В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 8

Функция у б С(Я) измерима. 3.7. Если Дх) и д(х) эквивалентны и д(х) измерима в О, то Дх) тоже измерима в Я. 3.3. Предел почти всюду сходящейся последовательности измери- мых функций является измеримой функцией. 3.9. Функция, непрерывная в Ц за исключением подмножества, составленного из конечного (ипн счетного) числа гладких Й-мерных поверхностей (Й < и — 1), измерима в Я.

3.10. Установить измеримость следующих функций, заданных на отрезке ( — 1, 1); а) у =в13пх; 1 1т ) в1п —, х ф О,, в13п ~в1п -), х е6 О, б)д= х' ' в)дт х~' 1 т г) дт и — если х = — при взаимно простых ти, и, и О, если х иррационально. 3.11. Пусть функции Дх) и д(х) измеримы в Ч. Установить из- меримость следующих функций: а) 1(х) д(х); б) — (при условии д(х) ЗВ О, х 6 Я); У(х) д( ') в) )Дх)); г) Щх))е1е), если Дх) > О. 3.12. Пусть у(х) б С(Я) и в каждой точке х б Я существует производная у,. 11оказать, что 1 измерима в Я. 3.13. а) Пусть функции Дх) и д(х) измеримы в Я. Показать из- меримость в Я функций щах(у(х),д(х)), ппп Ц(х),д(х)).

б) Доказать, что всякая измеримая функция 1(х) есть разность двух неотрицательных измеримых функций У+(х) = паек(7(х),0), .1 (х) = щ1п(0, -г(х)). 3.14. Локазать, что неубывающая (невозрастающая) на отрезке (а, а] функция измерима. 3.15. Показать, что если 1(х) измерима в 9, то существует после- довательность многочпенов, сходящихся к Дх) п.в. в Я. 2. Интеграл Лебега.

Заданную в области Я функцию У(х) будем считать принадлежащей классу Ь+(Я), если существует неубывающая последовательность непрерывных в Я финитнык функций у„(х), ц = 1, 2,..., сходящаяся к Дх) и. в. в Д и такая, что последовательность интегралов (Римана) / 1„(х) сЬ ограничена сверху. При о У 3. Измеримме функции.

Интеграл Лебега 41 этом интеграл Лебега от функции Дх) Е В+Я) определяется равенством (Е) ~ 1 Йх = гпр / ~„~Ь = Нш ~ ~„Йх. Я Я ст Функция у (х) называется интпегрируемой по Лебегу по области 9, если ее можно представить в виде разности т (х) = тт(х) — /з(х) двух функций ут(х) и уг(х) из Ь+(Я). При этом интпеграл Лебега от функции Дх) определяется равенством (Е) 11дх=(1) 1Бдх — (1.)/Бах. Я ст ст Комплекснозначную функцию у(х) = Бе~(х) + т1т,т(х) будем называть интпегрируемой по Лебегу по области Я, если функции Бе Дх), 1шу(х) интегрируемы по Лебегу.

При этом по определению полагаем (Е) / 1дх = (Е) ( Пе~дх+т(Е)~1ш1дх. Я Я Я Множество интегрируемых по Лебегу по области 9 комплекснозначных функций, отождествляемых в случае их эквивалентности, обозначается Ет Ю) Функции из Ет(4)) конечны п. в. в Я. Если функция интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают.

Поэтому в дальнейшем будем опускать (Е) перед знаком интеграла; всегда под интегралом подразумевается интеграл Лебега, а под интегрируемой функцией — функция, интегрируемая по Лебегу. Более того, если функция абсолютно несобственно интегрируема по Риману, то она иитегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Следующие теоремы играют важную роль в теории лебеговского интегрирования. а) Если функция у(х) измерима в ьг и Щх)~ < д(х), где д(х) ч и ьт(тк) пю У б ото). В частпности, измеримая ограниченная функция в ограниченной области 9 принадлехситп Ет Я).

б) Теорема Лебега. Если последовательность измеримых в й функций ут (х),..., 1„(х), ... сходитпся к функции 1(х) и. в. в 9 и ~у„(х) ( < д(х), где д к Ет Я), то ~ ч Ет(ь)) и ~ У(х) тЬ вЂ” ь / т тЬ при и — т оо. 9 ст в) Теорема Фубини. Еслиу(х,у) ч1т(ЯхР), х=(хт,... ...,х„) ч Ю, у = (ут,",у~) б Р, где Я и Р— некотпорме областпи из Л" и Я соотпветпстпвенно, тпо ( Дх,у) ах б Ет(Р), / 1(х, у) лу б ьт(9) и Р 42 Гв.

П. Фунпиионааьные пространства и интеера ььные уравнения / /(х, у) йх ф = ~( <Ь / /(х, у) ду = / е(у / /(х, у) ~Ь. охр О Р Р Я Есаи /(х,у) измерима в Я х Р, дая п.в. х й Я функция Щх,у)~ й 0 Ь1(Р) и / ~/(х,у)! йу 0 Ь|((/), то У(х, у) 0 ЬЩ х Р). Р В задачах 3.16-3.20 доказать утверждения. 3.16. Если /(х) > 0 и / /(х) е(х = О, то /(х) = 0 и.в. в Я, Я 3.17. Если /(х) = 0 п.в. в Я, то / / Их = О.

О 3.18. Если /, д 6 Ь|(9), то а/+,бд 0 Ь1((3) при любых постоян- ных а и ~у. 3.19. Если / 0 А| Я), то Щ 0 Ьз Я) и (/~ ! /ю. Я о 3.20. Если / 0 Ь|(ьЕ), то для любого е > 0 найдется такал финит- ная функция д, 0 С(Ц), что / ~/ — д, ~ пх < е. Я 3.21. Проверить, что функпия Дирихле 1, если х рапиональное, /(х) = О, если х иррациональное, интегрируема по Лебегу на [О, 1], но не интегрируема по Риману.

Чему равен ее интеграл Лебега? 3.22. Найти интегралы по отрезку (О, Ц от следующих функций (прелварительно доказав их интегрируемость): / хз, если х иррационально, а) /(х) = ~ 1 О, если х рационально; хз, если х иррационально и больше 1/3, б) У(х) = хз, если х иррационально и меньше 1/3, О, если х рационально; аш я'х, если х иррационально и меньше 1/2, в) /(х) = хз, если х иррационально и больше 1/2, О, если х рационально; ы т 1/и, если х = т/и, где пь, и взаимно просты, г) /(х) = О, если х иррационально; г 8.

Измеримые гегиииии. Инпьеера е Иейееа 43 х г?з, если х иррационально, д) у(х) = хг, если х рационально; е) Дх) = е1рь (еш -). 3.23. При каких значениях а интегрируемы по шару ~х) < 1 следующие функции: а) у(х) = —; б) 1(х) =; в) Дх) ы '" "? 3.24. Пусть д(х) — измеримая и ограниченная функция в ограниченной области Ч. Показать, что функция у(х) = / — И вЂ” е — И~ при- г )х Я~а надлежит Со(я") при?е < и — а.

Я 3.25. Пусть у Е Ь|ф), Показать, что функция у(х), если в точке х Щх) ~ < Л, ум(х) = Ф, если в точке х ~Д(х)~ > Ф, интегрируема по Я и справедливо соотношение !пп ~~дч(х)е(х = ~~(х) цх. а Я 3.26. Пусть 9 = (О < хг < 1, 0 < хг < 1), а функция у(х) задана в Я следующим образом: — при (хг,хг) ф (0,0), а) у(х) = !4 0 при хг =хо=О; при (хмхг) ф (0>0), 0 при хг=хг=О; 1 хг — при 0<хг <хг <1, 2 в) У(х) — — при 0<хг<хг <1, 1 г 1 0 в остальных точках. 1) Принадлежат ли зти функции пространству 1 |(9)? 1 1 2) Принадлежат ли Ь| (О, 1) функции / У(хы хг) Ихы / Дхы хг) е(хг? о о 3) Выполняется ли равенство 1 1 1 1 / Ихг ~ ге(хыхг) е(хг = ~ Ихг /ге(хыхг) йхг? о о о о 44 Гл.

П. Фуннционплвмые простпрпнсневп и инепеервльные урпвменне Множество измеримых в Я функций, квадрат модуля которых принадлежит Х1(Я), называется проспзрпнсепеом Хзф) (при этом, как и в случае Хчф); эквивалентные функции считаются отождествленными). В задачах 3.28-3.33 доказать утверждения. 3.28. Если Хм Хз Е ХЩ), то ау1 + Руз й ХзЯ) при любых постояннык а и р". 3.29. Если Х й Хз(с)) и Д вЂ” ограниченная область (или область с огРаниченным объемом), то У б ХчЩ). 3.30. Ни одно из включений Хп(Л") с Хз(Н"), Хз(Н") С Х1(Я") места не имеет. 3.31. Если Х, д б Х з(Я), то Х д Е Хч Я).

3.32. Если Х, д Е Ьз®), то имеет место неравенство Буняковскою У '"1- О '")"'(Х '")"' 3.33. Если Х, д й ХаЯ), то имеет место неравенство Минковского Ы .Л*-)"'- у~С*")ме ((и')" с1 а 3.34. Установить принадлежность к Х з(9) следующих функций: а) у = х 1~З, Ч ее [О, Ц; б) у = —... Я ее (О, Ц; х '/зсозх, х иррационально, в) у= х з!з, х рационально, хфО, О, х=О, е!п (х1хе) [ ] Е О г) у = х1+хе Я = ([х[ < 1); О, [х[ = О, 9=[ — 1,Ц; 3.27. На отрезке [О, Ц задана последовательность ступенчатых функций Дп(х), и = 1, 2, ... 1 1+1 Х (х) = 1 при — <х< —, яв 0 для остальных х е [О,Ц, где целые числа и, й,д связаны соотношениями п=2" +е, 0 <1< 2ь — 1. 1 Показать, что Рцп / У„с(х = 0 и что Х„(х) — /е 0 при и — + оо п-+со л для х й [О,Ц.

45 Р 8. Изиерииме фрикции. Интеграл Леаееа Ответы к 3 3 3.21. О. 3.22. а) —; б) —; 3' 103' 3.23. а) а < и; б) а 3.26, а) 1) Нет; 2) б) 1) нет; 2) да; в) 1) нег; 2) да; 3.35. а > О, Р > О, 3.36. а) а <1; б) а в) — + —; г) 0; д) —; е) 1 — 21п2. 1 7 3 <1; в) а<2п. нет; 3) нет; 3) нет; 3) нет. 1 1 — + — < 1. 2а 21? > 1. ., !*!ФО,*Ф1!й, хг7ге13в (е1в к) ' ' ' д (О 1! О, х=О, х=1/й, 1 3,35. При каких а и (3 функция 1(х) = принадлежит !хг! +!хг!» Ьг((е), если се = (!хг ! + !хг! > 1). 3,36.