Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 8

DJVU-файл М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного, страница 8 Математический анализ (2661): Книга - 4 семестрМ.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного: Математический анализ - DJVU, страница 8 (2661) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница

В п. 7 мы особо выделяем простую дробно-рациональную 1Г 11 функцию ги — !г + — ! ввиду ее важной роли в практических 21, и,! задачах (см. следующие две главы). Весьма успешное применение этой функции связано с работами Николая Егоровича Жуковскогого (!847 — 1921), поэтому мы будем называть ее функцией Жуковского. 25 З х элкментлгныв фтнкцни однозначна.

Если в плоскостях г и ге ввести полярныс координаты, положив г = г(сов <р+(з(п~р), ге = р(сов О+ге(п 0), то соотношение (1) можно переписать в виде двух равенств: р=г", О=ер, (2) связывающих действительные величины. Из (2) видно, что отображение, осуществляемое функцией ш = г", сводится к повороту каждого вектора а ~ О на угол (и — 1) агда и растяжению его в )г!"-' раз. Далее очевидно, что точки г~ и гз с равными модулями н аргументами, отличающимися на целое кратное 2п/н, и только такие точки, переходят при отображении (1) в одну точку. Следовательно, для однолистности отображения ш = г" в некоторой области В необходимо и достаточно, чтобы В не содержала никаких двух точек а, и гз, связанных соотношениями 2ьн ( а, (=( г,(; агу г, = аги г, + —, (й Ф О вЂ” целое).

(3) Этому условию удовлетворяют, например, секторы й — ~ «р < (й + 1) — (й = О, 1, 2, ...), (4) каждый из которых при отображении ш = а" преобразуется в плоскость ш с исключенной положительной полуосью. Прн а! Рис. 9. этом все лучи с вершиной в точке г= О переходят в лучи с вершиной ге = О (лншь повернутые на некоторый угол), а все дуги окружностей с центром г = Π— в дуги окружностей с центром гв = О (толысо, вообще говоря, другого радиуса). На рис.

9,а изображен прообраз в одном таком секторе плоскости г сетки полярных координат плоскости га. ГЛ. Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Из формулы иР = и+1О =1.л(СОВ Л1Р + 1' З!П Лф), (5) Равносильной (1), слеДУет, что пРЯмым и = ио и О = Оо в пло- скости г соответствуют кривые с полярными уравнениями ир г= сор тир ' Они изображены на рис. 9, б (первые — пунктиром, вторые— сплошными линиями); прн л = 2 это — обычные гиперболы. Наконец, отметим, что функция ш = г аналятична во всей плоскости, ибо для любого г существует !НП ( ) =!1Ш ( '') =игл-'. (6) Ь.ро ь л .о а Функция (7) обратная к функции г = гол, л-значна при г Ф О. Как вытекает л из п.

2, значение корня )1 г определяется значением аргумента, выбранным для точки г. Обозначим через агдго одно из значений аргумента в точке го чь 0 и предположим, что точка г описывает, начиная с г,, некоторую непрерывную линию С, не проходящую через начало координат. Через ага» мы будем обозначать такое значение аргумента, котовое изменяется при этом непрерывно, начиная со значения агд »а *). л В силу непрерывности агд» и )») значение ир='р'г, которое вполне определяется сделанным выбором аргуменга, также будет изменяться непрерывно.

Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри себя точку г = О. Тогда при полном обходе С точкой г точка л л ар= р1», где )1'г — выбранное нами значение корня, описывает некоторую замкнутую кривую Г, возвращаясь к своему первоначальному положению, ибо при этом ага» возвращается к начальному значению агига. Значения корня, определяемые другим выбором начального значения агдга (отличаюшимся от прежнего яа целое кратное 2п) при полном обходе С, очевидно, также описывают замкнутые кривые Гм отличающиеся от кри- ') Очевидно, это значение прн фиксированных ар, С и аскар опредедяетси однозначно.

5 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКПИИ вой Г лишь поворотом на угол 2йп/и, й = 1, 2, ..., и — 1 (рис. 1О, сплошные линии). Пусть теперь С вЂ” замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая точку г = 0 внутри себя, и гс — некоторая точка кривой Й, Тогда прн полном обходе С, начиная от гв и в положительном направлении, соответствующая точка те = Ртг Рвс. 1О. (значение корня определяется так же, как и выше) не возвращается в свое первоначальное положение, а занимает новое положение ы< ~, где и< >=~сов — +Гз(п — )шс — значение 2н ..

2н и е с )/гс, отличное от шс. Это объясняется тем, ч:о агцг при обходе кривой С получает приращение 2и. К своему начальному положению точка ш=)тг возвращается лишь прн и-кратном обходе кривой с (см. рис, 10, пунктирная линия; здесь и =- 3). Отсюда следует, что в любой области О, которая ие содержит нн одной замкнутой кривой, обходящей точку г = О, можно выделить и непрерывных и однозначных функций, принимающих каждая одно из значений $'г. Эти и функций называются ветвями многозначной функции ш= у'г; нх значения в каждой фиксированной точке отличаются друг от друга множи- 2ая .. 2аи телем соз — +Гз!и —.

Каждая такая ветвь будет, очевидно, осуществлять однолнстное отображение области О, поэтому в каждой точке этой области применима теорема о производной обратной функции (п. 5), согласно которой существует вполне '28 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ определенное значение производной или, если условиться писать )ге = гпл, (Ел) Ел (в) Таким образом, любая из построенных ветвей ивляется в области 0 аналитической функцией. В области 0 рассматриваемого типа и бесконечнозначная функция Ага'г распадается на бесчисленное множество непрерывных и однозначных ветвей. Каждую такую ветвь мы будем обозначать символом агцг и всякий раз указывать, как эта ветвь выделяется.

Если же область 0 содержит хотя бы одну замкнутую кривую, обходящую точку г = О, то в такой области ветви функл ции )тсг нельзя отделить друг от друга. Именно, если в окрестности некоторой точки г Ф О из 0 мы и выделим какую-либо ветвь (для достаточно малой окрестности точки арчь О это возможно), то, двигаясь по кривой, обходящей г = О, мы придем к другой ветви. Следовательно, в такой области 0 мы не можем подобно предыдущему случаю рассматривать функцию л ~/г как совокупность отдельных (однозначнык) аналитических функций. Точка г = О, в любой окрестности которой нельзя оти / л делить п отдельных ветвей функции )гг (ветви )/г как бы соединяются в этой точке), называется точкой ветвления этой функции.

В качестве примера области 0 первого типа можно рассматривать плоскость г с вырезанной линией Е, идущей от точки е = О в бесконечность. Если 0 совпадает с положительной пол луосью, то ветви функции ш = )~ г отображают область 0 на секторы й — < ага' ги < (й + 1) — „ 2Н 2а Эти отображения обратны к рассмотренному выше отображению с помощью функции ги = ел. Область 0 заведомо является областью второго типа, если она содержит точку г = О внутри себя. л) дли функции и производной берется одинаковаи ветвь т'г. $ 3.

элементарные Функции 7. Функция Жуковского пг = — (а + — ) определена и од- 1/ 1' 2 2, нозначна для всех г ни О; она, очевидно, аналитична для тех же г. Найдем область однолистности отображения 2~ + )' Для этого предположим, что г~ и гз переходят в одну точку пз; 1 ! 1 тогда имеем г, + — = гв + —, откуда (г! — 22) ! 1 — — 1 = О ат нсвт ! н, следовательно, е~ = гз или г!Ез = 1. (2) Таким образом, для однолистности отображения (!) в какой-либо области Р необходимо и достаточно, чтобы Р не содержала никаких двух точек е, и гв связанных соотношением г~ ез —— 1. Этому условию удовлетворяет, например, внутренность единя шаго круга ]г] 1 или его вне4пность ]г])!.

Для того чтобы изучить картину отображения (1), положим г = = г(сов гр+ !'в!и гр), тн = и+ 1н и отделим действительные и м шмые части. Тогда отображение (1) перепишется в виде 1/ !! 1! !! и= — !г+ — )сов~р, о= — (г — — )в!п~р, =2( г) — 2( г) и мы видим, что каждая окружность ]е] = го ( 1 преобразуется с сто помощью в кривую 1 Г! и = — ~го + — ) гов 4Р, о = — — ! — — го) в!и гР, (4) 2 ( о г« ) 2 га т. е. в эллипс с полуосями а= — (го + — ), Ь = — „! — — го), в проходимый в отрицательном направлении*). При г,— 1 этот эллипс сжимается в отрезок ( — 1, !] оси и, при го-»О уходит н бесконечность.

Следовательно, функция (1) отображает внутренность круга ]г] ( 1 на внешность отрезка [-1, +1] (рис. 11). Все внутренние точки этого отрезка — двойные (и. 3), и его моткно считать как бы состоящим из двух берегов: функция (1) преобразует верхнюю полуокружность ]г] = 1 в нижний берег, а нижнюю — в верхний. *) На зто указывает знак « — » во втором из уравнений (4). гл. !, основные понятия Отметим еще, что радиусы агд г = оро, О < г < 1 переходят при отображении (1) в ветви гипербол соо' Чоо мпо Ио (рнс.

11). Фокусы этих гипербол, так же как и эллипсов (4), расположены в концах отрезка [ — !, +1!. Рос. ! !. Из соотношений (3) вытекает также, что окружности !а)= ! ! ! = го ) 1 преобразуются в эллипсы с полуосями а = — 1г + — 1, 21,о го!' ! ! Ь = — (го — — !, Эти эллипсы совпадают с теми, в которые 2!О го! преобразуются окружности !з~ = го < 1, только обходятся они в положительном направлении. Следовательно, функция (1) отображает и внешность круга !г1:> 1 также на внешность отрезка ( — 1, +1] оси и, причем верхняя полуокружность переходит в верхний берег отрезка, а нижняя — в нижний.

Обратная к (1) функция (6) двузначна — каждой точке ш она относит две точки г! и гм связаш!ые условием а!аз = 1 (см. формулу (2)). Эта двузначность обусловлена наличием в формуле (6) квадратного корня. Если положить г! =по+ )/гаоз — 1, то другим значением г, соответствующим ш, будет го=и — 7 и~ — 1 и непосредственно ВиднО, что а!аз = 1. и К х элвмкнтхгныя фгнкцпи Обозначим через рь О~ и, соответственно, рм О, модули и аргументы комплексных чисел ш — 1 и ш+1 (рис. 12).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее