В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 9

При каких о функция г, т = (хгг + хгг)г?г, принадлежит Ьг(Я), если: а) Я=(г<1); б) Я=(г>1)? 3.37. При каких а функция ал !х! У(х) = !х!" — при !х!фО, г г г 1/г !х! (хг + хг + хз) О при !х! =О, принадлежит Ьг(9), если Я = (!х! < 1)? 3.38. При каких а функция !х! '", где !х! = (хд~+ ... + хг) принадлежит Ьг ®), если: а) Я = (!х! < 1); б) Я = (!х! > 1); в) с) = Аа? 3.39. Пусть функция д б Ьг(1е), где 9 — ограниченная область. и Показать, что функция Дх) = 1 р „ фр для а < — принадле!х — р!" 2 Я жит пространству С" Я) при к < — — а. 2 3.40. Показать, что для функции 1 Е Ьгф) Я вЂ” ограниченная область) по любому е > 0 найдется такая функция уе Е С(ь?), что /'У г !г,~ < Я 46 Гл.

11. Функционал»ныв пространства и интегральные уравнения 3.37. а > —. 7 4 3.38. а) а < л, б) а > —; в) ни при каких о. $ 4. Функциональные пространства 1. Линейные нормированные пространства. Комплексным (веи»ественным) линейным пространством называется множество М, для элементов которого определены операции сложения и умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводящие из М и обладающие свойствами: а) Л+Ь=Ь+Л; б) (Л+Ь)+Ь = Л+(Ь+Ь); в) в М существует такой элемент О, что О 1 = О, для любого УеМ; г) (с» + сг) яя = сггя+ сг~; д) с(Л + 1г) = с(» + с1г, е) (сгсг)1 = сг(сг1); ж) 1 ° 1 = 1 для любых 1,Л,Ь,Ь из М и любых комплексных (вещественных) чисел с, сы сг.

Система элементов Л,..., 1» из М называется линейной независимой, если равенство с»Л + ... + с»1» = О имеет место только при сг = ... = с» = О. В противном случае система Л,, Ь линейно зависима. Бесконечная система Л, 1г, ... называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима, Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу 1 поставлено в соответствие вещественное число )Я, называемое нормой Л удовлетворяющее следующим условиям: а) ~Я > О, причем й1И' = О лишь при 1' = О; б) Й1 + дй < й1И' + ЙдЙ, (неравенство треугольника); в) йсД = ~с~ йД при произвольной постоянной с.

Для линейною нормированною пространства можно определить понятие расстояния между элементами р(Лд) = (~Д вЂ” дЙ и понятие стодимости во норме: последовательность Л, 1г, ... сходится к некоторому элементу 1 (~„— + 1' при в — + оо), если р(ЛЬ) — » О при в — » оо. Последовательность 1ы1г,... линейного ноРмиРованного пРостранства называется фундаментальной, если для любою е > О существует Ф = Ф(е) > О такое, что Й1 — Я) < е при т, п > 1з'. Линейное нормированное пространство называется полным, если любви фундаментальная последовательность элементов имеет в этом пространстве предел.

Полное линейное нормированное пространство В называется пространством Бенаха. 47 З 4. Фуннвиснасьныс нрссн1рансюва Множество В Е В называется влотнььн в В, если для любого элемента у Е В существует последовательность ~з, уз, ... из В, сходящаяся к у (~„— + 1 при и — ~ оо). 4.1. Установить, что следующие множества являются линейными пространствами: а) множество С"(9), О < й < оо; б) множество точек н-мерного пространства В"; множество точек комплексной плоскости ь.'; в) множество финитных в (3 функций; г) множество ограниченных в (3 функций; д) множество аналитических функций в области Я комплексной плоскости С; е) множество функций из СД), обращающнхся в нуль на некотором множестве Е Е Ц; ж) множество С(Я~(х~)), где х Е (4; з) множество функций у из СД), для которых /~ус(х = О, Я где <р — некоторая функция из СД), а Я вЂ” ограниченная область; и) мнсокество функций у из С(Ц), для которых ~~ус(е = О, где сс — некоторая функция из С(()), а Я вЂ” ограниченный кусок гладкой поверхности, лежащей в ф к) множество функций, интегрируемых по Риману (по области Я); л) множество принадлежащих С (Ц) решений линейного дифференциального уравнения Ан(х)В у =О, где Ан б С(0), )а! < й; )а~<я м) множество измеримых в Я функций; н) пространство Ь1(Я); о) пространство уз(Ц).

4.2. Убедиться, что следующие множества функций не составляют линейного пространства: а) множество функций из С(9), равных 1 в некоторой точке хе б Ф б) множество функций у Е СЩ), для которых ( у 4х = 1 (Я— ограниченная область); Я в) множество решений дифференциального уравнения (1н = 1. 4.3. доказать, что следующие системы функций линейно независимы: а) 1, х, хз... на отрезке [а, Ь) (а < Ь); 48 Гл.

П. Фрничиональные проовнранстнва и инттральныв уравнения б) х, [а[ = О, 1, 2, ..., в области ь); в) е'"*, й = 0,1,..., на отрезке [а,Ь[; г) [1(х))» й = 0,1,..., в области Я, где у(х) — некоторая функция из С(Д), у ф сопя». 4.4. Доказать, что множество Сф) является линейным нормированным пространством с нормой: 1) [[г[[сд) = тах[г(х)[; 2) [[Щ<0) =13щах[У(х)[. вела веб 4.5. Доказать, что множество С»(Я) есть линейное нормированное пространство с нормой [[Л..(„= Е щы[Ю.~(х)[. (ч ~о)<» 4.6. Пусть Š— некоторое множество из ф.

Показать, что множество непрерывных в 4) функций 1(х), обращающихся в нуль в точках Е, есть линейное нормированное пространство с нормой (1) при к = О. 4.7. Установить, что следующие множества определенных в ограниченной области (~ функций являются линейными нормированными пространствами с нормой (1) при х = 0: а) множество функций из Сф), финитных в Я; б) множество С" Я); в) множество аналитических в (Г и непрерывных в ф функций. 4.8. Убедиться, что в В" можно ввести норму следующим обрат » ~»/з » а) [[х[[, = щах [х;[; б) [[х[[г = ~~~ х~); в) [[х[[» =~~~ хь »<в<» »=1 ю=1 4.9. Убедиться, что при любом р > 1 в В" можно ввести норму формулой »»рр ыь=(Ен) в=1 Найти Пщ [[х[[ 4.10.

Показать, что при любом р > 1 в качестве нормы в СЯ) можно взять выражение и,= ()~л ) (2) (область Я ограничена). Найти 1пп [Щ[р. 4.11. Убедиться, что линейные пространства примеров 4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9 являются банаховыми (т.е. полными в соответствующих нормах), а линейные нормированные пространства примеров 4.7, 4,10 при конечном р — неполными.

49 г 4. Фднннионаввнме пространства 4.12. Показать, что в пространствах Ь1(Я) и Ьг((„>) можно ввести нормы (3) (4) Имеет место следующая Теорема. Пространства Ь|Я) с нормой (3) н ЬгЯ) с нормой (4) банаховм. Подмножество В' банахова пространства В называется (банаховым) ноднространством пространства В, если оно является банаховым пространством с нормой пространства В. 4.13. Пусть область („> ограничена. Показать, что: а) множество С (Я) функций из СЯ), обращающихся в нуль на границе области ц, есть банахово надпространство С(Щ (с нормой (1) при к=О); б) псщмножество функций у из: 1) С(й); 2) Ьг(ц); 3) Ьг(Я), для которых / 1(х)у;(х) дх = О, 1 = 1,2, ...,в, где уд,...,<р, — некото- Я рые функции из С(Я), есть банахово псппространство пространства С(ц) (с нормой (1) при к = 0), А|Я) (с нормой (3)) и Ьг(Ц) (с нормой (4)) соответственно. 4.14.

Показать, что счетное множество, составленное из линейных комбинаций с рациональными коэффициентами одночленов ха, х = = (хы...,х„), а = (аы...,а„), «г~ = 0,1,2,..., всюду плотно в: а) С(ч) (норма (1) при и = 0); б) Ь1Я) (норма (3)); в) Ьг(Я) (норма (4)), где й — ограниченная область. 2. Гильбертовы пространства. Пусть любым двум элементам у и д некоторого комплексного (вещественного) линейного пространства Х поставленно в соответствие комплексное (вещественное) число (у,д), называемое скалярным правоведением этих элементов, обладающее следующими свойствами: а) (у,д) = (д,~); б) (У+д,Л) = (У,Уг) + (д,Уг); в) (сУ,д) = с(у,д) при любой постоянной с; г) для любого 1 б Н число (у, 1) вещественно и (у, 1) > О, причем (1, у) = 0 только при 1' = О.

50 Г ь. 11. Фуиячиена внме вросгвравсгвеа и иягвеера»ьнме ура»немея Пространство Н можно нормировать, положив, например, ОЯ = = (у, у)'~г. Эта норма называется нормой, ворохсдеввоб скалярным произведением. Пространство Н называется гильбервгоеь»и, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.

Последовательность элементов,~»,уг,... из Н называется слабо сходящейся к элементу у Е Н, если для любого Ь Е Н (у»„Ь) — + (У,Ь) при Ь вЂ” » оо. Элементы 1 и д называются орвгогональнь»ив, если (у, д) = О. Элемент у" называется нормированным, если йД = 1. Система ег,ег, ... называется орвговордироеанной, если (ео е») = бпв г = 1, 2, ... Пусть | б Н, а ег, ег, ... — ортонормированная система в Н. Числа 1» = (у,е»), ь = 1,2,..., называются коэффвивевглаив Фурье элемента у, а схснжцийся в норме Н ряд Я Д,е») е» вЂ” рядом Фурье »ец элемеввга 1 по ортонормированной системе ем ег, ... Система ег, ег, ...

называется ервгеиермвроеавиь»и базисом или волной орвговормвроеамной свсвгеиоб, если она является ортонормированной и множество элементов сге» + сгег + ... + с»е» при всевозможных постоянных см, с» и Ь всюду плотно в Н. Ряд Фурье элемента у по ортонормированному базису сходится в норме Н к у. 4.15. Показать, что 1чф) — гильбертово пространство со скалярным произведением У д) = / УИ . (1) Я 4.16. Подмножество функций у б Ьг(ч), ортогональных к некоторым функциям»гм ..., »г» из Ьг(Я), образует подпространство пространства 1 г(Ц). Пусть в области Я задана непрерывная и положительная функция р(х) (весовая функция).

Обозначим Ьг,рф) множество измеримых в (~ функций Дх), для которых р Щ~ б Х»(Я). 4.17. Показать, что Ьд,рф) — гильбертово пространство со скалярным произведением (У,д) = / Идбх. (2) Я 4.18. Показать, что: а) Ьгф) С Ьг,р(Я), если р(х) ограничена в ф б) Ьг,р(Ю) С Ьг(ь)), если р(х) > ре ) 0 в Я (ре = сопя»). 4.19.

Установить ортогональность в 1г(0,2и) тригонометрической системы 1, э1ц х, соя х, з1п 2х, соя 2х, ... Фвннннонааанме иросизранснее а 51 4.20. Доказать, что системы функций в1п (и + 1/2) х, и = 1, 2, ..., и сов(и+1/2) х, и = 1,2, ..., ортогональны в Бз(О,х). 4.21. Доказать, что многочлены Лежандра Рн(х) = — „, е — „[(х — 1)"~, и=0,1,2,..., 2"и! у образуют ортонормированную систему в Ьз(-1, 1). 4.22. Доказать, что система функций '1;,(х) = )~- сови(агссовх), и = 0,1,2,..., Г2 есть система многочленов (многочлеиы Чебьппева), ортонормирован- ивя в Ьз 1/Л=,у(-1,1). 4.23. Доказать, что система функций Н„(х) = (-1)"е* — е *, и = О, 1, ..., есть система многочленов (многочлены Эрмита), ортогональная в ~2е ( 4.24.