Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 55

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 55 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 55 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 55 - страница

' Пусть С= ( ) 0(Ь), и пусть С=ехр(С) с:.М"; тогда (см. пункт ЬЯК 17.4) множество С гомеоморфно С в случае односвязного М и дополнение М',С есть в точности множество всех первых сопряженных с точкой е точек в М (где е=ехр(0) — центр шара). Итак, любое компактное односвязное симметрическое пространство М можно получить из л-мерного шара С, профакторизовав его граничную сферу дС по некоторому подходящему действию компактной я-! А группы. Поскольку все (сх~ многообразие М целиком заметается максимальным ! тором Р =ехр(Р) при вращении этого тора вокруг точки е присоединенным действием Н, то почти все Рис.

63. интересующие нас события мы будем изучать иа этом торе, размерность которого называется рангом симметрического пространства. Выясним структуру минимальных эквивариантных поверхностей в симметрическом пространстве. Выше мы привели полный список всех эквивариантных минимальных конусов коразмерности один вевклидовом пространстве. Оказывается, эти конусы являются «линеаризациями» глобальных минимальных пленок, расположенных в симметрических пространствах ранга два.' Более точно: евклидово пространство й" мы естественно отождествим с касательным пространством В к симметрическому пространству М =0)Н; минимальный конус СА"-з оказывается тогда касательным минимальным конусом.

ассоциированным с особой точкой минимальной гиперповерхности, содержащейся в М", причем многообразие А"-э совпадает с однородным пространством Н/Н вЂ” главной орбитой присоединенного действия стационарной группы Н на многообразии М (рис. 63). Эти замкнутые минимальные поверхности допускают очень простое описание в терминах некоторой гладкой функции, заданной на многообразии М", а именно: минимальные поверхности являются ее поверхностями уровня.

Более точно: пусть ~ (() — гладкая функция, заданная на максимальном торе Р ~ М (ниже мы предьявим зту функцию), размерность которого в нашем случае равна двум. По этой функции 7 (г) можно построить новую функцию ) (х) на всем многообразии М, положив )(х)=!()), где 1=йхй-' для некоторого й ен Н. При этом выбранная нами вначале функция 7'(() на торе должна быть инвариантной относительно группы Бейля, 2зо выилииоиныг мгтоиы в топологичгских злдлчлх (гл. в которая действует иа этом торе. Другими словами, функция 1(х) постоянна на орбитах присоединенного действия группы Н на М.

Рассмотрим поверхности уровня 1(х) = сопв1 тем самым определено слоение многообразия М на замкнутые гиперповерхности, являющиеся многообразиями без особенностей, за исключением единственной гиперповерхности, являющейся минимальной. На ней лежат особые точки описанных выше типов (конусы). Поскольку функция 7(х) была Н-инварнантной, то все ее поверхности уровня также Н-инвариантны. Какие функции 7 (() достаточно задать на торе Р, чтобы получить полное описание набора всех минимальных конусов коразмерности один? Оказывается, достаточно рассмотреть функции вида 1ке(гв), Р=2, 3,4, ..., на торе Р. В частности, если р=2, то мы получим минимальные конусы над произведением сфер, подробно изученные в пункте 24.2. Итак, все эквиварнантные особенности минимальных поверхностей коразмерности один описываются целыми степенями комплексной переменной г на двумерном торе со стандартной комплексной структурой, Рассмотрим подробно только случай конусов над прямым произведением сфер, т.

е. при р = 2. Рассуждения при р ~ 2 проводятся аналогично. Возьмем основную серию 6)Н = = (50(г+ 1) х $0(в+ 1))КБО(г) х50(в)), положим М =6/Н. Тогда М вЂ” компактное симметрическое пространство ранга два: М = =5'х5', У=50(г — 1)х$0(в — 1), и, следовательно, главная орбита действия Н на М такова: Н!У= 5"-'х5' '. Если рассмотреть касательное пространство В = Т, (М), то обнаружим, что конус над А"-' = С (5'-' м 5*-в) совпадает с рассмотренным в пункте 24.2. Поскольку мы ищем )У-инвариантные минимальные гиперповерхности в М, то достаточно изучить геодезические на двумерном торе Т'~ М в метрике в()1 — — о'(а)в(вв. Известно (см. пункт 17.4), что й' — обычная евклидова метрика на торе, поэтому осталась только вычислить функцию объема.

Прямое вычисление показывает, что о(х, у) =в|и'-'(х) вшьл (у), где х, у — декартовы координаты на торе. В данном случае легко усматривается, что М/У есть плоский квадрат со сторонами (О, и), являющийся открытой клеткой К вЂ” камерой Вейля. Здесь имеются только два различных корня а1 и а,; они ортогональиы и имеют одинаковую длину, хотя и различные кратности: г — 1 и в — 1. Мы должны изучить поведение геодезических на квадрате (О, и) с метрикой а(', = в(пв"-'(х) ° в(п"-в(у).

Будем считать г и в непрерывными параметрами и положим г+в=л=сопв1. Если г=в, то диагональ х=у, очевидно, является геодезической; на рис. 64 изображены линии уровня функции ) на торе. Тор представлен в виде факторизуемой плоскости. Одна из линий уровня является объединением вз1 ТРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ двух диагоналей-геодезических (в метрике Ж>). Так как линии уровня выходят на границу квадрата ортогонально, то построенная нами функция инвариантна относительно группы Вейля. Так как оси Ох, Оу соответствуют корням а, и а„ то тор получается из квадрата ( — и, и) отождествлением противополо>кных сторон с сохранением ориентации.

Пусть Г) з, тогда линии уровня функции г' начинают искажаться всоответствии с рис. 66. Прямое Рис 66 Рис. 64. вычисление показывает, что геодезическая х=у деформируется в геодезическую, задаваемую уравнением у1я у = —, х 1д х. На рис. 66 жирными линиями отмечены геодезические у и стороны основного квадрата; геодезические входят в вершину квадрата под углом а, (да=3' в/г.

Если же Г(з, то картина получается симметричным отражением относительно диагонали. Пусть з непрерывно изменяется от О до со. На рис. 66 показана соответствующая эволюция геодезической, изображающей замкнутую минимальную гиперповерхность в 5'х5*. Полученная нами функция )(х) иа торе имеет один минимум, один максимум и два седла; все критические точки невырождены, и седла функции описываются векторным полем игам рсе(г') (нуль второго порядка). Прообраз геодезической у при проекции ги М-~-М/У есть в точности Лl-инвариантиая минимальная поверхность коразмерности один в 5гх5х.

Продолжим функцию 1(х) с тора на все многообразие 5'х5' до йг-инвариантной функции Г(х), значения которой заполняют отрезок 10, 1], Тогда гиперповерхности уровня этой функции расслаивают М и при )(х)=1)2 мы получаем >т'-инвариантную минимальную замкнутую поверхность — прообраз траектории у, — содержащую ровно две особые точки. Подмногообразие ()=О) является сферой 5', подмногообразие ()=1) — сферой 5", оба эти подмногообразия минимальны и являются экстремальнымй 232 влгиационныв мвтоды в топологических зхдхчлх !гл.

з изолированными орбитами действия группы У. Если 1(х) =с, с чь (О, ! !!2, 1), то гипер поверх ность ) (х) = с не имеет особых точек. У-инвариантиая поверхность 11 (х) = 1!2) — не глобально минимальна, однако минимальна относительно любых вариаций, носитель которых охватывает не более «половины» всей поверхности (рнс. бб). ачгчг гчгчл !2 Ряс.

66. Аналогичным образом доказывается, что все остальные особенности, описанные выше, могут быть включены в замкнутые минимальные поверхности в соответствующем симметрическом пространстве. Все эти гиперповерхности — поверхности уровня гладких функций, инвариантных относительно действия группы М и группы Вейля, Линии уровня этих функций на двумерном торе могут быть представлены иак интегральные траектории векторных полей вида йгабР,е(хя); тогда минимальная гиперповерхность, содержащая коничесхие особенности, будет задаваться сепаратрисной диаграммой вырожденного седла (нуль, порядка р) потока ' дгаб Ве (хг).

24.4. О существовании нелинейных Функций, графики которых в евклидовом пространстве являются мииимальнымн поверхностями. Пусть х"=((х', ..., х"-') — гладкая вещественнозначная функция, определенная на евклидовом пространстве )2 '(х', ..., х '); тогда ее график в пространстве Р'(х', ..., х") есть подмногообразие коразмерности один. Предположим, что этот график — локально минимальная поверхность, т. е. функция ) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению: л-! ф' +"х (')'( ! ! Вопрос: если функция ( определена на всей гиперплоскостн Р ', то обязана ли она быть линейной? Эта задача называется проблемой С, Н. Бернштейна, который дал положительный ответ на втот вопрос при п=З.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4990
Авторов
на СтудИзбе
468
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее