М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 8

В п. 7 мы особо выделяем простую дробно-рациональную 1Г 11 функцию ги — !г + — ! ввиду ее важной роли в практических 21, и,! задачах (см. следующие две главы). Весьма успешное применение этой функции связано с работами Николая Егоровича Жуковскогого (!847 — 1921), поэтому мы будем называть ее функцией Жуковского. 25 З х элкментлгныв фтнкцни однозначна.

Если в плоскостях г и ге ввести полярныс координаты, положив г = г(сов <р+(з(п~р), ге = р(сов О+ге(п 0), то соотношение (1) можно переписать в виде двух равенств: р=г", О=ер, (2) связывающих действительные величины. Из (2) видно, что отображение, осуществляемое функцией ш = г", сводится к повороту каждого вектора а ~ О на угол (и — 1) агда и растяжению его в )г!"-' раз. Далее очевидно, что точки г~ и гз с равными модулями н аргументами, отличающимися на целое кратное 2п/н, и только такие точки, переходят при отображении (1) в одну точку. Следовательно, для однолистности отображения ш = г" в некоторой области В необходимо и достаточно, чтобы В не содержала никаких двух точек а, и гз, связанных соотношениями 2ьн ( а, (=( г,(; агу г, = аги г, + —, (й Ф О вЂ” целое).

(3) Этому условию удовлетворяют, например, секторы й — ~ «р < (й + 1) — (й = О, 1, 2, ...), (4) каждый из которых при отображении ш = а" преобразуется в плоскость ш с исключенной положительной полуосью. Прн а! Рис. 9. этом все лучи с вершиной в точке г= О переходят в лучи с вершиной ге = О (лншь повернутые на некоторый угол), а все дуги окружностей с центром г = Π— в дуги окружностей с центром гв = О (толысо, вообще говоря, другого радиуса). На рис.

9,а изображен прообраз в одном таком секторе плоскости г сетки полярных координат плоскости га. ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Из формулы иР = и+1О =1.л(СОВ Л1Р + 1' З!П Лф), (5) Равносильной (1), слеДУет, что пРЯмым и = ио и О = Оо в пло- скости г соответствуют кривые с полярными уравнениями ир г= сор тир ' Они изображены на рис. 9, б (первые — пунктиром, вторые— сплошными линиями); прн л = 2 это — обычные гиперболы. Наконец, отметим, что функция ш = г аналятична во всей плоскости, ибо для любого г существует !НП ( ) =!1Ш ( '') =игл-'. (6) Ь.ро ь л .о а Функция (7) обратная к функции г = гол, л-значна при г Ф О. Как вытекает л из п.

2, значение корня )1 г определяется значением аргумента, выбранным для точки г. Обозначим через агдго одно из значений аргумента в точке го чь 0 и предположим, что точка г описывает, начиная с г,, некоторую непрерывную линию С, не проходящую через начало координат. Через ага» мы будем обозначать такое значение аргумента, котовое изменяется при этом непрерывно, начиная со значения агд »а *). л В силу непрерывности агд» и )») значение ир='р'г, которое вполне определяется сделанным выбором аргуменга, также будет изменяться непрерывно.

Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку г = О. Тогда при полном обходе С точкой г точка л л ар= р1», где )1'г — выбранное нами значение корня, описывает некоторую замкнутую кривую Г, возвращаясь к своему первоначальному положению, ибо при этом ага» возвращается к начальному значению агига. Значения корня, определяемые другим выбором начального значения агдга (отличаюшимся от прежнего яа целое кратное 2п) при полном обходе С, очевидно, также описывают замкнутые кривые Гм отличающиеся от кри- ') Очевидно, это значение прн фиксированных ар, С и аскар опредедяетси однозначно.

5 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКПИИ вой Г лишь поворотом на угол 2йп/и, й = 1, 2, ..., и — 1 (рис. 1О, сплошные линии). Пусть теперь С вЂ” замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая точку г = 0 внутри себя, и гс — некоторая точка кривой Й, Тогда прн полном обходе С, начиная от гв и в положительном направлении, соответствующая точка те = Ртг Рвс. 1О. (значение корня определяется так же, как и выше) не возвращается в свое первоначальное положение, а занимает новое положение ы< ~, где и< >=~сов — +Гз(п — )шс — значение 2н ..

2н и е с )/гс, отличное от шс. Это объясняется тем, ч:о агцг при обходе кривой С получает приращение 2и. К своему начальному положению точка ш=)тг возвращается лишь прн и-кратном обходе кривой с (см. рис, 10, пунктирная линия; здесь и =- 3). Отсюда следует, что в любой области О, которая ие содержит нн одной замкнутой кривой, обходящей точку г = О, можно выделить и непрерывных и однозначных функций, принимающих каждая одно из значений $'г. Эти и функций называются ветвями многозначной функции ш= у'г; нх значения в каждой фиксированной точке отличаются друг от друга множи- 2ая .. 2аи телем соз — +Гз!и —.

Каждая такая ветвь будет, очевидно, осуществлять однолнстное отображение области О, поэтому в каждой точке этой области применима теорема о производной обратной функции (п. 5), согласно которой существует вполне '28 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ определенное значение производной или, если условиться писать )ге = гпл, (Ел) Ел (в) Таким образом, любая из построенных ветвей ивляется в области 0 аналитической функцией. В области 0 рассматриваемого типа и бесконечнозначная функция Ага'г распадается на бесчисленное множество непрерывных и однозначных ветвей. Каждую такую ветвь мы будем обозначать символом агцг и всякий раз указывать, как эта ветвь выделяется.

Если же область 0 содержит хотя бы одну замкнутую кривую, обходящую точку г = О, то в такой области ветви функл ции )тсг нельзя отделить друг от друга. Именно, если в окрестности некоторой точки г Ф О из 0 мы и выделим какую-либо ветвь (для достаточно малой окрестности точки арчь О это возможно), то, двигаясь по кривой, обходящей г = О, мы придем к другой ветви. Следовательно, в такой области 0 мы не можем подобно предыдущему случаю рассматривать функцию л ~/г как совокупность отдельных (однозначнык) аналитических функций. Точка г = О, в любой окрестности которой нельзя оти / л делить п отдельных ветвей функции )гг (ветви )/г как бы соединяются в этой точке), называется точкой ветвления этой функции.

В качестве примера области 0 первого типа можно рассматривать плоскость г с вырезанной линией Е, идущей от точки е = О в бесконечность. Если 0 совпадает с положительной пол луосью, то ветви функции ш = )~ г отображают область 0 на секторы й — < ага' ги < (й + 1) — „ 2Н 2а Эти отображения обратны к рассмотренному выше отображению с помощью функции ги = ел. Область 0 заведомо является областью второго типа, если она содержит точку г = О внутри себя. л) дли функции и производной берется одинаковаи ветвь т'г. $ 3.

элементарные Функции 7. Функция Жуковского пг = — (а + — ) определена и од- 1/ 1' 2 2, нозначна для всех г ни О; она, очевидно, аналитична для тех же г. Найдем область однолистности отображения 2~ + )' Для этого предположим, что г~ и гз переходят в одну точку пз; 1 ! 1 тогда имеем г, + — = гв + —, откуда (г! — 22) ! 1 — — 1 = О ат нсвт ! н, следовательно, е~ = гз или г!Ез = 1. (2) Таким образом, для однолистности отображения (!) в какой-либо области Р необходимо и достаточно, чтобы Р не содержала никаких двух точек е, и гв связанных соотношением г~ ез —— 1. Этому условию удовлетворяет, например, внутренность единя шаго круга ]г] 1 или его вне4пность ]г])!.

Для того чтобы изучить картину отображения (1), положим г = = г(сов гр+ !'в!и гр), тн = и+ 1н и отделим действительные и м шмые части. Тогда отображение (1) перепишется в виде 1/ !! 1! !! и= — !г+ — )сов~р, о= — (г — — )в!п~р, =2( г) — 2( г) и мы видим, что каждая окружность ]е] = го ( 1 преобразуется с сто помощью в кривую 1 Г! и = — ~го + — ) гов 4Р, о = — — ! — — го) в!и гР, (4) 2 ( о г« ) 2 га т. е. в эллипс с полуосями а= — (го + — ), Ь = — „! — — го), в проходимый в отрицательном направлении*). При г,— 1 этот эллипс сжимается в отрезок ( — 1, !] оси и, при го-»О уходит н бесконечность.

Следовательно, функция (1) отображает внутренность круга ]г] ( 1 на внешность отрезка [-1, +1] (рис. 11). Все внутренние точки этого отрезка — двойные (и. 3), и его моткно считать как бы состоящим из двух берегов: функция (1) преобразует верхнюю полуокружность ]г] = 1 в нижний берег, а нижнюю — в верхний. *) На зто указывает знак « — » во втором из уравнений (4). гл. !, основные понятия Отметим еще, что радиусы агд г = оро, О < г < 1 переходят при отображении (1) в ветви гипербол соо' Чоо мпо Ио (рнс.

11). Фокусы этих гипербол, так же как и эллипсов (4), расположены в концах отрезка [ — !, +1!. Рос. ! !. Из соотношений (3) вытекает также, что окружности !а)= ! ! ! = го ) 1 преобразуются в эллипсы с полуосями а = — 1г + — 1, 21,о го!' ! ! Ь = — (го — — !, Эти эллипсы совпадают с теми, в которые 2!О го! преобразуются окружности !з~ = го < 1, только обходятся они в положительном направлении. Следовательно, функция (1) отображает и внешность круга !г1:> 1 также на внешность отрезка ( — 1, +1] оси и, причем верхняя полуокружность переходит в верхний берег отрезка, а нижняя — в нижний.

Обратная к (1) функция (6) двузначна — каждой точке ш она относит две точки г! и гм связаш!ые условием а!аз = 1 (см. формулу (2)). Эта двузначность обусловлена наличием в формуле (6) квадратного корня. Если положить г! =по+ )/гаоз — 1, то другим значением г, соответствующим ш, будет го=и — 7 и~ — 1 и непосредственно ВиднО, что а!аз = 1. и К х элвмкнтхгныя фгнкцпи Обозначим через рь О~ и, соответственно, рм О, модули и аргументы комплексных чисел ш — 1 и ш+1 (рис. 12).