В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 7

Заменой переменных с = вт(х,у), л = чт(х,у) уравнение (1) приводится к каноническому виду иго —— ФЯ,т1,и,иС,ио). Уравнения параболического типа: Ьз — ас = О. Уравнения (2) н (3) совпадают. Общий интеграл ст(х,у) = с уравнения (2) определяет семейство действительных характеристик для уравнения (1). Заменой переменных ( = от(х,у), л = ут(х,у), где ттт(х, у) — любая гладкая функция такая, что эта замена переменных взаимно однозначна в рассматриваемой области, уравнение (1) приводится к каноническому виду ивк —— Фт (с, тт, и, ит, и„).

Уравнения эллиптического типа: Ьз — ас < О. Пусть вт(х,у) + т16(х,у) = с — общий интеграл уравнения (2), где Зт(х, у) и тт(х, р) — действительные функции*>. Тогда заменой переменных с = тр(х,у), 0 = ттт(х,у) уравнение (1) приводится к каноническому виду иц+иоо = Фт(Ь т1,и ие,ио). 2.2. В каждой области, где сохраняется тнп уравнении, привести к каноническому виду уравнения: 1) и, — 2и,о — Зиоо+ио — — 0; 2) и„— би,о+ 10и„„+ и, — Зиг — — 0; ~тЕгли а,6, с — аналитические фуикцви, то существование обптвго' интеграла уравнения (2) вьггвкает из теоремы Ковалевской.

г Я. г1лаееирнкацня уравнений второго поряока 35 4) и — хиуу — — 0; 6) хи„— уиуу = 0; 6) хги +Угиуу = О; 10) уги„— хги = О 12) 4уги — ег*иуу — — 0; 3) 4иее+4и,у+игу — 2иу = 0; 5) и — уиуу — -0; 7) уи„— хиуу —— 0; 9) у нее+я иуу = О; 11) (1+хо) и„+(1+уз)иуу+уи„= 0; 13) и„— 2ьбпхи у+ (2 — совгх)иуу — — 0; 14) Уги + 2ди у + иуу = 0; 15) х иее — 2хиау+ иуу = О. г Пусть козффициенты уравнения (1) непрерывны в некоторой области Р.

Функция и(х, у) называется рещекием уравнения (1), если она пренадлежит классу Сг(Р) и удовлетворяет уравнению (1) в области Р. Множество всех решений уравнения (1) называется общим решением уравнения (1). 2) и,е — а иуу =0; г 4) и,у+оке = 0; б) и у+аи,+Ьиу+аЬи 0; 2.3. Найти общее решение уравнений с постоянными коэффициен- тами: 1) и,у=О; 3) и,е — 2и,у — Зиуа = 0; 5) Зи,— 5и,у-2иуу+Зи +иу — — 2; 7) и,у — 2и, — Зиу + би = 2е*+"; 6) и,е+2аиеу+агиуу+и, +аиу —— О. 2.4. Доказать, что уравнение с постоянными козффициевтами и,у+пи, +Ьиу+си = 0 заменой и(х, У) = э(х, У) е ье '" пРиводитсЯ к видУ еау+ (с — аЬ) и = О.

2.5. Доказать, что общее решение уравнения и „= и имеет вид и(х, у) = (,((1),Уо (2е~/у(х — Ц) Й+ о у + / д($) уо (2е~ЙЬ вЂ” 1)) ей+ [1(0) + д(0)] Хо (2еьДуу), о где,Уо(г) — фУнкциЯ Бесселл, а 1 и д — пРоизвольные фУнкции клас- са С'. 2.6. Доказать, что общее решение уравнения и,у = Г(х,у), где Р 6 С()х — хо] < а, ]у — уо] < Ь), имеет вид и(х, у) = 1(х) + д(у) + (~ Щд) Йд ас, ео уе где 1 и д — произвольные функции класса Сг. 2.7, Доказать, что общее решение уравнения и,у + А(х, у) ие = О, где А(х, у) е С'(]х — хо! < а, )у — уо! < Ь), имеет вид 36 Гл. 1 Посвоавоека куаеамх задач мавоемавоивеское 41воака хо) = Во) + ~о(О) о -~АКо)оо( а, ео ео где 1 и у — произвольные функции классов Сг и С' соответственно. 2.8.

Локазать, что общее решение уравнения 1 1 иое — — ио + — и„= О х — у х у Х(х) + у(у) имеет вид и(х,у) = , где 1 и д — произвольные функции из х у класса ьа. 2.9. Доказать, что общее решение уравнения и ио и,о — — и, + — ие — — О, х — у х — у где и и иг — натуральные числа, имеет вид д"+ ~ 1(х) + у(у) дх 'ду" '( х— х — у где 1 и у — произвольные функции из классов С +~ и С"+г соот- ветственно. 2.10. Доказать, что общее решение уравнения и ио и,„+ — ие — — ио = О, х — у х — у где и и иг — неотрицательные целые числа, имеет вид и(х ) = (.

)»+»+г д" ~1(х) + у(У) дх»ду~~ ~ х — у где 1 и у — произвольные функции из классов С»+г и С'"+г соответ- ственно. 2.11. В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнений: 1) Уи, + (х — У) и,о — хиос —— О; 2) хги, — Уги„е — — О; 3) х и, +2хуи,„-ЗУ и„„-2хи =О; 4) х иее+2хуи,„+у ид,— — О; г г г 5)и,„— хи +и=О; 6) иее+2хуие — 2хи = О; 7) и „+и +уие+(у — 1)и = О; 8) и „+ хи, + 2уио + 2хуи = О. Ответы х 22 1 1 1) ой+нос+иЯ О~ ь х~ 9 у х~ ь х 2у+2г' 1 1 1 2) иЫ вЂ” иоо+иИ + ио — — О; ь = 2 х, о1 = 2 к+У, ь = — 2 х — У+ х; 3) ии — иоо+2ио =О; ~ = х+ У, о1 = У вЂ” х, ~ = У+я; г а. Клаееификациа уравнений араороао иорадка 37 4) исс + ирр = 0; с = х, ц = у — х, ~ = 2х — у + г; 3 1 1 5) исс — ирр -исс =О, 4 — х, ч — у — *, ~ — -* — -у+-г; 6) иСС+ирр+иСС+и, =0; С=х, г1=у — х, ~=х — у+г, т=2х — 2у+г+$; 7) иСС -ирр+иСС+ и„= 0; 4 = х+у, г1 = у — х, С' = х, т = у+ х+1; 8) иИ и +иСС и =0; 4=х+у, г1=х — у, ~= — 2у+г+1, т=г — 1; 9) иСС - ирр+ иСС = 0; С = х, ц = у — х, ~ = 2х- у+ а, т = х+ а+ й; 10) иСС + ир„— — 0; С = х, г1 = у, ~ = — х — у + г, т = х — у + й; П » 11) ~ ис„с, =О, ~» = ~,'хи у=1,2,...,л; »»л "* 8=1 П » 12) ~ ( — 1)»+'ис„С, = О, ~» = Я хи й = 1,2,...,л; »»л ю=г а 13) 2 ис,с„— -О, Сг =хг, 4» =х» — х» г, к=2,3,...,и; »=1 ~2й 1 14) ~ ифф=О, С»=)/ — (х» — — 2 х1), й=1,2,...,и; »=г "+ 1 а 1<» 3 — и а 15) иС,С, — ~„ифф= О, Сг = хг + ~1 — 2, х», »=г 1/2(к — 1) " 1 »=г 1 (» = — хг — зГ2х», й = 2,3>...,п.

1 2.2. 1) игр — 16 (ис — ир) = О, ие = х — у, ц = Зх + у; 2) ии + ирр + ис = О, с = х, л = Зх + у; 3) ир„ + ис = О, 4 = х — 2у, л = х; 4) игр+ (иС+ир) =О, С = — хауз+у, О= -хзуг — у, х> 0; 1 2 г 2 за 6(4+у) " ' 3 ' 3 2 зг иСС+ирр+ — иС =О, е= — ( — х)зуг, г1=у, х < 0; 1 5) иср + (ис — ир) = О, 4' = х + 2~/У, л = х — 2 ф, у > 0; 1 иСС + ирр — — ир ее О, ( = х, е1 = 2/:У, У < 0; 1 1 6) иц — ирр — -иС + — ир — — О, С = 1/)х(, е1 = /)у) (х > О, у > 0 или х < О, у < 0); исс + ирр — -ис — — ир ее О, с = ~Дх(, ц=~/ф (х>0, у<0илих<0, у>0); 7) исс — ирр+ — ис — — ир = О ( )х)зУг л )фзУг (х > О, Зс с Зр у > 0 или х < О, у < О); исс + и„„+ — ис + — ир = О, 4 = /х)з/г, РР 34 3,1 ив гр = /у/з~г (х > О, у < 0 или х < О, у > 0); 38 Гл.

5 Постановка краевме задач леатематнческой физики 8) иц + и„в — ие — и„= О, с' = 1п]х], ц = 1и ]у] (в каждом квадранте); 1 9) пес+и„„+ — иг+ — и„=О, С=уз, )1=хе (вкаждомквад- 10) игв +,, ())иг — Сив) = О, С = Уг — хг, г) = Уг + хг 1 (в каждом квадранте); 11) иге+ 脄— ФЬ (иг = О, С = 1п (х+ з/Г+хд), )1 = (и (у+ /Г+ р~); 12) иев — (иС вЂ” и„)+ (иг+ир) =О, 4 =уз+в*, г) = 1 1 =уг — е* (у)Олину<0); 13) иге + иор + сов сиз = О, с = х, г) = у — соек; 14) иоо — 2иг — — Ог 4 = 2х — у, д = у; 15) 脄— ~иг =О, С = хе", )1 = у; 2.3.

1) /(х) + д(у); 2) Ду + ах) + д(у — ах); 3) ((х — у) + д(Зх+ у); 4) /(у) + д(х) е ве; . 5) х - у+ Дх — Зу) + д(2х+ у) е)зв еуг; 6) Щх) + д(у)] е ' 7) ее+о+(Дх)+д(у)]ез +ге 8) Ду-ох)+д(у — ах)е *. 2.11. 1) /(х+у) +(х — у)д(хг — уг) (х ) -у или х < -у); 2) Дхр) + /]ху] д(-) (в каждом квадранте); У г хв1 3) У(ху) + ]ху]зуед ] — *) (в каждом квадранте); У 4) хг Н + д( — ) (в каждом квадранте); У У 5) х/(у) — У'(у) + /(х — с) д(с) еез)(с (У к а з а н и е.

Обозначая о и, = е, получить соотношения и = хе — ее, иве — хее = 0.); 6) 2уд(х) + - дг(х) + / (у - 4) у (С) е * е Щ (У к а з а н и е. Обознав 1 чал ие = е, полУчить соотношениЯ и = — ив+Ус, иву+ 2хрео = 0.); з г) ')г)) )ге (ь)г))г-г)г)г) "Иг] )у . Ог о значая ие + и = э, получить соотношения и = ее + уе, е,„+ ил+ + уиу + уе = 0 )г е) .-"~г)))г)) )г ))г-„)г)); г] О ° . ог о значая ив+ хи = е, получить соотношения и = ив + 2уи, (ив+хе), + +2у(во+ хе) = 0.). Глава П ФУНКЦИОНАЛЬНЬЖНРОСТРАНСТВА И ИНТЕГРАЛЬНЫЖ УРАВНЕНИИ 2 3. Измеримые функции.

Интеграл Лебега 1. Измеримые функции. Множество Е С Е" называется множеством (и-мерной) меры нуль, если по любому г ) О можно найти покрывающее его счетное множество открытых (и-мерных) кубов, сумма объемов которых меньше г. Пусть Я С Е" — область. Если нехоторое свойство выполнено всюду в 9, за исключением, быть может, множества меры нуль, то юворят, что зто свойство выполнено почти всюду в Я (п.в. в Я). Заданная в области Я функция 1(х) называется нэмвраной в Я, если она является пределом и. в.

в Я сходящейся последовательности функций вз С(Д). Если Дх) = д(х) п.в. в Я, то говорят, что функции эквнвавентны в Я. 3.1. Установить, что следующие множества являются множествами меры нуль: 1) конечное множество точек; 2) счетное множество точек; 3) пересечение счетною множества множеств меры нуль; 4) объединение счетною множества множеств меры нуль; 5) гладкая (и — 1)-мерная поверхность; 6) гладкая Ьмернэя поверхность (й < и — 1). В задачах 3.2-3.9 доказать утверждения.

3.2. Функция Пирихле т(х) (равная 1, если все координаты точки х рациональны, и О в противоположном случае) равна нулю и.в. 1 3.3. Функция Дх) = — почти всюду непрерывна в Е". 1 — ~х) 3,4. Последовательность функций 1„(х) = ~х)" в шаре ~х( < 1 сходится к нулю и. в. 3.5. Теорема. Ляя того чтобы множество Е было множеством меры нуль, необходнмо и достаточно, чтобы срцествоваво такое его покрытие счетной снстемой открытых кубов с конечной суммой объемов, при котором каждая точка Е оказывается покрытой бесконечным множеством кубов. 40 Гл. П, Функциональные просперанстеа и интеералъные уравнение 3 .6.