В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 2

й Посо)околки краееык задач матпематпическоо физики Р е ш е н и е. Пусть ось х совпадает с направлением струны в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины. Это значит, что если мысленно разрезать струну в точке х, то действие одного участка струны на другой (сила натяжения Т) будет направлено по касательной к струне в точке х. Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны от х до х + Ьх и спроектируем все действующие на этот участок силы (включая и силы инерции) на оси координат.

Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил должна равняться нулю. Мы изучаем только поперечные колебания. Поэтому можно считать внешние силы и силу инерции направленнымн вдоль оси и. Примем во внимание также, что рассматриваются малые колебания струны. Это значит, что в процессе вывода уравнения мы будем пренебрегать квадратами величины и,(х, 8). Длина Я дуги АВ выражается интегралом е+Ье Я = ~ /1+из ((х = Ьх.

Это значит, что удлинения участков струны в процессе колебания не происходит и, следовательно, по закону Рука величина натяжения То — — ]Т] не зависит нн от времени, нн от х. Найдем проекции всех Рис. 1 снл в момент времени 1 на оси и. Проекция силы натяжения с точностью до бесконечно малых (б. м.) первого порядка равна (рис. 1): То(з1па(х+Ьх)-зша(х)] = То )к (*кк*) )к (*) ) )~ч (*ко ) ~к)' () + к(+к,е ° к*,)) — Тои (х, к) скх.

Пусть р(х, 1) — непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на участок АВ вдоль осн и действует сила р(х,1) Ьх, Для нахождения силы инерции участка АВ воспользуемся выражением — тлии, где тл — масса участка. Если р(х) — непрерывная линейная плотность струны, то ш = рЬх. Таким образом, проекция на ось и силы инерции задается выражением — рие(Ьх, а проекция всех сил на ось и имеет вид Вывод уравнвниа и посспановки краевых задач 11 (Тоив + р(х, 1) — р(х) исс) Ьх = О.

(1) Следовательно, Тоссвв — Р(х) ии+ р(х,с) = О, Это и есть уравнение вынухсденных колебаний спсруны. Если р = ьз солей, то уравнение принимает вид исс = а и, +у(х,з), з где аз = То~р, д(х,с) = р(х,з)/р. Кроме того, функция и(х, С) удовлетворяет начальным условиям и~с=о = ср(х), ис~с=о = Ф(х), где ср(х), сд(х) — заданные функции. Вывод краевых условий. а) Если концы струны жестко закреплены, то и)ы=о = О, и)~-с = О. б) В случае свободных концов для получения условия при х = 0 спроектируем на ось и силы, действующие на участок КМ (рис. 2).

Рис. 2 Так как натяжение в точке х = 0 действует лишь параллельно оси х, то проекция сил натяжения на участок КМ равна Тои,(сзх, С). Проекция внешней силы равна р(0, с) сзх, а проекция силы инерции равна -расс(0, с) Ьх. Приравнивая нулю их сумму, получим Тои,(Ьх, с) + р(0, с) Ьх — расс(0, с) Ьх = О. (2) Устремим дсх к нулю.

Тогда вследствие непрерывности и ограниченности входящих функций получим условие и,~,-о = О. Аналогично получается условие на правом конце и,~,-с = О. в) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выражением — йи(0, с) . Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, действующих на участок КМ, на ось и нулю. К левой части уравнения (2) добавится член — йи(0, с). Тогда имеем Тои (сзх,с) — йи(О,с) + р(0, 1) Ьх — рии(0, с) Ьх = О, а при Ьх -+ 0 получаем (и, — Аи)~в — о = О, Ь = й!То.

На правом конце (рис. 3) проекция всюс сил имеет вид 12 Га. 1. Еоспеаковки краевых задач машемапеическое газики Рнс. 3 -Тои (( — езх, е) — йи((Д + р((, е) езх — рисе(!Д езх = О, поскольку зша(1 — Ьх) И и,~еея а,. При Ьх -+ 0 получим (и, + ли)),=~ = О. г) и~,-о = ~и1(Ф), и~,-~ = рз(Ф), где функции р1(Ф), рз(Ф) определяют закон движения концов (рз(0) = <р(О), рз(0) = ~р(1)). Пример 2.

Задачи о колебании стержня. Упругий прямолинейный стержень длиной 1 выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент 4 = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что во время движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости, перпендикулярной к оси стержня, поставить задачу для определения малых продольных колебаний стержня при $ ) О. Рассмотреть случаи, когда концы стержня: а) закреплены жестко; б) двигаются в продольном направлении по заданным законам; в) свободны; г) захреплены упруго, т.е.

каждый из коннов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и направленную противоположно смещению. Р е ш е н и е. Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня (рис. 4) и пусть х — координата сечения ре1, когда оно находится в ре Рис. 4 покое. Мы изучаем малые продольные колебания стержня. Это значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленными вдоль оси стержня, Обозначим через и(х, 4) смещение этого сечения З 1. Выезд Зрааненнй н ноекеанаакн краевых задан 13 в момент е; тогда в рамках нашего предложения смещение сечения в точке х + Ьх будет и(х+Ьх,е) И и(х,Ф) +и,(х,$)Ьх. Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет равно и,(х, е). По закону Гука натяжение в этом сечении равно Т = ЕБи (х, $), где Я вЂ” площадь поперечного сечения, Š— модуль упругости материала стержня.

Уравнение колебаний стержня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включал силы инерции, действующие на участок рд, рзде. Равнодействующая сил натяжения равна Т(х+(зх) — Т(х) = ЕЯ(ие(х+Ьх,е) — и,(х,з)1 И ЕЯи„(х,е) Ьх. Пусть р(х,е) — объемная плотность внешних сил. Тогда на участок рд, р1д1 действует внешняя сила Яр(х,е) Ьх и сила инерции -р(х) Яиее(х, 1) Ьх. Сумма всех сил по принципу Паламбера равна нулю, т.е.

(ЕБи~(х,з) + р(х е) Я вЂ” р(х) Бизе(хД)Ьх = О. (1) Отсюда р(х) иы(х,е) = Еи (х,е) + р(х, е)' (2) кроме того, и(х, е) удовлетворяет начальным условиям и~е-о — — <р(х), ие'а=о = ф(х), где ~р(х),ер(х) — заданные функции. Если р(х) = р = = сопзФ (однородный стержень), то уравнение принимает вид им = а и„+д(х,е), где аз = Е(р, д(х,з) = р(х,з)/р. (3) Вывод краевых условий. а) В случае жесткого закрепления отклонения концов не происходит, и, следовательно, и~,=о = и~,=~ = О.

б) и~,-о — — ре (е), и/,=с = 1ез(1), где рд (е) рз(е) — функции, определяющие закон движения концов (1м(0) = у(О), рз(0) = 'р(1)). в) В случае свободных концов составляем баланс действующих сил для обоих концов. На левом конце равнодействующая упругих сил натяжения равна Т(Ьх) = ЕЯи,(Ьх, е), внешняя сила Яр(0, е) Ьх и сила инерции — рЯии(0, Ф) Ьх. Сумма всуе сил, действующих на выделенный элемент, равна нулю.

Отсюда ЕБи (Ьх,Ф) +р(0,$)ЯЬх — рЯиее(О,е) Ьх = О, (4) и при Ьх -+ 0 получаем и,/,— о = О. Аналогично рассуждая, на правом конце получаем условие и,~,-~ = О. г) В левой части уравнения (4) добавится сила — йи(0,1). И после перехода к пределу при Ьх — > 0 получим 14 Го. й Поетпаноокн краеоых задок мотпемотпичеекоя физики ЕЯи,(0,$) — йи(О,т) = 0 или (нз — йп))з-о = О, где )т = Ь/(ЕЯ). На правом конце -Т(1 — Ьх) = -ЕЯнз(1 — г*,с), Яр(1, т) Ьх — внешняя сила, -р(х) Яитт(1, 1) Ьх — сила инерции.

Тогда имеем — ЕЯнз(1 — стх, Ф) — йи(1, Ф) + Яр(1, Ф) Ьх — ите(1, Ф) Яр(х) Ьх = О, и при езх -+ 0 получаем второе граничное условие (и, + Ьи) ~,-т = О. Пример 3. Задача о колебании мембраны. Мемб- раной называется натянутая пленка, которая сопротивляется растя- жению и не сопротивляется изгибу. Работа внешней силы, вызываю- щей изменение площади некоторого участка, пропорциональна этому изменению. Положительный коэффициент пропорциональности Т не зависит ни от формы этого участка, ни от его положения. Он назы- вается натяэхением мембраны. Выведем уравнение равновесия мембраны, предполагал, что в на- чальный момент времени в положении равновесия мембрана совпа- дала с областью 6 плоскости (хм хе), ограниченной некоторой до- статочно гладкой кривой Ь. Работа внутренних сил упругости рав- на по абсолютной величине работе внешних сил и противоположна ей по знаку.

Пусть Дх) — плотность силы в точке х, действующей перпендикулярно к плоскости (хт, хз). Под действием внешней силы мембрана перейдет в новое положение, которое описывается уравне- нием и = и(х). Будем считать, что мембрана не сильно изогнута, так что в рассуждениях будем пренебрегать членами ие„,ие„. Кро- ме того, будем считать, что точки мембраны под действием внешней силы перемещаются только по перпендикулярам к плоскости (хт, хз), и, следовательно, координаты (хы хз) произвольной точки мембраны при этом не меняются. Работа внешней силы, вызвавшей перемещение мембраны из пер- воначального положения (и = О, х б 6) в положение, задаваемое урав- нением и = и(х), х Е С, равна / Дх) н(х) бх. и Изменение площаци мембраны при этом перемещении равно ~( ~ .*,те.,-1)т*, и а работа внутренних сил упругости равна — Т~ ~ 1+из +из — 1|фх = — -т~(и„+и„) Ых.

О й Следовательно, сумма всех работ равна .4(н) /~ т (нз + пз ) + (н~ б (1) С Вариация функционэла (1) выражается формулой б1. Вывод уравнений н ноенеаноени нраевмх задан 15 бА(и) = / [ — Т(и„би„+и„би,)+уби) Нх, с Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия бА(н) = О при всех допустимых би(х). Так как / (и„бн„+ и„биве) Нх = / — би б( — / Ьи би е(х, с ь с где ез — вектор внешней нормали к контуру Ь, то бА(и) = — Т 1 — бий+/(Тези+ ~) биЫх = О. (2) у дзз Ъ с Так как любая непрерывно дифференцируемая в 0 функция, рав- ная нулю на границе, является допустимой функцией, то, предполагая функции и(х) и у(х) достаточно гладкими, из (2) имеем Тйи = — ~(х), х е 6. (3) Краевые условия.