В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 4

Как и при выводе уравнения теплопровод- ности, выделим некоторый объем Й с границей Я и составим баланс количества вещества, пришедшего в Й за промежуток времени [8ы Фз]. Количество вещества, пришедшего в й через границу Я, согласно закону Нэрнста равно гг сг / сИ~Р(х) — сЬ = / с(с ~с)си(Ркгайи) сЬ. с, з с, и Количество вещества, образовавшегося в й за счет источников, равно / а/Р(х,с)И . с, и Количество вещества в й уменьшилось на величину сг / сй / д(х) и(х, с) сЬ с, и за счет поглощения среды (д(х) — коэффициент поглощения). По- скольку приращение количества вещества в Й за промежуток [Сы се] равно также с, / р(хии(х, гз) — и(х,сд)]сгх = / сгс / р — сЬ, и и Г1. Вмвод уравнения и поетпакоеки краеемх задач 21 Фе /до|(р е-б (Пааби)-у+Я ) Ь=О (1) и (подынтегральная функция считается непрерывной).

В силу произвольности й и промежутка времени (гм гз] из (1) вытекает равенство рие + ди = ейт (11 бгае(и) + Е. (2) Это и есть искомое уравнение диффузии. Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса диффузии необходимо знать начальное распределение плотности и)е-о = ~о(х), х 6 Й, и режим диффузии на границе области. Как и в случае примера 5, краевые условия имеют вид: а) и!г =ио' б) — ~ =О; ди в) Р— ~ = а(из — и)~г, где ио,и1 — заданные функции, а— коэффициент проницаемости граниды Г. 1.1. Найти статический прогиб струны, закрепленной на концах, под действием непрерывно распределенной нагрузки (на единицу длины).

1.2. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны с насаженной на нее в некоторой внутренней точке хо бусвной массы пз. 1.3. Вывести уравнение колебания струны, колеблющейся в упругой среде. 1.4. Крутильными колебаниями стержня называют такие колебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого, вращаясь при этом около оси стержня.

Вывести уравнение малых крутильных колебаний однородного цилиндрического стержня. Рассмотреть случаи: а) концы стержня свободны; б) концы стержня жестко закреплены; в) концы стержня упруго закреплены. 1.Б. Точкам упругого однородного прямоугольного стержня, жестко закрепленного на левом конце и свободного на правом, в начальный момент времени Г = О сообщены малые поперечные отклонения и скорости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня. Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонений точек стержня при г > О, предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания. 1.6. Труба, заполненная идеальным газом и открытая с одною конца, движется поступательно в направлении своей оси с постоянной 22 Га.

й Постановки краевых задач математической физики скоростью и. В момент времени с = 0 труба мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу об определении смещения газа внутри трубы на расстоянии х от закрытою конца. 1.7. Заключенный в цилиндрической трубке идельный газ совершает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются и все частицы газа двигаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения смещения и(х,х) частиц газа в случаях, когда концы трубки: а) закрыты жесткими непроницаемыми переюродками; б) открыты; в) закрыты поршеньками с пренебрежимо мапой массой, насаженными на пружинки с коэффициентами жесткости и и скользящими без трения внутри трубки. 1.8. Начиная с момента времени с = 0 один конец прямолинейного упругою однородного стержня совершает продольные копебания по заданному закону, а к другому приложена сила Ф(Г), направленная по оси стержня.

В момент времени с = 0 поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений точек стержня при ~ ) О. 1.9. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны, закрепленной на обоих концах, в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости. 1.10. Составить уравнение продольных колебаний стержня, у которого площадь поперечною сечения есть заданная функция от х, считая материал стержня однородным. 1.11. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в момент времени с = 0 сообщены начальные скорости и продольные отклонения.

Длина стержня равна (, радиусы оснований Н,г (Н > т), материал стержня однороден. Деформацией поперечных сечений пренебречь, 1.12. Находящаяся в горизонтальной плоскости невесомая струна с постоянной угповой скоростью ы вращается вокруг вертикальной оси, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени с = 0 точкам этой струны сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой пвоскости.

Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 1.13. Пусть в точке х = 0 бесконечной однородной струны находится шарик массы пзе. Начальные скорости и начальные отклонения точек струны равны нулю. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от их положения равновесия в следующих случаях: Г К Вмвод уравнения и постановки краевых задач 23 а) начиная с момента времени е = О на шарик действует сила г'= гоз1пйг; б) в начальный момент времени е = 0 шарик получает импульс ро в поперечном направлении; в) шарик в случае б) закреплен упруго с эффективной жесткостью йз.

1.14. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругогО стержня, один конец которого жестко закреплен, а друюй испытывает сопротивление, пропорциональное скорости. Сопротивлением среды пренебречь. 1.15. Во внутренних точках х = х;, е = 1, ...,и, на струне сосредоточены массы тп;, е = 1, ..., п. Поставить краевую задачу для определения малых поперечных колебаний струны при произвольных начальных данных. Концы струны закреплены.

1.16. Два полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены жестко торцами и составляют сдин неограниченный стержень. Пусть рд, Ед — плотность и модуль упругости одного из них, а рз, Ез — другою. Поставить краевую задачу для определения отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положения равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечениям сообщены некоторые продольные смещения и скорости. 1.17. Тяжелая однородная нить длиной с, закрепленная верхним концом (х = 1) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой схоростью ы. Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия имеет дги д ~ диз — = д — ~х — )+м и.

дсз дх ~ дх) 1.18. Поставить краевую задачу о поперечньпс колебаниях тяжелой однородной струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен. 1,19. Поставить задачу об определении магнитного поля внутри и вне цилиндрического проводника, по поверхности которого течет ток силой Х 1.20.

Кабель, имеющий потенциал ио, при с = О заземляется на одном конце через сосредоточенную емкость (или индуктивность); другой конец изолирован. Поставить задачу об определении электрического тока в кабеле. 1.21. Конец х = 0 круглого однородного вала закреплен, а к концу х = ~ жестко прикреплен диск с моментом инерции оо. В начальный момент времени диск закручивается на угол а и отпускается без начальной скорости.

Поставить краевую задачу для определения углов поворота поперечных сечений вала при 1 ) О. 1.22. Тяжелый стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент времени е = 0 24 Г*. 1. еУоспеаковки краевых задач мапземаеаическое еоизики стержень освобождается. Поставить краевую задачу о вынужденных колебаниях стержня.

1.23, Пусть все условия предыдущей задачи остаются без изменения, за исключением условия на нижнем конце: к нему прикреплен груз Я, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень).

1.24. Поставить задачу о движении полуограличенной струны (О < х < оо) при Г > О, если при е < 0 по ней бежит волна и(х, 1) = = у(х + ае), а конец струны х = 0 закреплен жестко. 1.25. Поставить краыеую задачу о малых радиальных колебаниях идеального однородного газа, заключенного в цилиндрической трубке радиуса Н настолько длинной, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Начальные отклонения и начальные скорости есть заданные функции от г.

1.26. Поставить задачу об обтекании шара стационарным потоком идеальной жидкости (потенциальное течение). Привести электростатическую аналогию. 1.27. Поставить краевую задачу о малых радиальных колебаниях идеального однородного газа, заключенного в сферическом сосуде радиуса П, если начальные скорости и начальные отклонения заданы как функции от г. 1.28. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембрашя, к которой приложено нормальное давление Р на единицу площади, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны.

Рассмотреть случаи: а) мембрана жестко закреплена на границе Ь; б) мембрана свободна на Ь; в) на части Ь1 границы Ь мембрана закреплена жестко, а на остальной части Ьз границы Ь она свободна. 1. 29. Поставить краевую задачу о колебании круглой однородной мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление которой пропорционалыю первой степени скорости.