Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 18

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 18 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 18 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 18 - страница

1 шаг. Сначала мы будем минимизировать старший объем чо1,. Для этого рассмотрим минимизирующую последовательность компактов Хг ен 8 таких, что чо1»(Х,' А) -+й» = |п1 чо1» (У~А). био Желательно получить минимальную поверхность Х» как предел мннимАлъныз поваохностн в ВАэиАцнонных клАссАх 6 тв этой последовательности компактов. В то же время ясно, что исходную последовательность нужно соответствующим образом обработать, чтобы ее предел был разумно определен, так как хотя объемы чо1»(Х«'~А) стремятся к минимуму, но сами поверхности Хо могут прй этом «замегать» практически все многообразие М за счет «тонких усов», мера которых стремится к нулю, а сами эти «усы» заполняют все к, ббльшую и ббльшую область в М.

Поэтому в первую очередь следует избавиться от таких «усов», срезав их у основания н заменив «шапочками» малого объема и малого диаметра (рис. 29). При этом важно так выполнить это сглаживание «усов», чтобы получившийся в результате втой операции компакт Х снова принадлежал тому же варна- «~» ционному классу «Р, что и исходный компакт Х . Оказывается, такая операция (мы назвали ее В- сглаживанием) может быть корректно определена, Выполнив 5-сглаживание всех поверхностей Х, по- рао. зв. лучаем новую минимизирующую последовательйость 1Х,), для которой по-прежиему чо!»(Х '~ А)-+ 4, но )( имеют уже значительно более «правильную форму», чем исходные поверхности.

2 шаг. Переход к пределу осуществляется следующим образом. С каждой поверхностью Хр связывается функция с$ерической плот~ос~~ Ч'»(Р, Х«), Определяемая так: ~».~в р,« «о 7»(о) где точка Р енМ, В" (Р, е) — л-мерный шар в М с центром в точке Р и радиуса е, у»(е) — й-мерный объем стандартного евкли- дова шара радиуса е и размерности й. Если а»(Л,«1 Р~Х„то, очевидно, т»(Р, Хо) 0; если же РыХр, то Ч'»(Р, Х,))0 (рис.

30), Ясно, что функция Ч'»(Р, Хо) измеряет отклонение л У« поверхности Х, в точке Р от й-мерного диска, Если Хо в окрестности точки Р ен Х« является гладким подмногообразием в М, то, очевидно, Чг»(Р, Х,) 1, так как пересечение В"(Р, е)ПХ« при малых з мало отличается от Ьмерйого гладкого диска радиуса е. Таким образом, последовательность Хр определяет последовательность функций чр»(Р, Х ). Оказывается, можно опредео лить предельную функцию Ч'„(Р) = 1!шЧ'о(Р, Хо). Тогда в каче- « стае предельной поверхности в размерности й берется носитель гв вагнациоиныв алычи и экстгаогдинагныз твогии пл.з предельной функции Ч'~(Р), т.

е. множество точек, в которых Ч'ь(Р))0, 3 шаг. Доказывается, что множество 5" '(Р: Ч'„(Р))0)— компакт. Ясно, что, вообще говоря, 5" не принадлежит классу Ю (в атом отличие от случая обычных гомологий). После этого следует повторить описанную выше процедуру предельного перехода зо всех низших размерностях, предшествующих размерности й. Это один нз самых сложных агапов в доказательстве, В результате зтого построения получается стратифицированное множество Х, = А () 5ь () 5"-' Ц ...

4 шаг. Доказывается, что Хз — компакт в М. б шаг. Доказывается, что вариационные классы аг (д) замкнуты относительно предельных переходов, т. е. если Хз 1!т Х,, где Хг еп О ф), то Хр вв Ю (д). б ш а г. Доказывается, чтостратифицированиый объем поверхности Х, — наименьший в классе Ю (д). 7 шаг. В каждой размерности з~:,й доказывается, что функция Ч(,(Р, Х,)»1 на всем 5' и т,(Р, Хз) 1 на открытом подмножестве в 5', всюду плотном в 5'. Тогда те точки из 5', в которых Ч',)1, оказываются особыми (сингулярными) точками в 5', заполняющими множество Я„з-мерный объем которого равен нулю. 8 ш а г. Доказывается, что каждая поверхность 5'~,2, является гладким минимальным подмногообразием в М. й 8. Решение задачи о иахождеини глобально минимальной поверхности (относительного минимума) в каждом гомотопнческом классе В й 3 были сформулированы задачи А' и В' о нахождении минимальной поверхности в каждом гомотопическом классе.

Например, в задаче о заклейке (задача А') рассматриваются пленки постоянного топологического типа, гомотопные друг другу (в отличие от задачи А, в которой ищется абсолютный минимум по всем гомотопическим классам), Оказывается, введенные автором понятия стратифицированного объема и стратифицированных минимальных поверхностей, послв подходящей переформулировки иа функциональном языке варифолдов, позволяют решить и задачи А' и В'; зто решение принадлежит Дао Чонг Тхи, сформулировавшему задачу А' в таком виде: можно ли среди всех локально липшицевых отображений йс Чгз-~.М", гоматопных исходному отображению / и таких, что (у~ам ~(зм, найти отображение и„ минимизирующее старший функционал Й-мерного объема (при атом дЖ может быть пусто)г В такой постановке решается задача о минимизации втаршего объема чо1„поведение объемов мень- зп минимзльныв повзгхности в гомотопичзском класса тт ших размерностей не контролируется.

Далее, Дао Чонг Тхи решил задачу А' в следующем виде: установлено существование локально лнпшицева отображения у,: Игз-«-М" (в терминах потоков), минимизирующего функционал старшего й-мерного объема в классе всех локально липшнцевых отображений д: зг -«-М таких, что д)ам=~)зм (зто — задача нахождения абсолютного минимума по всем гомотопнческим классам). Как н в предыдущих случаях, минимизнруется старший объем то!, (в терминах потоков).

Решение зтих задач в указанной постановке оказалось возможным после того, как Дао Чонг Тхи ввел понятие мультиварифолдов, являющихся функциональными аналогами стратифицированных поверхностей Х=Л()5'()5"-'Ц ... Такая постановка ближе к функцнональному языку, разработанному в ~38] — [40). Глава 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ В ЯВНОМ ВИДЕ НАИМЕНЬШИХ ОВЪЕМОВ (АБСОЛЮТНЫЯ МИНИМУМ) ТОПОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕН 9 9. Функции исчерпания н минимальные поверхности 9.1.

Некоторые классические задачи. Опишем круг задач, приводящих к формулировке проблемы, решению которой в важном епециальном случае посвящена настоящая глава. Во многих разделах многомерного вариационного исчисления, алгебраической геометрии, комплексного анализа часто возникает следующая ситуация: а) Дано гладкое многообразие М" и его исчерпание (например, в смысле [50]) и-мерными областями В;, зависящими ст вещественного параметра г и расширяющимися с ростом г, т, е. В," ~В," при г,~г,. Эти области в процессе своего роста должны исчерпать (покрыть) все многообразие или открытую, всюду плотную область в этом многообразии.

б) В многообразии М" задана л-мернаи глобально минимальная поверхность (в дальнейшем будем называть ее ГМ-поверхностью), например Х'-комплексное алгебраическое подмногообразие или комплексное аналитическое подмножество в кэлеровом многообразии. в) Ставится вопрос Н: как оценить снизу функцию объема чо)л (Х" й В,") Чг (Х', г), зависящую от гг Частные случаи этой общей задачи Н изучались во многих работах. Например, для решения функциональных вопросов, рассмотренных в [52), необходимо следующее неравенство: (2г)'"-'~ ~чо1„з(Х'"-'() 1',"), где 1,'" — 2и-мерный стандартный куб в ф" (зх ... з")~Р" Ры (1 мех') ~г; '1тз'! ~г) Вы, а Х'"-' 0), т. е..совпадает с нулевой поверхностью уровня комплексно-аналитической функции 1(г', ..., г"); поверхность Х'"-' проходит через начало координат О~(;", (2г)"-'=чо1,„,1',"-', Другими словами, объем части поверхности Х'"-', содержащейся в кубе, должен оцениваться снизу (2и — 2)-мерным объемом минимального плоского сечения куба; таким сечением и является стандартный куб 1,'"-' (той же размерности, что и сама поверхность).

При и 2 этот результат доказан в [511; его следствия см. в [521. Для и) 2 утверждение пока не доказано. Если М йл и В" = 0; = (к ен Р' Н х ~ч-- г) — шар радиуса г с центром в точке О, то хорошо известен классический результат, согласно которому при й п — 1, и — 2 выполняется оценка 5 И,Функции исчеРплния и минимклъные повеРхности тз Уо!,(Х" ()0"))Уо!„Р, 'у~гь, Х" — ГМ-поверхность в к", проходящая через точку О, у~ — й-мерный объем единичного стандартного й-мерного шара. Для минимальной поверхности произвольной коразмерности Х" с= Р аналогичная нижняя оценка: то!~(ХьП 0",) ~уо40," — доказана в 1301, (321. См.

также классические оценки Лелона при й п — 1, М* Гс", 0",— шар радиуса г (см. 150!), Сформулируем теперь общую гипотезу А: Пусть Х" ~ Р" — ГМ-поверхность без границы (т. е. «уходящая на бесконечностьэ в Р"), проходящая через точку О, пусть В' ~ Р— симметричная выпуклая область с кусочно-гладкой границей дВ", точка О ев В" — центральная точка для В". Гогда выполняется неравенство чо), (Х» () В") =ь т!п чо1„(Р П В") чо(ь 5~ () В"), я" рис, 3$ где минимум берется по всем й-мерным плоским сечениям обла.

сти В" плоскостями мь, проходящими через точку О. Здесь 1,",,()В"-минимальное (в смысле объема пересечения) плоское сечение области; та- ь!)!йг',-,„, ких наименьших сечений может быть, ко- ' .:".!Еь,1~':.''!~;:,:::;.'З~Р,' печно, много. Интересен случай строго:,;:~ ',"(:,.!::~йФ~дя~,''д "; „";;. выпуклых областей В', центрально симмет- Комплексный вариант гипотеаы А: пусть,:~~',,",~"::~~В~;;;:„,,„" «к Х" с= $" — комплексно-аналитическая (а следовательно, глобально минимальная; см.

пункт 2.6) поверхность без Розницы комплексной размерности й, О еи Х", В" с= С"— выпуклая симметричная область в ч;" с кусочно-гладкой граннцеи; тогда выполняется неравенство Уо1,~(Х () В)~ш!Пто!,„($'ПВ), где $'П — 2й-мерные (над !1) сь плоские сечения области В Й-мерными комплексными плоскостями С", проходящими через О. Если область В не выпукла, то легко видеть, что зта оценка в общем случае неверна. В самом деле, рассмотрим в Р шар О," радиуса г; пусть Х" ~0," — произвольная ГМ-поверхность, проходящая через точку О (центр шара О,") и отличная от плоскости.

Пусть, далее, 0; — шар достаточно малого радиуса е. В качестве невыпуклой области В возьмем область О,"",У„где ~l,— трубчатая окрестность малого радиуса з поверхности Х'()(О",",О,") (рис. 31). Положим Х' Х" ()В и устремим число з к нулю, тогда область В стремится к области О,"~,Л'; ясно, что при достаточно малом з имеем Уо1~(Л" Д 0",) = чо!„Х". В то же время зв нхимвньшив овъвмы минимлльных поввгхноствн, !гл.з для любого й-мерного плоского сечения Т' Р,'(» В имеем чо!ь Т"~чо1,0,', Выбирая в достаточно малым, можно добиться того, чтобы выполнялось неравенство чо1, В ~ то~, Х'.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее