А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 79

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 79 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 79 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 79 - страница

Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость Вероятностных мер Р"'(А"') — 1 и Р»'(А»') -+ О, й — оо. Сразу отметим, что разделимость есть понятие симметричное: (Р") 4ъ гг(Р") 44 (Р") Гз (Р")д Контигуальность этим свойством не обладает. если (Р") а (Р") и (Р") г» (Р"), то пишут (Р") и!» (Р") и говорят, что последовательности мер (Р") и (Р") взаимно контигуалычы, Отметим, что в случае, когда (й", .йг") = (Г1, .йг), Р" = Р, Р" = Р для всех а > 1, имеем (1) (2) (з) (Р")а(Р") с> Р«Р, (Р") и (Р") «ь Р Р, (Р") д(Р") «э Р~Р.

Эти свойства и данные выше определения объясняют, почему контигуальность и полная асимптотическая разделимость часто трактуются как «асимптотическая абсолютная непрерывность» и «асимптотическая сингулярность» для последовательностей (Р") и (Р"). 1. Эти понятия играют фундаментальную роль в асиматопгической теории математической статистики, являясь естественным распространением понятий абсолютной непрерывности и сингулярности двух мер на случай последовательностей пар мер. Начнем с определений. Пусть (й", Я")„в~ — некоторая последовательность измеримых пространств и (Р")„>ы (Р")„»! — последовательности вероятностных мер, где Р" и Р" определены на (Г!",,йг"), и > 1. Определение 1.

Говорят, что последовательность мер (Р") контигуальна последовательности (Р") (обозначение: (Р") ~(Р")), если для всех А" Е .йг" таких, что Р"(А") - О, и -+ со, имеем Р"(А") — О, и — со. Определение 2. Говорят, что последовательности мер (Р») и (Р") полностью асимптотически разделимы (для краткости — разделимы; обозначение: (Р") д (Р")), если сушествуют подпоследовательность па ! оо, й -+ со, и множества А"" е.»г"" такие, что 4 !О. КОНТИГУАЛЬНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 47! 2.

Приводимые ниже теоремы 1 и 2 являются естественным распространением теорем 2 и 3 из $9 на случай последовательностей мер. Пусть (й", дг")„>! — последовательность измеримых пространств, г,!л — вероятностная мера на (й",,У"), п > 1, и с" — случайные величины (вообще говоря, расширенные; см.

$4 гл. П) на (й", вя'и), и > 1, Определение 3. Последовательность случайных величин (Еп) называется плотной относительно последовательности мер (О") (обозначение: (~л(!',!") плотно), если 1нп 11п! !л! (!ч ~ >Я=О. И гоп (Ср. с соответствующим определением плотности семейства вероятностных мер в 2 2.) Далее всюду будем полагать р" +Фа 2 йрл л ИР" ,Д)л ' 4(Ол Будем обозначать также -л лап зл (5) Рл(е" ( — ) =Ео. (а"I(е" ( — )) (— (б) и 2" < — „, то зл ' — „~ Рл) плотно, (2" '!Р") плотно. (; ' 1 Теорема 1. Следующие условия являются эквивалентными: (а) (Рл) 7(рл), (Ь) ( — „~ Рл) плотно, (Ь') (2л )Рл) плотно, (с) !цп !!ш Н(аг Рп Рп) а!О л Теорема 2. Следующие условия являются эквивалентными: (а) (Рп) л (Рл) (Ь) 1!гп Рп(ал > е) = О для всякого е > О, л (7) производную Лебега меры Р" относительно меры Р" (см.

формулу (29) 2 в $9), считая — = оо. Заметим, что если Р" «Р", то 2" есть в точности О йрп один из вариантов плотности — меры Р" относительно Рл (см. $ б гл. П). йрп Для дальнейшего полезно отметить, что поскольку 472 ГЛ. 1П. СХОЛНМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР (Ь') )пп Рл(Х" < Н) = 0 для всякого Н > О, (с) 1ггп !пп Н(а; Р", Рл) =О, а10 л (д) Йгп Н(а; Р", Рл) = 0 для всек а е (О, 1), л (е) )пп Н(а; Р", Рл) = 0 для некоторого а Е (О, 1). Доказательство теоремы 1. (а) ~ (Ь). Если (Ь) не выполнено, то существуют е > 0 и последовате- льность лл Т оо такие, что Р"' (гла < — 1 > е. Но в силу (б) Рл'!ела < — 1 < пег па 7 1 < — -+ О, )г — оо, что противоречит предположению (Р") < (Рл). ял (Ь) чо (Ь'). Достаточно лишь заметить, что Е" = — — 1.

гл (Ь) =ь (а). Пусть Ал Е.ргл и Рл(Ал) — О, и - оо. Имеем )а" (Ал) < Р" (гл ~ Е) + ЕО. (гдл/(Ал П(гл > Е))) < < рл( л < )+ Е ( л((Ал)) рл( л < .) + Рл(Ал» г 1 Значит »пп Рл(Ал) <!пп Ргг(г" < е) е>0. Рл(гл <е) =О. Тем самым Утверждение (Ь) равносильно тому, что! пп 1~п лго Рл(Ал) - О, т. е. (Ь) =ь (а). (Ь) =ь (с). Пусть е > О. Тогда лалла Н(а; Р", Рл)=Ег7.!(г") (г")г "] >ЕО.[~=„~ 1(гл >е)l(гл>0)г"~ = =Ер„[( —,) )(г")е)~) Н Р"(г")е), (8) поскольку гл+гл=2.

Значит, для е>0 (пп )пп Н(а; Р", Р")>11т~-) )пп Р(гл>е)=!пи Р" (гл>е). (9) аге л аге ~ В силу (Ь) !!го !!го Р" (гл > е) = 1. Поэтому из (9) и того, что Н(а; Р", Р") < 1, л10 следует утверждение (с). 5 !О. КОНТИГУАЛЬНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 473 (с) =ь (Ь). Пусть б Е (О, 1). Тогда Н(О. Р Рл) = ЕО [(Ел)~(2~)~-~((зи < Е)[+ +Ео.[(ел) (гл)' ((ел >е гл < 6)]+Ео.[(ел)а(2»)' 7(ел >е 2» >6)[ < (2е + 26' + Ед.

[г" [ — ) !(еи > е, 2» > 6)] ( г2~а <2е +26~ + ~-) Р"(ал>е). (1О) Поэтому бла 1пп 1нп Рл(зл > е) > ~-) )пп Н(о; Р", Рл) — — б »РЗ л для всех о Е(0, 1), 6Е (О, 1). Полагая сначала о.[0, используя (с) и затем беря б(0, получаем )нп )пп Рл(зл > е) > 1, .1О » откуда вытекает справедливость (Ь). П Доказательство теоремы 2.

(а) ~ (Ь). Пусть(Р») ь(Р"), па[ос, и А" ЕЯ" таковы, что Рлл(А»л)- 1 и Рл'(Ал ) — О. Тогда с учетом того, что ел+ 2» = 2, имеем Рпл(ел. > е) < Рлл(А»,)+ Е (ел» . /(Алл)((еил > е)~ рлл(А»л)+М (~ ((Апл)(( лл > .)~ -флл(А»л)+ Ри»(А»*) е Следовательно, Р" (ал > е) — 0 и, значит, выполнено (Ь). (Ь) =ь (а). Если выполнено (Ь), то существует последовательность ль ! оо такая, что Р ' ~з " > -7! < — — О, и -+ со. л л - А)'-А !т ! Отсюда, заметив (см. (6)), что Рл' ~г"' > е7! >1 — —, получаем утверждение (а). (Ь) с-.ь (Ь'). Достаточно лишь заметить, что Е" = — „— 1. (Ь) =ь (д).

В силу (10) и (Ь) )нп Н(еп Р", Ри) <2е +26' и для произвольных е и б из интервала (О, 1). Поэтому (д) имеет место. (д) =ь (с) и (д) =ь (е) очевидны. ГЛ, Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 474 Наконец, из (8) имеем /2 а )ип Р"(г" >г)< ~-) 1!в Н(о; Р", Р"). где Рз и Рз заданы на (йю .Яге), й > 1. Поскольку в этом случае т, и(!-(!-Н[а;Р„Р,!!! Н(о; Р", Р ) П Н(о; Ры Рь) =ени то из теорем 1 и 2 получаем следуюший результат: (Р")а(Р") еь 11в (ип ~ [1 — Н(о Рм Р~)[=0, .!о ° Ф=! л (Р") а(Р") еь 1!в ~~! [1 — Н(а; Рм Рз)[=со.

Ф=! (11) (12) Пример. Пусть (йю,йга) = (Й, мг(й)), аз Е [О, 1), Ра(г(х) = ((о и (х) с(х, Рз(г(х) = — (! О (х) с!х. Поскольку здесь Н(а; Ры Рз) = (1 — аь), о Е (О, 1), то из (11) и того факта, что Н(о; Ры Ра) = Н(1 — о; Рю Рь), находим (Р") а(Р") еь !ип па„<со, т.е. а„=О~-), (Р") а(!и") еь (ип па„=О, т.е. а„=о(-) (Р")(!(Р") еь (ип па„=оо. 4. Задачи. Пусть рп рих хрх Рп ркх хрп п>1 !.де рх н Рп гауссовские меры с параметрами (а", 1) и (а", 1). Найти условия на (а"„) и (а"), при которых (Р") а(Р"), (Р") с! (Р"). /2х а Поэтому (с) ~ (Ь) и (е) =ь (Ь), поскольку ~-) — 1, о.[0. П Е 3.

Рассмотрим один частный случай, соответствуюший схеме независимых наблюдений, где вычисление интегралов Н(о; Р", Р") и применение теорем 1 и 2 не представляет больших трудностей. Предположим, что меры Р" и Р" есть прямые произведения мер: Р" =Р! х ...

х Р„, Р"=Р! х ... х Р„, и > 1, 4 и. скорость сходимости в ц.и.т. 475 2. Пусть Р" = Р" х ... х Р" Р" = Р! х ... х Р" где Р" и Р" — вероятностные меры на (к, Я(г!)) такие, что Р"(дх) =l!о,!!(х)Ых, Р„"(дх)= =!1,„!+,„1(х) Нх, О < а„<! . Показать, что И(о; Р", Рлл) = 1 - а„и (Р") а(Р") еь (Р") з(Р") 44 !нп па„=О, (Р") 4!(Р") еь йт ла„=со. (Р„) <!(Р„) еь Р «Р, (Р„) и (Р„) еь Р Р, (Р„)а(Р„) 4.

"РЛ Р. $11. О скорости сходимости в центральной предельной теореме 1. Пусть с„!, ..., с — последовательность независимых случайных величин, 5„=4„!+...+С„„, Р,(х)=Р(5„<х), л>1. Если 5„- Ф'(О, 1), то для всякого х Е Я Р„(х) — Ф(х). Поскольку функция Ф(х) непрерывна, то на самом деле сходимость здесь равномерная (задача 5 в $1): зцр !Р„(х) — Ф(х) ! — О, л — со. к Естественно поставить вопрос о скорости сходимости в (1). Приведем соответствующий результат для того случая, когда 5„= 4! + "+си в~/л п > 1, где с!, сз, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с ЕС4=0, 054=аз >О и Е(5!)з <оо. Теорема (Берри и Зссеен). Имеет место оценка з"р !Р (х) - Ф(х)! < з СЕК!(з Л вз!/й (2) где С вЂ” абсолютная константа ((2я) !7з < С <0,7655). 3.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5117
Авторов
на СтудИзбе
447
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее