции 84 — — в полюсе 84 — — — 1пК92 — — логарифмический 86 Вьппнеградского — Найквиста метод 464 Гамма-функция 453, 591 — —, аналитическое представление 453 — —, асимптотическая формула 452, 598 ††, интегральныепредставления 453, 454, 595, 598 — —, свойства 591 — 598 — —, формулы Эйлера 595, 604 ††, функциональное уравнение 592 — —, — — второе 593 — —, — — третье 603 Гармоническая функция 199 ††.аналитическоепродолжение214 — — многозначная 202 — —, сопряженная 200 Гаусс К.

Ф. 105 Гахова теоремы 300, ЗОЗ Гельдера условие 117, 288 Гильберт Д. 296 Гильберта — Привалова краевая задача 296 Гиперболические функции 41 Гипергеометрический ряд 634 Гипергеометрическое уравнение 634 Главное значение интеграла 289 Годограф частотный 461 Годографа плоскость 337 — уравнение 338 Голоморфная функция 23 Граница области 16 Граничная задача 255 — теорема единственности 212 — точка 16, 57 — функция 115 Граничное значение 211 Грин Дж. 221 Грина формула 221 — функция 221 Грунтовые воды 406 Гука закон 274 Гурвиц А.

457 Гурвица критерий 457 Даламбер Ж. 9 Даламбера — Эйлера условия 16 Дарбу метод 486 Дарси закон 407 Движение грунтовых вод 406 — жидкости под действием силы тяжести 576 Двойной слой 243 Деление степенных рядов 420 Деформация 273 — контура 359 Дзета-функция Вейерппрасса 709 Дивергенция 236 Диполь 242 — точечный 242 Дирихле Л.

215 — задача 215 — — для круга 219 — — — полуплоскости 224 — — обобщенная 215 — —.формула для решения 221 Дифференциальные уравнения смешанного типа 326 Дифференцирование изображения 505 — оригинала 504 Длинная волна 401 Дополнительный модуль 697 Дробно-линейные отображения 128 Дроссельный фильтр 555 Дуга аналитическая 162 — Ляпунова 116 Дюамеля интеграл 510 б-функция 529 Единичная функция 495 Естественная граница функции 97 Жордаиа лемма 439 Жуковский Н.Е.