Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 58

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 58 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 58 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 58 - страница

Пусть Я(, ) — тензор кривизны римановой симметрической связности в касательном расслоении ТИ многообразия й(. Двумерной (секционной) кривизной вдоль площадки, натянутой на векторы Х, У ыТ„)ч', называется величина р„(Х, У)= — ()с(Х, У) Х, г')„. Здесь скобки обозиачаютскалярное произведение в Т„И. Говорят, что многообразие й' имеет неположительную секционную кривизну (по двумерным направлениям), если р (Х, г') <0 в каждой точке х я)ч'; Х, г'ев Т„)ч'.

Отметим, что риманову метрику неположительной кривизны можно ввести на замкнутых двумерных ориеитируемых поверхностях рода у~1. На сферах 5" при п)2 метрик неположительной секционной кривизны ие существует. Довольно просто построить пример отображения, которое не имеет гомогопного ему гармонического отображеии.я. Для этого нужно рассмотреть гладкое отображение двумерного тора в двумерную сферу степени +.1 (см., например, [1011). В этом примере римановы метрики иа торе и на сфере могут быть выбраны произвольно.

Теорема 24.5.1 (см. [1031). В следующем ниже списке пере«ислены те гомотопические группы сфер, которые допускают гармоническую реализаиию, т. е. каждый элемент которых (каждый гомотопический класс) содержит гармоническое отображение: 1) и (5л) Я п=1 2 7' 2) и+~(5л) Е, и 3 4 ... 8; 3) пг(5~)=Яэ~'4) пв(5е)=Ем', 5) пэ(5ь)=Ее~' 6) пм(5ь)=Ее.

Далее, существуют группы, в которых лишь часть элементов имеет гармоническую реализацию. Например; 7) в группе пь (5') =Е г4х Вл»и»циокные методы В топологических з»длч»х !Гл. б гармонически реализованы элементы вида -+ й», где А — целое число; 8) в группе п,(5') =Я+У»» гармонически реализованы злементы вида (.+. к», О), где й — целое число; 9) в группах и„+»(Б") =Е»4 при п = 5, б, ..., 1О реализованы гармонически лишь единицы (кроме группы п»(5»), которая реализована гармонически полностью, см. выше). Будем называть отображение ~! Б"-«5» гармоническим поли- номом, если /=Р~ „где Р: 7""-«Р~" таково, что функции Р (1=1, ..., р+1) являются гармоническими однородными полиномами (одной н той же степени однородности).

В этом случае отображение 1 также оказывается гармоническим (см. 1(031). Джойном двух отображений евклидовых сфер 1;. Б" — 5» и !». Б -«Бе мы будем называть отображение ),»1»: 5"" "-« -«5»+е"', которое в декартовых координатах (х, у) ен Р+'хР +' н (х', у') ~ Р'+'хР»+» имеет следующий вид: 7» в ~» (х, 'у) = () х ) /» ( — ) ) у ~ ~» ( — ")) Т е о р е м а 24.5. 2 (теорема о джойне). (См. 11031.) Пусть 7;. Б"- 5» и Г»: Б -«5» лвляютсл гармоническими полиномоми степеней однородности й, и й, соответственно. Тогда: 1' 2 — ! (1) если й~)0(п — 1), А, 6(т — 1), где 0= —, то суи(ествует гармоническое отображение Ф: Б"' +» -«5»+в+', гомотопное джойну ~,э/,; (2) если я» = й», и = т, то также суи(ествует гармоническое отображение, гомотопное джойну ~, э~».

Доказательство теоремы о джойне будет дано ниже. Здесь мы покажем, как нз этого утверждения следует теорема 24.5.1. Обозначим через 1„тождественное отображение 1„: Б"-«Б", через л»1: Б"+» -«5»+» обозначим й-мерную надстройку над отображением 1: Б" ~-5», определяемую формулой Е»/=.(»,в!. Через й». Б'-«Б' (где й — положительное целое число) обозначнмограниченне на окружность единичного радиуса отображения комплексной прямой Ф: С-«$, Ф(г)=г".

Через Н;! Б'-«Б', Нб Б'-« -«Б' обозначим расслоения Хопфа. Очевидно,.что отображения 1„ н й» являются гармоническими полиномамн. Можно показать, что отображения Н, н Н, также являются гармоническими полиномамн (см. 11031). Гладкое локально-тривиальное расслоение вп М-«У, где многообразия М н М римановы, назовем рима- новым расслоением, если для любой точки хея М ограничение дифференциала проекции (йп)„на подпространство У„в ТМ, ортогональное к слою, проходящему через точку х, является ортогональным линейным преобразованием пространства У„на Ть!„!И.

Нетрудно показать, что расслоения Хопфа Н, и Н, рима- новы (это следует, например, нз того, что онн являются расслоениями на орбиты действия групп изометрий расслоенного про- ТРи геометРические зАДАчи х43 странства, именно групп У(1) с= 80(4) и 8р(1) с= 80(8)). В[103) доказан следующий факт. Лемма 24.5.5 (см. [103)). Если и: М-+ йГ яеллется гармоническим риманоеым расслоением и отображение ): М-~ Н' гармоническое, то отображение Г ° ги М вЂ” М' также гармоническое, Это утверждение позволяет получить гармоническую реализацию перечисленных выше элементов гомотопических групп сфер. Используемые ниже явные выражения для представителей гомотопическнх классов через комбинации отображений )'„, с(м Н„Н1 можно найти в [105).

(1) и„(5") =У„где элемент к ~ У. представляется отображе~л-1б, (2) п„.,(5")=ЕЕ при п~3; единица группы представляется отображением ле-аН,. (3) Взяв джойиы НЕОНЕ и Н,еН„мы получаем реализации элементов групп и,(5з)=л,з и иы(5') =л:з (4) Класс к ~ Е„= п,(5') представляется отображением Н,еб,. (5) Гармоническое отображение, гомотопное ЕА-АНИ реализует единицу 1 ев Е„= п„„(5"). (6) Пусть (ХНА)' — гармоническое отображение, гомотопное ЕН;, тогда 'отображение (лНА)' Н, гармонично по лемме 24.5.5 и представляет элемент 1 еи Ее = и,(5з).

(7) Отображения (Щ)' ° (+ Н,) и (Х'й„)' ° (~ Н,) также гармонические согласно лемме 24.5.5 и представляют элементы вида + й'я У,=п,(5з) н (+й', 0) ен У~Ем=и;(5А). Здесь к — целое число и через (ЫА)' и (Е'б,)' обозначены гомотопные соответствующим надстройкам над ЙА гармонические отображения, Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы о д ж о й н е (теорема 24.5.

2). Имея два гармонических полинома Г~'. 5"- 5Р и1,: 5"- 5е, для которых выполнены условия теоремы 24.5.2, мы должны построить гармоническое отображение Ф: 5"+""'-~ 5Р'е+', гомотопное отображению ~,ч~,. Следуя [103), мы будем искать это отображение в виде Ф(к, у)=[з(па(() Г,~-„-)), соза(г) ),(Я, (6) илп где 1=1п( —,~ ~( — со, + со), сс(1) — гладкая функция на Р ~Ф такая, что 0(а(() п(2 и существуют пределы при (-~+ со, а( — х.)=0, а(+ .С)=п!2. Можно проверить, что для того, чтобы представить джайн г"„ег, в виде (6), нужно взять а(1) = = агсз(п (е9(е'+е-'))и', откуда следует, что отображение вида (6), где функция а(() удовлетворяет перечисленным выше условиям, действительно гомотопно джойну (, я (,. Далее мы будем предполагать, что л, т~1.

Случай п=О (или т=О) соответствует однократной надстройке над отображением г, (или ~,) и разбирается совершенно аналогично. Кроме того, мы будем предполагать, что отображения «» Гз не постоянны, т44 вхгизционныа матоды в топологичаскнх злдлчлх пл. з Сейчас мы редуцнруем проблему нахождения гармонического отображения (6) к задаче решения обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка. Известно (см. 11041), что если В Ф-+У' — изометрическое вложение и ~~ С (М, У), то)'гармонично тогда и только тогда, когда поле средней кривизны Н(Ц) ортогонально к Т(1(М)) в ТМ'. В применении к сферам это означает, что для гармоничности отображения Ф; Ял~- +1-+уж+~~ т)гам необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Н(Ф)= = ~рФ, где ф ~ С (Я"+"") и Ф рассматривается как отображение в евклидово пространство (кг+т".

В этом случае, как было отмечено выше, Н(Ф)'=Л,Ф', (=1, ..., р+д+2, где Л,— оператор Лапласа на сфере. Теперь заметим, что отображение Ф(х, у) (см. (6)) определено, вообще говоря, в Р"."+"~,(0), и используем связь между оператором Л, и оператором Лапласа Лэ в Р"' +', которая задается следующей формулой: если феи С (Рн'"+'), то б,(ф',; )=~'(асаф) — д;; — (и+т+1)д д—,1~ „,„„. дгэ дг 3 эл+а+1 д Здесь —, — производная вдоль радиус-вектора.

В силу того, что дФ вЂ” =О, мы получаем, что для того, чтобы отображение Ф э,+„+1 дг было гармоническим, необходимо и достаточно выполнение равенства (блФ)',з н +1=УФ!э+ +1, (7) где <р~С (Я"' "). Обратимся теперь к отображению з!па(1)х х~ ( 1: Рм™~,10)- РУ". На произведение функций оператор х ц х(/ ' Лапласа Ья действует следующим образом: и+! би(з)па 1,)=1,биз(па+2 ~~ — д„г- а-.т+з(па бл)ь (8) %~ дмпа дй с-~ /х1 Отображение 11( — ) можно рассматривать как композицию ~~ д Ягн.1" (0) а Яа Ь (~Р+1 аг (х) 1х)' Рассмотрим формулу средней кривизны композиции двух отображений: Н (/, ° (3) = 4, (Н ((3)) + (г А Д) (ф, 43).

Легко установить, что проекция р гармоническая, т. е. Н(р) О, Кроме того, на касательных пространствах сфер дифференциал ар является конформным преобразованием с коэффициентом конформности 1/г', где г — радиус сферы. Другими словами, если а, Ь я я Т„$ (г), тО (43 (а), 4(р (Ь)) = -, (а, Ь). Таким образом, блЛ Я ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 1 = Н (!в й) =,—, Ь,|в. Поскольку Гв — гармонический однородный полипом степени однородности кв, то это означает, что функции 1,'~ являются собственными функциями оператора Лапласа Л„ соответствующими собственному числу А,, = к,(кв +н — 1).

Следо! х1 вательно, Ь,"(в=)о], и бегв ~(,„т) = — „, ХвГА, Рассмотрим второе слагаемое в (9). Оно равно нулю в силу нулевой однородности Г! х 1. Действительно, ~!х~!' — Х вЂ” —;— до!па дй . 'Р х' % . ! д) г — сова'а 7 '~~ йсозй' — ' О. х л~в( в~в дх' !х, 'дг в ! Прямым вычислением мы находим далее Лез!па. Проводя под- счет для отображения сова(1) Гв! е ): 1с"" в",(0)-Р!ко+в, полу- М.У 1! чаем следующие выражения: бе(з!па 1в) +;, ( )! Х, Ып а (Мп й) йв — (сов а) а ° Г(и — 1) (л — 1) )) )х~в !х!в~у,'в !у!в ~х,в ]) бе(сова Гв)= Авсова, (сова) а +(в!па) а .

Г(т — 1) (л — 1)11 = — -1- + ' 1, ~ ]!Г 1ея !х~в'и" 1 ~ЕР !хй  — (з!и а) а ~ — — ]1Гв где Х,=к,(й,+н-1), Ач=йв(йв+т — 1), йв, й,— степени одно- родности полиномов Г, и Гв соответственно. Подставив з эти рав в венства величины !х~в —, !у!в= — н использовав услос+ !' вс),в вне (7) пропорциональности беФ и Ф на сфере 5"+ +', мы при- ходим к следующему уравнению на функцию й(1), эквивалентному условию (7): й (1)+ (е'+ е-')-' (1(н — 1) е-' — (т — 1) е'] а (1) + +(Аое' — Аое-!) з!и а(Г) соз а(Г)) = О. (9) Заметим, что условия теоремы о джойне, а именно: йв~д(л — 1) и йв)8(т — 1) — можно переписать в виде (п — 1)в~41„, (т — 1)в< 4вч.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее