А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 8

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 8 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 8 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 8 - страница

р,", лей /л~ло,...,л,>01 1 л,+...+л,=л / >с --*. лл-лл- ° . »ллл- ."- ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 40 где через С„(пн ..., п,) обозначено число упорядоченных последовательностей (ан ..., а„), у которых элемент Ь| встречается п~ раз, ..., элемент Ь, встречается и, раз. Поскольку число способов, которыми и~ элементов Ь1 можно расположить на п местах, равно С„"', пз элементов Ьз на и — п1 местах — С„"' „, и т. д., то 1= и! (п — и~)! и1 п~1(и — и~)! пз!(п — и1 — из)~ п~!...и,1' Поэтому р("')= ~', „,, „,, р7 "Р."'=(р+" +р)"=1 меп Ти>зв, ...,«,>вц Т л~+...+и,—- » / и, следовательно, рассматриваемый способ задания вероятностей является корректным.

Пусть Аиь...,и, =(ЬМ щ(И) =ПО ..., Р,(М) =П,). Тогда Р(Ал,,..ль) = Сл(пн "' пг) р~ ' ... р,"'. (2) Набор вероятностей (Р(А„, „,)) носит название мупьтиномиаиьного (полиномиального) распределения. Подчеркнем, что возникновение этого распределения и его частного случая — биномиального распределения — связано с выбором с возвращением. 3. Многомерное гипергеометрическое распределение появляется в задачах, где имеет место выбор без возвращения.

Для примера рассмотрим урну, содержащую М различных шаров, занумерованных, скажем, числами 1, 2, ., М, из которых М, шаров имеют «цвет» Ьн ..., М, шаров имеют «цвет» Ь„М~ + ... +М, =М. Предположим, что осуществляется выбор без возвращения объема п < М. Пространство элементарных событий Й=(ы: м=(ан ..., а„), а»4ан йф!; а;=1, ..., М) и М(П) =(М)„. Будем считать элементарные события равновозможными и найдем вероятность события В„ь „„состоящего в том, что п, шаров имеют цвет Ьн ..., п, шаров имеют цвет Ь„п~+... +п, =п. Нетрудно показать, что А1(В„», „,) =С„(пь ..., п,)(М~),, ...(М,)„,, э 2. НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 4! и, значит Сл! Сл ( л»...,л,) М, М, (3) Аг(а) с" Набор вероятностей (Р(В», „,)) носит название многомерного гипергеометрического распределения.

В случае г = 2 это распределение называют просто гипергеометрическим в связи с тем, что так называемая производящая функция этою распределения есть гипергеометрическая функция. Структура многомерного гипергеометрического распределения довольно сложна. Так, вероятность Р(В,М ) = „, и~+аз=а, М~+М2=М, (4) ллл = С. содержит девять факториалов.

Однако легко видеть, что если М- оо, м Мг М~ - оо, но так, что — — р (и, следовательно, — — 1 — р), то М М (5) Иначе говоря, при сделанных предположениях гипергеометрическое распределение аппроксимируется биномиальным, что интуитивно понятно, поскольку при больших М и М~ (конечный) выбор без возвращения должен давать почти тот же результат, что и выбор с возвращением. Пример. Используем формулу (4) для нахождения вероятности угадывания шести «счастливых» номеров в известной лотерее «спортлото», суть которой состоит в следующем.

Имеется 49 шаров, занумерованных числами 1, 2, ..., 49, из которых шесть шаров «счастливых» (скажем, красного цвета; остальные — белого). Производится выбор без возвращения шести шаров. Спрашивается, какова вероятность того, что все шесть вытащенных шаров являются «счастливыми». Полагая М=49, М1=6, п~ =6, п2=0, видим, что интересующее нас событие В а = (6 шаРов — «счастливые») имеет, согласно (4), вероятность Р(Ва о) = — = 7,2. 10 -з 49 4. Числа и! с ростом и растут чрезвычайно быстро. Так, 10! =3628800, 15! = 1307674368000, ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 42 С»=2", ~~~ (С»)2=С" »=о »=о « ') (-1)"-'С" =С",, т>п+1, »=о й(й — 1) С», = т(т — 1)2 »=о йС»=пС» ', «= «-~ т т>2, С„=~~ С„'С„', гдеО<т<п,0<5<пинала=- »оо гаем С,'=0 при)<Оияи ] >1.

5. Пусть Ф вЂ” размер некоторой популяции, который требуется оценить «минимальными средствами» без простого пересчета всех элементов этой совокупности. Подобного рода вопрос интересен, например, при оценке числа жителей в той или иной стране, городе и т.д. В 1786 г. Лаплас дяя оценки числа Ф жителей во Франции предложил следующий метод. а 100! содержит 158 знаков. Поэтому как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения важна следующая формула Стирлинга: п!=тГ2яп( — ) ехр( — "), 0<0„<1, (6) доказательство которой имеется в большинстве руководств по математическому анализу (см. также задачу 1 в $8 гл.

УП1). 5. Задачи. 1. Доказать утверждение (5). 2. Показать, что для полиномиального распределения (Р(А„, „,)) максимальное значение вероятности достигается в точке (йн ..., й,), удовлетворяющей неравенствам: и р; — 1 < й; < (п + г — 1) рг, 1 = 1, ..., г. 3. Одномерная модель Изинга. Пусть имеется п частиц, расположенных в точках 1, 2, ..., п. Предположим, что каждая из частиц относится к одному из двух типов, причем частиц первого типа п~ и второго — пт (п~ + пэ =п). Будем считать все п! расположений частиц равновозможными.

Построить соответствующую вероятностную модель н найти вероятность события А„(тн, тип тз~ ° т22) = (и~ ~ = т ~ и ..., »22 = т22), где иу— число частиц типа 1, следующих за частицами типа г (1, 1=1, 2). 4. Используя вероятностные соображения, доказать справедливость следующих тождеств: йз, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 43 Выберем некоторое число, скажем,М, элементов популяции н пометнм нх, Затем возвратим нх в основную совокупность н предположим, что онн «хорошо перемешаны» с немаркнрованнымн элементами. После этого возьмем нз <перемешанной» популяцнн и элементов. Пусть средн ннх Х элементов оказались маркированными.

Показать, что соответствующая вероятность Рмм,„(Х =гл) задается формулой гнпергеометрнческого распределения (ср. с (4)); С» С» — и Рм:.(Х= )= и Считая М, п н гл фиксированными, найдем максимум этой вероятности по М, т. е.

найдем «нанболее правдоподобный» объем всей популяции, прнводяшнй (прн заданных М н л) к тому, что число Х маркированных элементов оказалось равным л4. Показать, что наиболее правдоподобное значенне (обозначнм его М) определяется формулой ([ ] — целая часть): М =(Мпгп Так полученная оценка М для М называется оценкой максимального правдоподобия. (Продолженне этой задачи см. в $7 (задача 4).) 6.(Ср. с задачей 2 в $1.) Пусть () содержит М элементов н Й(М) есть число различных разбиений й, обладаюшнх тем свойством, что каждое подмножество разбиения имеет нечетное число элементов. Показать, что д(1)=1, 4((2)=1, д(3)=2, д(4) = 5, 4К(5) = 12, д(б) = 37 н, вообще, л! в 3. Условные вероятности.

Независимость 1. Понятие вероятности события дает нам возможность ответить на вопрос такого типа: если урна содержит М шаров, нз которых М, шаров белого цвета н Мз — черного, то какова вероятность Р(А) события А, состоящего в том, что вытащенный шар ймеет белый цвет? В случае класснческого подхода Р(А) = М,/М. 44 ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вводимое ниже понятие условной вероятности позволяет отвечать на вопрос следующего типа: какова вероятность того, что второй извле- ченный шар белого цвета (событие В), при условии, что первый шар также имеет белый цвет (событие А)? (Рассматривается выбор без возвращения.) Естественно здесь рассуждать так: если первый извлеченный шар имел белый цвет, то перед вторым извлечением мы имеем урну с М вЂ” 1 шаром, из которых М! — 1 шаров имеют белый цвет, а Мз — черный; поэтому интуитивно представляется целесообразным считать, что интересующая М! — ! нас (условная) вероятность равна— М вЂ” 1' Дадим теперь определение условной вероятности, согласующееся с интуитивными предстанлениями о ней.

Пусть (й, л«, Р) — (конечное) вероятностное пространство и А — неко- торое событие (т. е. А н лг ). Определение 1. Условной вероятностью события В при условии события А с Р(А) > О (обозначение: Р(В!А) ) называется величина Р(АВ) Р(А) ' (1) В случае классического способа ($ 1, п. 4) задания вероятностей Р(А) = —, Р(АВ) = — и, значит, М(А) М(АВ) М(й)' М(й) Р(В (А) = —. М(А В) М(А) ' Следующие свойства условных вероятностей непосредственно вытекают из определения 1: Р(А ! А) = 1, Р(й!1А) =О, Р(В!А)=1, ВЭА, Р(В1 + Вз (А) = Р(В1 ! А) + Р(Вз / А).

Из этих свойств следует, что при «закрепленном» множестве А услов- ная вероятность Р( !А) обладает на пространстве (ОПА, ле пА), где лх Г!А =(В пА: В Е лх), теми же свойствами, что и исходная вероятность Р(.) на (й, лх). Отметим, что Р(В)А)+Р(В)А) =1, однако, вообще говоря, Р(В )А)+ Р(В (А) ф 1, Р(В (А) + Р(В (А) ф 1. 43 УСЛОВНЪ|Е ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ 45 пример 1. Рассмотрим семьи, имеюшме двух детей.

Спрашивается, какова вероятность того, что в семье оба ребенка мальчики, в предположении, что: а) старший ребенок в мальчик; Ь) по крайней мере один из детей — мальчик? Пространство элементарных событий (исходов) здесь, очевидно, таково: () = (ММ, МД, ДМ, ДД), где МД означает, что старший ребенок — мальчик, младший — девочка, и т.д.

Будем считать, что каждый исход равновозможен: Р(ММ) = Р(МД) = Р(ДМ) = Р(ДД) = —. ! 4' Пусть А — событие «старший ребенок — мальчик»,  — «младший ребенок — мальчик». Тогда А 0 В есть событие «по крайней мере один из детей — мальчик», А — «оба ребенка — мальчики» и интересующая нас в вопросе а) вероятность есть условная вероятность Р(АВ ~А), а в вопросе Ь) — условная вероятность Р(АВ)АиВ). Легко находим, что Р(АВ (А)»» Р(АВ) 1/4 1 Р(А) 1/2 2' Р(АВ) !/4 1 Р(АВ(АОВ)= р(Ас|В) 3/4 3' 2.

Следующая простая, но важная формула (3), носящая название формулы полной вероятности, является основным средством при подсчете вероятностей сложных событий с использованием условных вероятностей. Рассмотрим некоторое разбиение У=(АИ ..., А„» с Р(А;) > О, 1 = = 1, ..., п (часто такое разбиение называют также полной группой несовместимых событий). Ясно, что В=ВА|+...+ВА„ и, значит, л Р(В) = ~ Р(ВА!). |=| Но Р(ВА|) = Р(В ~ А;) Р(А|). ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 46 Тем самым имеет место формула полной вероятности » Р(В)=~~~ Р(В(А;)Р(А!).

В частности, если 0 < Р(А) < 1, то Р(В) = Р(В (А) Р(А) + Р(В ~ А) Р(А). (4) Пример 2. В урне имеется М шаров, среди которых т «счастливых». Спрашивается, какова вероятность извлечь на втором шаге «счастливый» шар (предполагается, что качество первого извлеченного шара неизвестно, рассматривается случай выбора без возвращения объема л =2 и все исходы равновозможны). Пусть А — событие «первый шар — счастливый»,  — «второй шар в счастливый». Тогда т(т — 1) Р(ВА) М(М вЂ” 1) Р(А) т М т(М вЂ” т) Р(В~А-) Р(ВА) М(М-') Р(А) А1 — т М М вЂ” 1 Р(В) = Р(В 1А) Р(А)+ Р(В ( А) Р(А) = — + Р(АВ) = Р(В ~А) Р(А). (5) Эта формула, носящая название формулы умножения вероятностей, обобщается (по индукции) следующим образом: если рассматриваются со- бытия А н ..., А„! такие, что Р(А,...А„!) > О, то Р(А! ...А„) = Р(А!) Р(Аз!А!)...Р(А„!А! ...А„!) (6) (здесь А! ...А„=А! Г1АзГ1...ПА„).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее