В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

УДК 517 ВБК 22.18 С23 Авторы: В. С. ВЛАДИМИРОВ, А.А. ВАШАРИН, Х.Х. КАРИМОВА, В. П. МИХАЙЛОВ, Ю.В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН Сборник задач по уравиеииим математической физики / Под ред. В.С. Владимирова. — 4-е изд., стереотип. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003.— 288 с. — 1ЯВН 5-9221-0309-1. Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет. В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в когорых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. Второе издание — 1982 г.

Для студентов фкзико-математических и инженерно-физических специальностей вузов. Ил. 4. Библиогр. 8 наев. 1ВВН 5-9221-0309-1 Ос ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003 СОДЕРгКАНИЕ Предисловие к третьему изданию Из предисловия к первому изданию Основные определешш и обозначения Глава 1. Постановки краевых задач математической физики . 3 1. Вывод уравнений и постэловки краевых задач ............ 3 2.

Классифиющзш уравнений второго порядка................ Глава П. Функциональные пространства и интегральные уравнения .. 3 3. Измеримые функции, интеграл Лебега..................... 3 4. Функциональные пространства............................. 3 5. Интегральные уравнения Глава 1П. Обобшенные функции..............................

зб. Основные и обобщенные функции.......................... з 7. Лифференпирование обобщенных функдвй................. 3 3. Прямое произведение и свертка обобщенных функций..... 39. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста . 3 10. Преобразование Лэлласа обобщенных функций ............

311. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов. Глава 1Ч. Задача Коши "312. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического тида . 3 13. Задача Коши для уравнения теплопровацностн....,....... 3 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гуров ...... Г л а в а Ч. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа . 3 15. Задача Штурма-Лиувилля 31б. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона. 3 17. Функция Грина оператора Лапласа......................... 318. Метод потенциалов.

3 19. Вариационные методы Г л а в а Ч1. Смешанная задача. 3 20. Метод разделения переменных 3 21. Лругие методы Л о и о л н е н н е. Примеры решений некоторых типовых задач .. Список литературы ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИ1О Третье издание сборника задач по уравнениям математической физики не отличается от второго (1982 г.) по содержанию. Авторы лишь исправилн отдельные неточности в формулировках задач и устранили опечатки.

Во втором издании было добавлено небольшое число задач (в основном в главу 1Н) к первому изданию сборника (1974 г.). Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского физико-технического института за конструктивную критику, за предложения и замечания, которые способствовали улучшению сборника и позволили устранить неточности и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны Т.Ф. Волкову, Ю.Н. Дрожжинову, А.Д. Кутасову, В.Б. Лидскому, А. Ф.

Никифорову, В. И. Чаянову. Аешоры Январь 2001 г. ИЗ ПРЕПИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗПАНИЮ Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнения математической физики». Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет юучать с единой точки зрения наиболее интересные задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре высшей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы: «Уравнения математической физики» В. С.

Владимирова и «Уравнения в частных производных» В.П. Михайлова. Настожций «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. Помимо классических краевых задач в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения.

Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов ю различных областей современного анализа. Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям.

Этот сборник рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой. 1974 г. А в шоры ОСНОВНЬХЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. х = (хюхз,...,х ), у = (уыуз,...,уп) — точки и-мерною вещественного евклидова пространства В", х1»хз" »хп) ( 1(х) йх = ~у(хм хо,...,хп)аахм..йх„. и" 3. а = (аы аз, ..., ап) — мультииндекс (ау > О вялые); а(=а !а !...а ! х =х»'х '...х'„"". г " и.

и 4. (х, у) = х1 уз + хо уз + ... + хпуп ! =~п= ~*,*1=,Я+*Г+-+**. 5. У(хо, .В) = (х: !х — хо! < В) — открытый шар с центром в точ- ке хо радиуса В; В(хо! В) = (х: !х — хо! = В) — сфера Ул = У(О; В), Вн = В(О,В). 6. Множество А будем называть строго лежащим в области 0 с В" и писать А с С, если А ограничено и А С С. 7. Функция 1(х) называется локально интегрируемой в области С, если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти 6' Ф С. Функции, локально интегрируемые в В", будем называть локально интегрируемыми функциями. В~»~( ) д У(хохм ",х ) Ях 16»1 бх»» 9. С" (С) — класс функций у, непрерывных вместе с производными В~~, !а! < р (О < р < оо), в области О С В".

Функции !' б Со(С), у которых все производные Ю»у, !а! < р, допускают непрерывное продолжение на замыкание С, образуют класс Со(С); С(С) = Со(0), С(С) = Со(С); функции у е С" (О) при всех р образуют класс С»»(С). 10. Равномерная сходимость последовательности функций (!ь) к функции у на множестве А обозначается уь(х)::ф 1(х), Й вЂ” > оо. 11.

А 0  — объединение множеств А и В; А Г!  — пересече- ние А и В; А х  — прямое произведение А и В (множество пар (а, о) (о б А, о й В)); А! — дополнение В до А. Основные абознанвннв н определанна 12. Наситпелем непрерывной функции /(х) называется замыкание множества тес точек х, в которых /(х) ф О.

Носитель функции / обозначается вирр /. Если измеримая на области С функция /(х) об- ращается в нуль почти всюду в С/С', где С' а С, то / называется финипгноб в С функцией; функция, финитная в Вй, называется фи- нвгпна6. д д дг дг 13.

Ь = — + — +... + — — оператор Лапласа; Пв = — -аза,— д*', дх', " ' дх'„ дг2 воиновой оператор; П, = П; — — а Ь вЂ” оператор теппопроводности. д г 14. Г+ = (х, $: а1 > (х() — конус будущего. е 15. Ф(С) = — /е * ~гЫг. /йл л~ 1Се ' Л' ~'~1, (х! <е, 16. ыв(х) = ~ где С, = е "", О, 1х( > е, н г = /е гЛ' * 1бх", ы, — ядро усреднения, «шапочка». о 17. С вЂ” плоскость комплексного переменного. /1, х>0, 18. 6(х) — функция Хевисайда: д(х) = ~ (О, х< 0. глаз 19. о„= / Ив = — площадь поверхности единичной сфе- Г(н/2) я1 ры Яг в Я".

20. В Сл(С) введена норма 1Лс.(с1 = ~~' ~~У /(~)( )а)бр 21. Совокупность (измеримык) функций /(х), дпя которых (Д" интегрируема на С, обозначается через Хр(С). Норма в Ьр(С) вво- дится так: 1 1/в пь ... = (/в~ н~ !1Пь (с) = вга1 зпр)/(хН, Р = оо. веС В Ьг(С) вводится скалярное произведение (/,9) = / Удбх, /,У 6 Ьг(С). 22.

Пусть р(х) — непрерывная положительны функция в облас- ти С. Совокупность (нзмеримых) функций Дх), для которых функция Основные обозначения и онредеоентиг 23. Цилиндрические функции: а) функции Несселя ( — 1) Ух ~зь+" ~- Г(я+ +ЦГ(й+ц Б! <*< б) функции Неймана гги(х) = —. (,7„(х) соз яи — у-и(х)], и ~ и 1 зш яи гг' (х) = — ~ " ( 1)н — ) 1 ГдГ (Х) оду (Х)1 я~ ди ди в) функции Ханкеля О,' (х) = А,(х) + ъИ„(х), Н(з)(х) — г„( );К ( ).

г) функции мнимого аргумента у (х) =е 'мгзо„(гх), К„(х) = — е'"'~ гз( 1(ех) 2 р(х)Ц(х)1з интегрируема на С, обозначим через Ьз,р(С); Йз,о(г ) гильбертово пространство со скалярным произвеяенйем (Л р)ь,,,(С) = /ИИ*. Глава 1 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАЛАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ $1. Вывод уравнений и постановки краевых задач Условимся в следующих обозначениях: р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная); То — натяжение струны, мембраны; Š— модуль Юнга; Й вЂ” коэффициент упругости упругого закрепления концов струны, ртержня или края мембраны; Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.; 7 = ср/с„— показатель адиабаты; р, ре — давление газа, жидкости; гл, пзо — масса; д — ускорение силы тяжести; ы — угловая скорость; Й,Й(х),Й(х,и) — коэффициент внутренней теплопроводности; а — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теплообмена);  — коэффициент диффузии.

Приведем несколько примеров на составление уравнений. Пример 1. Задачи о поперечных холе баниях с т р у н ы. Струна длиной ! натянута с силой Те и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени 1 = О точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить задачу для определения малых поперечных колебаний точки струны при 3 > О, если концы струны: а) закреплены жестко; б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения и; в) закреплены упруго, т. е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное противоположно ему; г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам. Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь. 10 Гл.