В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 10

Показать, что отвечающие различным собственным значеаз виям собственные функции оператора — — „заданного на функци- юс из Сз((0, 1)) П Сз([0, 1)) при граничных условиях (Ьи — и,)[,-а = = и[,-з = О, Ь вЂ” постоянная, ортогональны в Ьз(0, 1). 4.25. Показать, что отвечающие различным значениям собствен- ные функции оператора — Ь, заданного на функциях / Е Сз (с/) П С~Я) где приграничном условиии[г = Оили ~ — +у(х) нИ = О,гдеу 5 С(Г), ~ди лг ортогональны в Ьг Я).

4.26. Пусть р 5 С(ф), р(х) > ро > О. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собственные функции операто- ра — — сз, заданного на Сз(9) и С~(ч) при граничных условиях Р(*) задачи 4.25, ортогональны в Акра). 4.27. Пусть р 5 Се[0, 1), д Е С[0, Цз Р Е С[0, 1[, Р(х) > Ре > О Показать, что отвечающие различным собственным значениям собст- венные функции оператора — — ~р(*) — ]+ —, 1 Ы И а(х) Р(*) 4 4 Р(х)' заданного на Сз((0, 1)) П Сз([0,1)) при граничных условиях и,[,-о — — О, (оа + Ни)[, з = 0 (Н вЂ” постоянная), ортогональны в Ьз,р(0, 1). 4.28. Пусть р Е С'Д), 4 е С(Я), р Е С(Ц), р(х) > ро > О. Псжвзать, что отвечающие различным собственным значениям 1 собственные функции оператора — — Йч (рйгаб) + д(х), заданного р(х) 52 Гд йй Фрнинноиааеиые ироетраневава и нюаеерааьные уравнения на СгЯ) Г1 С~(ф) при граничных условиях задачи 425, ортогональны в Ьг ~Д). 4.29.

Показать, что принадлежащие Сг ф) ГЗ С" (9) решения в 9 уравнения Ьи = О, удовлетворяющие при различных Л граничному I ди условию ~ — + ЛиМ = О, ортогонзльны в Ьг(Г). 4.30. Показать, что последовательность вшйх, й = 1,2, ..., сходится слабо к нулю в Ьг(0, 2и), но не сходится в норме Ьг(0, 2я).

В задачах 4.31 — 4.39 доказать утверждения. 4.31. Если последовательность у„(х), и = 1, 2, ..., функций из Ьг(5)) сходится к у(х) по норме ЬгЯ), то она сходится и слабо к Яя). 4.32. Если последовательность у„(х), и = 1,2, ..., функций из Ьг(Ю) сходится к у(х) по норме Ьг(СВ), то /у„еЬ вЂ” + ( у дя, и — ~ оо (Я вЂ” ограниченная область). 4.33. Если иь е 1гМ)~ й = 1,2, ..., и ряд С иь(х) сходится ОО а=1 к и(х) по норме Ьг®), то ~ ( иа Ия = (иНх Я вЂ” ограниченная область). '=' 0 а 4.34.

Если последовательность у„(х), и = 1,2,..., функций из С(Ц) сходится к у(я) равномерно в ф, то она сходится и по норме ЬгЯ) (() — ограниченная область). 4.35, Если последовательность у„(х), и = 1,2,..., функций из ЬгМ) сходится слабо к у(х) Е ЬгЯ), то последовательность норм ~ЩхНь,<0)1 и = 1, 2, ..., ограничена. 4.36. Если последовательность у„(х), и = 1,2,..., функций из Ьг(()) сходится слабо к у(х) ~ ЬгЯ) и Оуа(я)5 — + Оу(кЦ при и — о оо, то эта последовательность сходится к у (х) и по норме Ьг Я) . 4.37. Для любой функции у(х) 5 ЬгЯ) имеет место неравенство Бесселя ОО ~~ЬГ < !афпг, а=1 где уе, й = 1, 2, ..., — козффициенты Фурье функции у по ортонорми- рованной системе еы ег,...

4.38. Любая ортонормированная система еы..., е„, ... в Ьг(ф схо- дится слабо к нулю, но не сходится по норме Ьг(Я). 4.39. Для любой у б Ьг(Я) 53 з 4, аьянннианааьнме прассарансеаеа (т. е. л-я частная сумма ряда Фурье наилучшим образом приближает у(х) в Хз(ьг)). 4.40. Найти многочлен 2-й степени, наилучшим образом приближающий в Ьз( — 1,1) функцию: а) хз; б) в1пях; в) ]х]. 4.41. Найти тригонометрический миогочлен первого порядка, наилучшим образом приближающий в Ьз(-я, я) функцию: а) ]х]; б) вш 4.42. Найти многочлен первой степени, наилучшим образом приближающни В Ьз Мь) функцию хь — х„где Щ: а) круг хзь+х~ ~<1; б) квадрат 0<хм хз <1. 4.43. Установить полноту в ЬзЯ) систем: а) в1пйх, 5=1,2,..., д= [О,я]; б) вш (2й+ 1) х, й = О, 1, ..., 1~ = (О, я/2].

В задачах 4.44-4.50 джазать утверждения. 4.44. Многочлены Лежандра (задача 4.21) и многочлены Чебышева (задача 4.22) образуют ортонормированные базисы пространства 1 з( — 1,1) и Ьз ь~,д —;т( — 1, 1) соответственно. 4.45. Чтобы ортонормированная в ЬзЯ) система вы ез, ... была ортонормированным базисом ЬЩ), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции у б Ьз(Ц) выполнялось неравенство Парсеваля— Стеклова ]]У!]' = ~ ]Уз]'. ь=1 ь 4.46. Если ~ б йз(а, Ь) и ~ хь~(х) 4х = 0 для й = 0,1, ..., то у(х) = 0 п. в.

на (а, Ь). 4.47. Если у б Ьз и /хау(х) ь(х = О для всех а, ]о] = О, 1,..., то У(х) = 0 и.в. в ф 4.48. Если уь и дь, я = 1,2, ..., — коэффициенты Фурье функций у и д из ЬзЯ) по некоторому ортонормированному базису, то У,р) =,') Ьрь. я=г 4.49. Всякая ортонормированная система еы сз, ..., е„линейно независима. 4.50. Для того чтобы система функций ьсм..., ~р„из Ьз®) была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма беЬ ]](у„хр) )], ь, е = 1, ..., л, был отличен от нуля. 54 Гх. П. Фрннииона вныо просигранстпоп и интпегропхнмх грахнених Пусть рг, ..., ~р„— некоторая лниейно независимая система функций из Хг(Я) (или Хг,р(9)). Функцию ег(х) определим следующим образом: ег — — —. Подберем постоянные сг и сг так, чтобы функнг =!М!! ция ег = сгег + огггг была нормированной и ортогональной в Хг(Я) (в Хг рф)) к функции ег и т.

д. При условии, что построены функции ег, ...,е„г, функцию е„будем разыскивать в виде е„= )ггег+ +Хдгег + " +,бп-геп г + Д,Згп с такими постоянными Д,...,Д„ чтобы е„была нормированной и ортогональной к функциям ег,... ..., е„г. Этот способ ортонормирования системы уг(х), ..., у„(х) называется мепгодом Грамма-Шмидтпа. 4.51. Найти явное выражение функций еь, Й = 1,2, ...,и, через функции ~рг,..., гг„. 4.52. Ортонормировать в Хг,р((~) методом Грамма-Шмидта следующие последовательности функций, предварительно убедившись в их линейной независимости: а) 1,х,хг,хг (р=1, Я=( — 1,+1)); б) 1 — х, 1+хг,1+хг (р= 1, 13 =( — 1,+1)); в) з1пгкх,1,созкх (р=1, Я=(-1,+1)); г) 1,х,хг (р= е *, Я = (О,оо)); д) 1,х,хг (р= е * Хг, сХ = (-оо,+со)); е) 1,х,хг (р=гХ1—- '1 , д=(-1,1)); ж) 1,х,хг (р = 1/~/1 — х', Ц = (-1, 1)). 4.53.

Показать, что в результате ортонормирования системы 1, х, хг, ... метоцом Грамма — Шмидта в скалярном произведении 1 (У р) = ) ~;~ —;;«* о получается ортонормированный базис пространства Хг гХ, г хг(-1,1), состожций из многочленов Чебышева Тп(х), п = 1, 2, ...

4.54. Ортонормировать систему многочленов 1, хг, хг в круге 1х~ с 1 со скалярным произведением (и,и) = / ирах. )и~<1 4.55. Ортонормировать систему многочленов 1,хмхг,хз в шаре 1х~ < 1, х = (хы хг, хг), со скалярным произведением (и,и) = ~ ийх(х. )х(<1 д 4. Фдннннонооьныс нроанронсомо 4.56. Обозначим через Ц( — со,оо) множество таких функций У(х) б Ьз,мс(-оо, оо), длЯ котоРых сУществУет конечный пРедел .Пщ — Я~ох. Показать, что Ц(-оо, оо) — гильбертово пространгйу ство со скалярным произведением (у,д) = йщ — ( удоях. 4.$Т.

Показать, что система функций е' *, где а — любое вещественное число, является ортонормированной системой в Ц( — оо,оо) (см. предыдушую задачу). Ы С = ( ( К о ~о, )а. (~ 1 ~а)<ь а соответствующую согласованную с ним норму— 1/3 в „=[~(у; ~о.л')о] . (2) (2') При й = 0 пространство НвЯ) совпацает с А~Я) (НоЯ) = Рз (Я)) . Если граница Г достаточно глацкан, то пространство Нз ф) есть пополнение множества Сз(Ц) по норме (2').

~~Более общее определение смо В л а л и м н р о н В. С. Уравнения математической фнзннн. — 5-е изл. — Мо Наука, 1985. 3. Гильбертовы пространства диффереицируемых функций. Пусть Ц вЂ” некоторая ограниченная область пространства Но с гладкой границей Г. Пусть а = (ам ..., а„) — мультииндекс (см. обозначения). Функция у(а> е Ь1яос(9) называется обобщенной производной (о.п.) порядка а функции у из Ьц1ос(Я), если для любой финитной в Я функции д б С~ ~(Я) имеет место равенство~~ / ~ра 4 ( 1)(а~ ~ ~(а) (1) Я Я Если функция у б С~~~(9), то о.п. ~<~>(х) существует и у< >(х) = = РоДх) п.в.

Позтому в дальнейшем о. п. порядка а функции Дх) будет обозначаться через Р у. Множество функций (будем считать их вещественными) у Е Ьз(сс), имеющих все о. и. до порядка й включительно, принадлежащие Ьз(9), называется нростронсслвом Соболева НзЯ). НвЯ) — гильбертово пространство.