Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 62

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 62 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 62 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 62 - страница

в Т,„* Ьь-х(А;)",0; тогда ясно, что Е., Ьь '(С,)',О=Ч" (Х„С,) = Чь(Х'„А;), и утверждение теоремы 25.1 приобретает следующий вид: (ы (В', А')Ес: [) (ы(В', А;) Ч„Так как все предполо. жения леммы 25.3 выполнены, мы получаем Е с Чь(Х', А'), т. е. Ь'-' (А')",0 с Чь (Х, А), что и требовалось. Теорема доказана. $26. Гомологическнй случай.

Вычисление границы пары (Х, А) = [) (Х„А,) через границы пар (Х„А,) Для Ь,=Н, некого ые из следующих ниже лемм совпадают с полученными в [35). Оказывается, что все они вписываются в некоторую очень общую н прозрачную схему, охватывзющую даже классическую задачу Плато-пленки с параметризацией. Лемма 26.1. Пусть Х= Ч' Х„где Х,ДХ,=х при г~, ! и пусть А, с: Х, 'суть такие компакты, что х ы А, при каждом г. Тогда гомоморфизмы („„: Ьь(Х„А,)-«Ь„(Х, А) (где !, — вложение) образуют инъективное представление группы Ь„(Х, А) в виде прямой суммы 9Ь,(Х„А,), т.

е. аобой элемент и еи Ь,(Х, А) Г однозначно предспивим ы виде суммы и= Я !„„(и,), г:е и,ы г ! ен Ьь (Х„А,), Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 25.1 и приводится на основе рассуждений доказательства теоре- мы 1.13.2 (см. [10)). Лемма 26.2. Пусть Х [)' Х„А= [) А„где А,с:Х„ г !' ! Х,ПХ,=А,ПА, при г~з. Пуапь хан А, при каждом г и (,: (Х„А,) -«(Х, А) — вложения, Тогда гомоморфизмы Ь„(Х„А,) — Ь, (Х, А) образуют инъективное представление группы Ь„(Х, А) в сиде прямой суммы 9 Ь„(Х„А,). Это следует из относительной инвариантности теории Ь на категории Ус и из леммы 26.1. Пусть !: (Х, А)- (г', В) — непрерывное отображение, хан А, у=)(х) ~ В, й с й„(Х, А) — произвольная подгруппа.

Рассмотрим подгруппу !'.!=( (Е). Тогда мы утверждаем, что Е с оь(У, В). Доказательство, очевидно, следует нз коммутативной диаграммы: Ь,(А)- Ь,(Х) Ьь.,(В)- Ьь.,('г) гомологическии случАи В частности, если ). с ЛА (Х, А), х ев А с Х с )г, то Вс= ЛА()г, А), Лемма 26.3. Пусть Х= () Х„А, с Х„А сХ, х я Аг при г ! каждом г. Положим В = А О Ц ~ А,~, и пусть ). с-ЛА А (А) и Ь, ~ г с: ЛА(Х„, А,). Предположим, что ( (В, А)В~ ~(ь (В, А,)1., Тогда В с= ЛА (Х, А). Доказательство, Требуется доказать, что Вс: Кег(,„, где (=((Х, А). Имеем (ь (В) !„(Х, В) се (В, А) В с: ( (Х, В) ~~ ', ( (В, А,) Г.„= = ~(„(Х, А,) 1., = ~ (ь (Х, Х,) („(Х, А,) Ь„= О, г г поскольку г' (Х„А,) ~,=0, Лемма доказана.

Здесь и в дальнейшем через А+В обозначается подгруппа С, составленная из элементов вида а+Ь, где аыА, ЬенВ, А и  †д подгруппы в абелевой группе. Лемма 26.4. Пусть Х= Ц Х„А, ~ Х„А с Х, А ДХ,сА„, г ! Х,ПХ, А,ПА„если гчьз, хе А и хек А, при каждом г. Положим В=() А„; тоеда В ~ А и Г,=ЛА(Х„А,) ~ЛА-г(А ). Г Имеет место следующее соотношение: ЬА(Х, А)=(, (В, А)-'(~(, (В, А,)Г,), г Доказательство.

Обозначим через Т. подгруппу („(В, А)-'~~,'(„(В, А,)Г,); тогда ясно, что (ь (В, А)Ь~ г с= 'У', (,(В, А,)Г, (точного равенства здесь может и не быть), и, г поскольку выполнены все предположения леммы 26.3, отсюда следует, что Е с ЛА(Х, А). Осталось доказать, что Ьз ЛА(Х, А). Рассмотрим коммутативную диаграмму: Ль (Хгг Аг) .у- Ль-А (Аг) — „Ль-А (Х ) !Ь, !А' Л (Х, Ф) угХ~~(В) УЪ~~(Х) 1 Л,(Х, А) Л (А) — „Ль.,(Х) 262 МИНИМАЛЬНЫВ ПОВЕРХНОСТИ В ВАРИАЦИОННЫХ КЛАССАХ О !Гл А Пусть И ~ Ь„(Х, А), т. е. в(И) =О; зто означает, что И=д(щ), гп ен И„(Х, А). Отсюда имеем а(И) =д'~(т), . е, га'а(Ь) О.

Так как р (гп) ен ИА (Х, В), то, в силу леммы 26.2, гомоморфизмы т, разлагают группу ИА(Х, В) в прямую сумму, ъ потому ()'(щ) допускает однозначное представление в виде (1 (ги) ~ч ', т. (1,), где г,енИА(Х„А,); отсюда следует, что д'р(гп) ~д'т,(г,) = Г = ~', у,д,(Г„), причем ввиду точности е,д,(Г,) =О, <р,=д,(Г,) принадлежит Г„т. е. д'р(и)= ~',Т,Щ,), где ~р,ен Г„а(И) ен ~~ у,(Г,).

Г Г Окончательно получаем, что И ен а '~ ~~~~ у„(Г,)~, что и требовалось доказать. Отметим, что хотя формулировки лемм 26.4 и 25.4 не являются двойственными, тем не менее их утверждения можно связать некоторой формальной аналогией, а именно: если гомоморфизм Вк И" '(В)-~ ИА-'(А) является зпиморфизмом, то формула 7А (Х, А) = 6, ' (Я~ Ц т,'6,(Г,ф~О~ аналогична формуле леммы 26.4. Рассмотрим поведение границы ЬА(Х, А) в тех случаях, когда Х=!ху, А=(Ох У)()(1х У), ), и),-два вложения г" на нижнее и верхнее основания цилиндра.

Выделим в Иг х(А) подгруппу Ь'=01, (Ь) — !е,(И))=()1, (Ь), — )о, (И)), где И ~ЙА,(г), ИА,(А) = И,„, (У) ® И„, (У), а точка х — произвольная точка в А. Напомним, что подгруппа Й~ х(А) вообще не зависит от выбора точки х. Тогда оказывается, что б„(Х, А).:э б'. Действительно, поскольку два вложения ((Х, А)/Р и 1(Х, А)у1 гомотопны, то б' с= Кег („(Х, А), что и требовалось.

Если вспомнить соответствующий когомологнческий факт, то мы увидим, что в случае когомологий основную роль играет диагональ б с: ИА-' (А), а в случае гомологий оценка снизу на алгебраическую границу пары (Х, А) выражается через побочную диагональ Ь'~И~ 1(А). Как и в когомологическом варианте, рассмотрим поведение границы Ь» при деформации компактов. Пусть ~: 1х'г'- Х— непрерывное отображение и х ы Х-такая точка, что х ф ((1 му) в противном случае можно всегда заменить Х на Х' Х()х). оложим АР 7(Оху)(.)х, А, ~(1х)')(.)х, А АВ()А, и предположим, что отображение (1А г — гомеоморфизм. Пусть Й, х (АР):эТ. и Г ЬА(Х, А). Тогда существует подгруппа Е,с:Йь,(А1) такая, чтоГ+(„,(А Ао)(.=Г+(,(А, А1)Е,О Пусть йс АР- А~ — иепре.

рывное отображение, определенное нами в й 25 и такое, что Гомологическип слю!Ап $ м! диаграмма А, А х гомотопно коммутативиа (где Еь и !', — вложения). Положим Е =д,Е, и ассмотрим следующую диаграмму (вообще говоря, некоммутативную в нижнем треугольнике): ° Лап (Х) ~!л-! (!10) !(д!) Здесь Еь=()ы Е! — — ЕЕ„Еь Е!у. Покажем сначала, что Х'+Еь,(Е) =э ~Г+!!„(Е!). Пусть с!е=Г+Е'„(Е!), тогда с!=у+1,',уь(т), где тенЕы Положим т' Д„(т) я)!„!(А), тогда получим !,(т')= Е,Д,(т)=Ее„(т) и, кроме того, Е,Е!,у„(т)=Ег,д,(т)=Ее,(т), т.

е. !ь (т') = Е„,Е!,д, (т), откуда следует, что т' — Д,уь (т) ен ~КегЕ,„=Г (йо определению Г), т. е. т'-Е!,д,„(т)=у!енГ. Отсюда а=у+1!,д„(т) = у+т' — у,=у,+т', где у, ен Г, т. е. а=у,+Д,(т), где т аЕы т. е. ая Г+Д,(Еь), что и требовалось доказать. Обратно, докажем, что Г+Д„Еьс Г+Д,Е,. Пусть а= у+Д,(т), где п!!й!Е, уяГ. Тогда определен злемент Е!,д„(т)~ ен)!, ! (А), который можно сравнить с Д,(гп). Ясно, что Е„,Е„',(т)= =Д,(т) и в то же время !»Е!„.р,(т) =Е!„д,(т)=Ев,(т), т. е.

Е,Еь, (т) = Е,Е'„д, (т), Д, (т) = У!+ Е!,У, (т), где У! ен Г; отсюда следует, что а -у+Д„(т)=у+у!+Е!,д, (т)=у,+Е!„(д), где у,~Г, оенЕм что и требовалось доказать. Т е о р е м а 26.1. Пусть А Ц А„А, Е) А„, = Р„1 ~ г ~ г ! ч-йŠ— 1, А,() А,=х, если ~!г — в~ »1 (где точка х принадлежит каждому Р,).

Положим Г, Ьь,(Р,), 1 =г~йŠ— 1, и пусть В,— такие компакты, что бь !(В„Р,)=Г,. Рассмотрим компакты С„=А,()В,ЦВ, „где 1~г~)!Е, причем В, Вл =х, Ен-! 1 н Рь Рн=ф, С=А() ~ () В,~= Ц С,. Тогда выполнено сооп!но- ! ! г ! шение ~ !е (С, С,) Е!» ! (С,) ~ !ь (С, А)Ъл-! (А).

г ! »в4 минимАльные пОВеРхности В ВАРиАпионных клАссАх 6 [гл. ь До к а з а те л ь с т в о. Рассмотрим компакт С и предположим сначала, что АП В,=Р„для всех г, 1е=г~й/ — 1, и что В,() Д В,=х, если гчез; в дальнейшем мы редуцируем общую ситуаАг — ! и цию к этому частному случаю. Пусть В 1/ В„О '!/ О, г ! г ! (см. рис. 65); построим следующую коммутативную диаграмму: 9Р, 9т, Еь~,(с„в, 1/в,) — ' — Вь (с,) — 'Вь (в,Чв, ) г г г (г» Яе ! -~а, ~а-Хв„ г ь ,(с, в) ' ь,,(с) †' ь ,(в) Строки этой диаграммы являются точными последовательностями, а через ® !р, и Я у, обозначены прямые суммы гомо- ' г г морфизмов <р,: Ь„, (С,)-г-Ь, »(С„В,1/В,) и у,: Ь» »(В,, 1/В,)-!.

Ь», (С,) соответственно. Отметим, что, хотя В = ~/ В„гомоморг физм 11 не изоморфизм и имеет ядро, изоморфное Ь»,(В). Гомо. морфизм () не является прямой суммой гомоморфизмав г!» ! (В,-»~/Вг)- Ь»-»(В), поэтому мы использовали обозначение () = ~ч~ (),. Докажем, что в наших предположениях (т. е. А ПВ, г =А!„В,Пв,=х, гчьз) выполнено более сильное утверждение, чем сформулированное в условии теоремы, а именно докажем, что Ь»»(С) ~, »„(С, С,) Ь», (С,). Предварительно установим, г ! что Кег($) с,5;1„(С, С,)Ь» »(С,). Пусть аяЬ»,(с) н $(а) 0; г тогда а=ф(Ь), Ь~Ь» »(В), и поскольку гомоморфизм 6 является эпиморфизмом, то Ь р(Ь'), где Ь' Я Ь;, Ь; ыЬ» »(В, !/В»), и Г азложение Ь'=~',К однозначно.

Отсюда следует, что а= г =!х/®у,~й'=~с»у,((!,')=~а($,), где $,~Ь» х(сг), т. е. аен / г ен ~!х,(й,),чтоитребовалось. ПустьтеперьаЫ»,(с,) и $(а)~0. г Поскольку для пары (С, В)=Ц(С„В, !'1/В,) выполнены все предположения леммы 26.2, то гомоморфизм «! устанавливает изоморфизм между Ь» »(С, В) и О+Ь»,(С„В, !'1/В,), т. е. $(а)= =<В(с), где с У',с„п(вчем элемент с н его разложение опре- г 2бб ГОМОЛОГИЧЕСКИИ СЛУЧАИ делены однозначно. Рассмотрим коммутативную диаграмму: $ ,(с,) и»,(с„ в,, у в,) а„ (и,,/ в,) =й„ (в,,)~Х ,(в,) Ф г г г д 1» ь!и [р, .О » » дг й»-» (Лг) И»-1 (лг Г»г-» Ч Вг)»»»-» (ГЬг-» Ч Вг) =Ь»-» (Вг-») Ю а»-» (Ю В этой диаграмме гомоморфизм и, является изоморфизмом (поскольку вложение (А„Р, »~/Р,)».(ф»~/В,) является относительным гомеоморфизмом), а гомоморфизм у, тривиален, ибо Ь»»(В„Р,) Г, И, »(Рг).

Следовательно, р,~О для любого г. Так как р,д,' . д,и, О и и, — изоморфизм, то д, ~ О на всей группе И»»(С„В, »/ В,), т, е. гомоморфизм ~р, является эпиморфизмом. Отсюда следует, что любой элемент с, (где с Я с„см. выше) предг ставим в следующем виде: с, <р„(с,'), а тогда с /(+) <р,) с', где с' ~ч с',; отсюда имеем $и(с')=в/я<р,)с'=р»(с)=$(а), т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее