В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 6

1,56. Поставить краевую задачу для уравнения задачи 1.55, считая, что задано начальное распределение плотности и задан падающий поток частиц на границу Я области С. 1.57. Показать, что для решения ез(х,з) стационарной краевой Ф(х) г (з,йгае(ге) + а(х) ез = — ( п(х, з ) е(з'+ р'(х), $е'/=з ге)з = О, если (з,гз) ( О, где ез — внешняя нормаль к Я, средняя плотность 1 г по(х) = — ~ ее(х,з)аз 4к,/ (е)=1 удовлетворяет интегральному уравнению Пайерлса -м-ед / / 1 "м= — /' „(/.е*+~ — ).ча)И*') л*')~в~*'ям'. о 1.58. Разлагая решение ее(х, з) стационарной краевой задачи 1.57 в ряд по сферическим функциям от з, удерживая только члены с ну- левой и первыми гармониками, показать, что функция 1 г гео(х) = — ~ ге(х,з)<Ь 4к,/ 14=1 есть решение краевой задачи (диффузное приближение) З й Вывод уравнение н нос~канавки краевых эадач 29 (~ йгаб~ ) +(1 — Ь)Ь = ~~, ( + э ф)! Ответы к 21 1.1.

Тив, + У(х) = О, 0 < х < 1, и),-о = и1вы = О, где /(х)— плотность нагрузки. 1.2. Рии=Тои, 0<я<1, я ~хо, 1>0, и)=о=и),ы=О, и(хо+0,1) = и(хо — 0,1), ив(хо+О,г) — ив(хо — 0,1) = — ии(хо,с) о 1.3. Рим — — Ти — аи, 0 < х < 1, 1 > О, где а — коэффициент упругости среды. 1.4. ди = аздв„О < х < 1, 0 < 1 < оо, д(х, 0) = /(х), де(х, 0) = = г"(х), 0 < х < 1, где д(х,с) — угол поворота сечения стержня с координатой х в момент времени 1, аз = С,У/Ф, где С вЂ” модуль сдвига,,7 — полярный момент инерции поперечного сечения относительно точки, в которой ось пересекает это поперечное сечение, Ф вЂ” осевой момент инерции единицы длины стержня.

Граничные условия: а) д,(0, 1) = д,(1, 1) = 0; б) д(0, 1) = д(1, 1) = 0; в) (д, — Ьд)!~-о = О, (д, + Ьд)~,-и = О, где Ь = й/(Сэ), й— жесткость упругого закрепления. 1.5. ии + авив„в = О, 0 < х < 1, 1 > О, и(х, 0) = /(х), ив(х, 0) = = Г(х), 0 < х < 1, и(0, 1) = и,(0 1) = ивв(1,1) = ивв,(1,1) = О, где аз = Еэ'/(РЯ), э — геометрический момент инерции поперечного сечения относительно его средней линии, перпендикулярной к плоскости колебаний.

1.6. ии = ази„, 0 < х < 1, 1 > О, аз = 7ро/ро — скорость звука, и(х,О) =О, ив(х,О) = е, 0 < х <1, и(0,1) =О, их(1,1) = О, 1> О. 1.7, ин — — ази „аг = уро/ро, 0 < х < 1, 1 > О, и(х,О) = /(х), ие(х, 0) = г"(х), 0 < х < 1. Краевые условия: а) и(0,1) =и(1,1) = 0; б) ив(0, 1) = и,(1, 1) = 0; в) (и, — Ьи)/в=о = О, (и, + Ьи)~1вав = О, где Ь = и/(ЯТРо), где Я— плошадь поперечного сечения трубки. 1.8. ии = ази„, 0 < х < 1, 1 > О, и(О,г) = У(1), их(1,1) = =Ф(1)/(ЕЯ), 1>О, и(х,О) =О, ие(х,О) =О, 0<х<1, а =Е/р.

1.9. ии = азиев — 2изив, 0 < х < 1, 1 > О, и(х, О) = оэ(х), ив(х, О) = = Ф(х), 0 < х < 1, и(0, 1) = и(1, 1) = О, 1 > О, где 2нз = й/р, й— коэффициент трения. 1.10. — ~Я(х) — ~ = а —, а д дн здн 2 РЯ дх1 дх1 двэ' В' 30 Го. 1. Лосктакоакк краеемх задач матпематаическоя физики 1.12. —, = аг — (хг — ), 0 < х < С, С > О, аг = —, [и(0, С) ! < оо, и(С,С) = О, С > О, и(х, 0) = У(х), ит(х, 0) = Р(х), 0 < х < С.

1.13. «тт = агие, х ~ О, С > О, аг = Та/р, и(х,О) = О, ит(х,О) = О, и ~ 0; условие в точке х = 0 имеет вид: а) — тпоии(О,С)+ То[и,(+О,С) — и,(-О,С)[+ ЕаяСпйС = О, С > 0; б) и( — О, С) = и(+О, С), — таите(0, С) + То[и,(+О, С) — и,( — О, С)! = О, С > О, и( — О, 0) = и(+О,О) = О, отецт( — О, 0) = тпоит(+О 0) = ре' в) и( — О,С) = и(+О С), С > О, тпоитт(0 С)+Те[и (+О С) — и,( — О,С)!— — й и(О,С) =О, тпеит(-0,0) = тпоит(+0,0) = ро и(-0,0) = и(+0,0) = О. 1.14. ии — — аги „0 < х < С, С > О, аг = Е/р, и(х,О) = С(х), ит(х, О) = д(х), 0 < х < С, и(0, С) = О, (ЕБ«, — йит)[ося = О, С > 0 гие Сс — коэффициент трения для конца стержня х = С.

115. «тт — — пи„, хеСх;, 2=1,...,п,О<х<С, С>0, и(ОС) = = и(С,С) = О, «(хт — О,С) = и(хт + О,С), и (х; + О,С) — и (х; — О,С) = = — 'итт(хт,С), С>0, 4=1,...,п; и!с=о =У(х), ит[т=а =Г(х), 0<х<С. Т иттт = агди~~„— оо < х < 0 1 1.10. г 2 2 С > О, и~(О,С) = «2(О,С), «2, = агг«2„0 < х < +со Ег~и(О,С) = Егия(О,С), С > О, и~(х,О) = С(х), ит(х,О) = Е(х), -оо < х < О, иг(х, 0) = с(х), итг(х, 0) = Г(х), х > О, где иг, «2— смещение точек левого и правого стержней, аг = Ет[рт, т = 1, 2.

1.18. —, = д — ~х — тт, 0 < х < С, С > О, [и(0, С)! < ао, и(С, С) = О, дгк д т д«З дх ~ дхт" С >О, и[с=о = У(х), «с[с=о = Р(х), 0 < х < С. 1.10. ЬФСО = О, г > СС, ЬФ(0 = О, О < г < Л, 8гавФ = Н, Ф„[„„= Ф„' [, „, Ф, [„, = (Ф, + я„,)~~, [Ф (О,С)! < ю, с тт! =и' д ,Уоое то — — повеРхностнаЯ плотность тока, а ФО), ФСт> — потенциал магнитного поля внутри и вне проводника соответственно. 1 20 Со = — сот, ое = — Ь.Ст, 0 « * С, С > О, о[с=о = «е, о(0, С) = 1 т = — Ст де(С на заземленном конце, ие(С, С) = 0 — на изолированном. о 1.21. ди = агд,е, 0 < х < С, С > О, д[т-а = ах/С, дт[т=е = О, 0 < < х < С, д[,=а = О, д,! =т = — — ди, где постоянные аг, Ф, .У, тт Ф имеют тот же смысл, что и в задаче 1.4. г 1.

Вмеоо дроененна н ноогвоноенн нроеемх зоддон 31 1.22. им — — аги„+ д, 0 < х < д, Ф > О, и(х, 0) = ид(х, 0) = О, 0 < < х < д, и(0, Ф) = О, ие(д, д) = О, 4 > О, аг = Е~Р. 1.23. ии = а и**+ д, 0 < х <! д > О, и]д=о = ид]д=о = О, 0 < < х < (, и]о=о = О, — ии]*=д = -ЕЯие]о=а + де. Я д 1.25. идд — — а ~и,„+ — и,), 0 < т < Н, д, > О, и(д',0) = ~(т), 1 ид(т, 0) = Г(т), 0 < т < Н, ]и(О,Ф)] < оо, иг]г-л = О. 1.26. д."ддР=О, т>Н,4>0, ф =О, С>0, )пп и= )пп Згадддр= д~р г=н г~оо г~оо = со, где ео — скорость потока на бесконечности. 1.27. им = аг (игг+ — и„), 0 < т < Н, 1 > О, и(т,О) = 1(т), 2 т ид]д=о = Е(т), 0 < т < Н, ]и(О,Ф)[ < оо, иг[г=л = О, где а = 7Ре/Ро.

129. идд+Лид=аг1ди+ ( Р ) 0<т<Н 0<др<2я 1>0 Р и]д=о = ид]д=е = О, ]и(О,др,й)[ < оо, и(Е,др,д) = О, где а = Т[р, й = а/р, а — коэффициент упругого сопротивления среды. 1.32, а) ии — а д1и+ — ид = О, а 4яА г с б) [ — -а Ь~ ро = - — р, ~ — — а Ь( др = О, — — — дйчдр = О, /дг г ~ 4яс' 1аг г 'д ре Вдо [,Вд,] ер '],Вг ( * Вд где Е = (Ед, Ег, Еэ) — напряженность электрического поля, Н = = (Нд, Нг, Нэ) — напряженность магнитного поля, р(х) — плотность зарядов, е — диэлектрическая постоянная среды, р — коэффициент магнитной проницаемости среды, 1(х, $) = (1д, 1м 1э) — ток провоцимости. В случае а) для компонент Е и Н получается одно и то же телеграфное уравнение.

Для случая б) вводится четыреккомпонентный электромагнитный потенциал (дре,~Р), дР = (Уд,дРг,дРг), с помопдью котоРого Решение да~ уравнений Максвелла ищется в виде Е = бган дро - - —, Н = — гос др. 1.33. Н = — Н + — Ни, х>0, С>0, Н]д=о=О Н~~~~=О сг х > О, Н[е~о = Ноедпддд, 4 > О, где с — скорость света. 1.34. ид — — аги „0 < х < д, Ф > О, и(х,О) = 1(х), 0 < х < д, краевые условия: а) и]о=о = 9дд(~) и[*=д = ддг(Ф), Ф > 0; б) -ЛЯие[е=о = дд(1), ЙЯи,],-д = ддг(Ф), 4 > 0; в) ие],-о — — Л[и(0,4) — рд(д)], и,],=д = -Л[и(д,д) — грг(1)], а = Й/(сР) — теплоемкость, дрд(С), ггг(Ф) в слУчве а) — темпеРатУРа 32 Ге. 1.

Пвстекввки крвевыз задок математической физики концов стержня, в случае б) — температура окружаюшего пространства на концах стержня, 4» — тепловые потоки на концах стержня. 1.35. ие = Ри„, 0 < х < 1, 1 > О, и(х, 0) = у(х), 0 < х < 1, граничные условия: а) и(0, 1) = и(1, 1) = О, Ф > 0; б) ие(0,1) = ие(1, 1) = О, 1 > 0; в) ие[,=о = Ь[и(0, 1) — уз(1)!, 1 > О, и~[~-ю = — Л[и(1, 1) — рз(1)), где а/Р = Ь, а — козффициент проницаемости на концах.

1.30. ие = Р1зи — аи, 1 > О, х = (хы хз, хз) Е В~. 1.37. ие — — ази„— и и, О < х < 1, 1 > О, и[~ — о т у(х), О < х < 1, ср и[е-о = ио, (ие + Ьи)[~-~ = О, 1 > О, р — периметр поперечного сечения стержня, Ь = а/Ь, а = Ь1(ср). 1.38. и, = ази„+ х 6(х — ио1), — оо < х < +оо, 1 > О, и(х, 0) = с = у(х), а = й/(ср). 1.39. ие — — ази„— Ь(и — ио), 0 < х < 1, 1 > О, и(х,О) = Дх), й оР 0 < х < 1, и[, — о = и[, — и ие[ =о = ие[ =и а = †, Ь = †, где ср ср Р— периметр поперечного сечения кольца, х = Яд, д — угловая координата. 1.40.

ие = Ри„— ии„з > зо, 1 > О, (Ри, — ои)[,— щ — — О, 1 > О, где е — скорость оседания частиц. входи з д [1 хая ди1 2а(1 — х)Н) 1.41. (1 — — ! — = а — ~~1 — — ) — ~— и, 0<х<1, Н! де д* ~~ Н1 дх1 ср. 1 > О, и[с=о = ио, 0 < х < 1, и,[*=о = и,[, г = О, 1 > О, где а = й/(ср), Н вЂ” полная высота конуса, у — половина угла раствора конуса„ го — радиус большого основания, 1 — высота усеченного конуса. О<х<Ь, 1.42. се — — Рс„, 0 < х < (, 1 > О, с(х, 0) = ~ (О, Ь <к <1. 1.43. ие = аз(и„„+ — и„)+ —, 0 <г < В, Ф>0, и[с — о = $(т), 0< 2 г ср' < 1 < В, [и(0, 1)[ < сю; граничные условия: а) и(Л,1) =0; б) (ив + Ни)[, и — - О, Н = а/й, аз = Ц(сР).

1 44. ие — — а (и„+ — и ), О < г < Я, 1 > О, и[с=о = О, О < г < В; 2 г граничные условия: а) [и(0, й) [ < оо, и,(В, С) = 4/й, 1 > 0; б) [и(0,1)[ < оо, (и„+ Ни)[,-н = сз(1), 1 > О, Н = а/Ь, аз = = Й/(ср). г 2. Киасснр1нквцнв рравнснна виюросо порядка 33 1.45. а) и1 = агилю -й < х < й, С = О, (-йи, + д)),ия = 0; б) иь —— а и„+ —, — й < х < й, а = й/(ср). 1.49. иь — — а(х)и, х ОС О, С > > О, илие = О, (йи»+д)~»=-о = С > О, и~ь-Π— — О, и/,иЫ = О, О, и(х,О) = Дх), Г г '1агг, х > О, и( — О,С) = г 1 СЛР1 =и(+О,С), йьи,( — О,С) = йги,(+О,С), 1= 1,2.

$2. Классификация уравнений второго порядка 2.1. Привести к каноническому виду уравнения: 1) и,»+ 2и»я — 2и„+2ивв+6и„= 0; 2) 4и„— 4и,о — 2ивл+ ив+ и, = 0; 3) и»в — и» +и»+ио — и =0; 4) и» + 2и»в — 2и, + 2и„„+ 2и„= 0; 5) и,» + 2и,„— 4и„— био» вЂ” и„= 0; 6) и* +2и*о+2иоо+2ив +2иоь+2ил. +Зим =0' 7) и*о — и»1+и„— 2иль+2ии = 0; 6) и»о+11 ° +и 1+и 1 = 0; 9) и„+2и,„— 2и„— 4ио, +2иоь+и„= 0; 10) и»* + 2и»л — 2и»1 + ио„+ 2и„, + 2ивь + 2илл + 2ии = 0; и и-1 ь=г 1=1 и и 12) и*,*,-2 Е (-1)~и»ь-ь»ь =0~ Виг и 14) 2 и,„,„+ ~,'Си„„=О; В»1 1<1 13) Я йи„„+2~ Си„„=О; а»1 1<в 2. Ппл пал В С Влааммиппаа Уравнение аг (х)и а„+ Ф(х,и,бган) = 0 а3=1 в каждой фиксированной точке хо можно привести к каноническому виду неособым линейным преобразованием С = В х, где  — такая матрица, что преобраэование р = В11 приводит квадратичную форму аб(хо) Р1РС а,,1=1 к каноническому виду.

(Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду, например, методом выделения полных квадратов.) 34 Гл. й Лооктвковкв краевых задач моптвмотичвокоя фкзккк Уравнение а(х,у)и„+2Ь(х,у)и,о+с(х,у)изз — — Ф(х,у,и,и„ио), (1) где )а! + ~Ь| + )с! 16 О, принадлежит (в точке нли области): гиперболическому типу, если Ьз — ас) О; параболическому типу, если Ьз †ос; эллиптическому типу, если Ьз †ос. Пля уравнения (1) характеристическое уравнение а(х, у)(т(у) — 2Ь(х, у) т(х тту + с(х,у)(т(х) = 0 распадается на два уравнения: от(у — (Ь+ за — ) (х = О, (2) ат(у — (Ь вЂ” ~/Р— ас) т(х = О. (3) Уравнения гиперболического типа: Ьт — ас) О. Обцще интегралы то(х, у) = ст, ут(х, у) = сз уравнений (2) и (3) действительны и различны. Онн определяют два различных семейства действительных характеристик для уравнения (1).