А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 75

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 75 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 75 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 75 - страница

Показать, что можно найти (достаточно «богатое») вероятностное пространство (й, У', Р) и определенные на нем случайные величины Т и (г)ь)ь<„, и >! (Т имеет распределение Е, ))()"), ..., ))(") независимы и одинаково распределены с распределением Р(ю), такие, что Т=г) +" +Ъ п>1. «' (л) (л) 12. Привести пример случайной величины, не являющейся безгранично делимой, характеристическая функция которой, тем не менее, в нуль не обращается. ф 7. «Метризуемость» слабой сходимости 1. Пусть (Е, а', р) — метрическое пространство и дз(Е) = (Р) — семейство вероятностных мер на (Е, й). Естественно поставить вопрос о том, нельзя ли «метризовать» рассмотренную в $ ! слабую сходимость Р„- Р, т.

е. нельзя ли ввести такое расстояние 6(Р, Р) между любыми двумя мерами Р и Р из д"(Е), чтобы сходимость б(Р„, Р)- 0 была равносильна сходимости Р„ — Р. В связи с такой постановкой вопроса полезно отметить, что сходимасть случайных величин яо вероятности, С„- Е, может быть метризована с помощью, например, расстояния с(р(4, т))=!п((е>0: Р(((-)))>е)<е) или расстояний (1(с, ))) =Е ппп(1, !Š— г)!), (1(с, )))=Е . (Более об- К вЂ” ч! !+К-„!' щим образом, можно положить (((Е, ))) =Е у((с — ))!), где в качестве функции д = д(х), х > О, можно взять любую борелевскую неотрицательную возрастающую функцию, непрерывную в нуле и такую, что д(х+ у) < д(х) + д(у) для всех х > О, у > О, у(0) = О, у(х) > 0 для х > 0.) Но в то же самое время в пространстве всех случайных величин на (й,.рг, Р) не существует расстояния (1(с, г)) такого, что с(((„, 4)- 0 тогда и только тогда, когда 6 сходится к С с вероятностью единица.

(В этом легко убедиться, взяв последовательность случайных величин 6, я > 1, сходящихся по вероятности к С, но не сходящихся с вероятностью единица.) Иначе говоря, сходимость с вероятностью единица не метризуема. (См. утверждения задач 1! и !2 к $10 гл. П.) 1Аель настоящего параграфа — установить, конкретно указав метрики ()-(Р, Р) и !!Р— Р!)вд), в пространстве мер дз(Е), метризуемость слабой сходимости: р .,р 4» ((Р„, Р)- 0 «ь !!Р» Р!!вс (1) ГЛ. ВЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 448 2. Метрика Леви — Прохорова ЦР, Р). Пусть р(х, А) =! п((р(х, у): у Е А), А« = (х Е Е: р(х, А) < е), А Е й'.

Для любых двух мер Р, Р е .У(б') положим о(Р, Р) =1п((е>0: Р(Г) <Р(Г')+а для всех замкнутых ГЕе) (2) ЦР, Р) = щах[о(Р, Р), о(Р, Р)[. Следующая лемма показывает, что так определенная функция ЦР, Р), Р, Ре,У(б'), называемая метрикой Леви — Прохорова, действительно является метрикой. Лемма 1. Функция Е(Р, Р) обладает свойствами расстояния: а) ЦР, Р)««ЦР, Р) (««о( Р, Р) = о(Р, Р)), Ь) ЦР, Р) < ЦР, Р) + ЦР, Р), с) ЦР, Р) =0 тогда и только тогда, когда Р=Р. Доказательство.

а) Достаточно показать, что (а > 0,,9 > 0) «Р(Г) < Р(Г ) +)б для всех замкнутых Г Е в» (4) тогда н только тогда, когда «Р(Г) < Р(Г )+р для всех замкнутых Гел'». (5) Пусть Т вЂ” замкнутое множество нз е'. Тогда множество Т открыто и нетрудно проверить, что Т СЕ~(Е~ Т )". Если выполнено (4), то тогда, в частности, Р(Е~Т )<Р((Е~Т )")+)) н, тем самым, Р(7) <Р(Е [(Е~ Т ) ) <Р(Т )+)3, что н показывает равносильность (4) и (5). Отсюда следует, что о(Р, Р) = о(Р, Р) (6) н, тем самым, ЦР, Р) = о(Р, Р) = о(Р, Р) = ЦР, Р). (Т) Ь) Пусть Е(Р, Р) < бп У (Р, Р) < бз. Тогда для каждого замкнутого Г Е бГ Р(Г) <Р(Г4 )+б <Р((Г'н)4>)+б +б <Р(Ге +4~)+б +б 47. «МЕТРИЗУЕМОСТЬ» СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ 449 н поэтому Е(Р, Р) <б~+бз.

Отсюда следует, что цр, Р) < цр, Р) + цР, Р). с) Если ЦР, Р) = О, то тогда для каждого замкнутого Г е ег н любого а>0 Р(Г) <Р(Г )+а. (8) Поскольку Г 1 Г, а(0, то нз (8) предельным переходом по а 40 находим, что Р(Г) < Р(Р), н по симметрии Р(Г) < Р(Г). Тем самым, Р(Г) = Р(Г) для всех замкнутых Ге бГ. Для каждого борелевского множества А ЕеГ и всякою е> 0 найдутся такие открытое множество 6, » А н замкнутое множество Г, С А, что Р(6, ~ Г,) < е. Отсюда следует, что всякая вероятностная мера Р на метрическом пространстве (Е, е, р) полностью определяется своими значениями на замкнутых множествах. Следовательно, нз Р(Г) =Р(Г) для всех замкнутых Ге е вытекает, что Р(А) = Р(А) для всех борелевскнх А е а'. С) Теорема 1.

Метрика Леви — Прохорова ЦР, Р) метризует слабую сходимость: ЦР„Р)- 0 еь Р„-~ Р. (9) Доказательство. (=ь) Пусть ЦР„, Р) - О, п - оо. Тогда для всякого фиксированною замкнутого множества Г е Ф н любого е > О, согласно (2) н утверждению а) леммы 1, 1ип Р„(Г) < Р(Г«) +е. (! 0) Полагая здесь е ! О, находим, что !ип Р„(Г) < Р(Г) . Согласно теореме 1 нз $1, отсюда следует, что Р„Р. (11) Доказательство нмплнкацнн (4=) будет опираться на ряд глубоких и полезных фактов, дополнительно проливающих свет как на само содержание понятия слабой сходнмостн, так н на методы ее установления и методы изучения «скоростн» сходнмостн.

Итак, пусть Р„ - Р. Это означает, что для любой непрерывной ограниченной функции ~ = «г(х) ( 1(х) Р«(г(х) ~ ((х) Р(дх). (12) е Е Предположим теперь, что йт — некоторый класс равностепенно непрерывных функций а= д(х) (для всякого е>0 найдется такое б>0, ГЛ. ВЕ СХОЙИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР что )д(у) — д(х)! <е, если р(х, у) <6 для всех уеУ), таких, что (д(х)! < С с одной и той же константой С >О (для всех хеЕ и убУ). Согласно теореме 3 $8, для класса У имеет место следующее усиление свойства (12): Р Р р)!к*)РИ ~ — !к*)Р(~ )~ О.

(13) хем )е е Для каждого А е л и е > 0 положим (как в теореме 1 из $1) /'(х) — [1 — р(»' ~)) (14) Ясно, что (л(х) < Д(х) < lд.(х) (15) Я(х) — Д(у)((а ')р(х, А)-р(у, А))(е 'р(х„у). Тем самым для класса У' = (Д(х), А Е й) имеет место (13). Значит, ь.=-р !а(ч~.(~> — !~вчем>Щ-о, .- . (пу Аел е Е Отсюда и из (15) заключаем, что для всякого замкнутого множества АеФие>0 Р(А') > ~ Д(х) д(Р >~ $ Д(х) д(Ри — Ьл ~ ~Рп(А) — Ьл. (17) Е Е Выберем п(а) так,чтоЬ„<едля всехп>п(е).Тогда из(17) для н>п(а) Р(А') > Р„(А) — а.

(18) Р„- Р ~ ܄— 0 =ь ЦР„, Р)~0. Теорема (с точностью до утверждения (13)) доказана. П 3. Метрика 11Р— РЦд. Обозначим ВЕ множество всех непрерывных ограниченных функций 7" = )(х), х Е Е (с 11711 = зир 17(х)1< со), удовлек творяющих к тому же условию Лившица: 1/(к) — /(у)1 «;аз Р(" У) Положим 1Щ1вд = 11711 + 11711д. Пространство ВЕ с нормой 1) (1вд, является банаховым пространством. Отсюда в силу определений (2), (3) вытекает, что ЦР„, Р) < е, коль скоро и >п(е). Тем самым $7. «МЕТРИЗУЕМОСТЬ» СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ 4Б! Определим метрику !!Р— Р!1вс, положив !1~ Р11вс= зир)1) го(р — Р)1: 1!711вс«1~. (19) (Можно проверить, что действительно !1Р— Р11в„удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к метрике; задача 2.) Теорема 2. Метрика !1Р— Р11в метризует слабую сходимостес 11Є— Р1!вс О еь Р„р.

11 -Р11;,«2(.(Р, Р), 2хз р(С(Р, )Б)) « 1!Р - Р!!вс где р(х) = 2 (20) (21) Доказательство. Импликация (~) вытекает немедленно из (! 3). Дая доказательства (=ь) достаточно показать, что в определении слабой сходимости Р„ - Р как выполнения свойства (12) для любой непрерывной ограниченной функции 7' = 7(х) достаточно ограничиться рассмотрением лишь класса ограниченных функций удовлетворяющих условию Липшица. Иначе говоря, импликация (~) будет доказана, если установить справедливость следующего результата.

Лемма 2. Слабая сходимость Р„- Р имеет место тогда и только тогда, когда свойство (12) выполнено для любой функции 7' = 7(х) из класса ВВ. Доказательство. В одну сторону доказательство очевидно. Рассмотрим теперь функции Тл = Тл(х), определенные в (14). Как было установлено выше при доказательстве теоремы 1, при каждом е > 0 класс У'=(Тл(х), А ЕЮ) С В(..

Если теперь проанализировать доказательство импликации (1) =ь (П) в теореме 1 из $1, то можно заметить, что в действительности в ее доказательстве выполнение свойства (12) использовалось не для всех ограниченнных непрерывных функций, а лишь для функций из классов У', е > О. Поскольку У' С В(., е > О, то заведомо верно, что нз выполнения свойства (12) для функций из класса В(. следует утверждение П теоремы 1 5 1, которое равносильно (в силу той же теоремы 1 $ !) слабой сходимости Р„ — Р. П Замечание.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее