А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 74

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 74 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 74 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 74 - страница

(4»4« 2. При проверке того, является ли данная случайная величина Т безгранично делимой, проще всего исходить из вида ее характеристической функции (а(!). Если для любого п > 1 можно найти такие характеристические функции !р„(1), что у(() = [р„(!)]", то Т безгранично делима. 46. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 44! В гауссовском случае 1 е р(!) =еи е 2, и, полагая РчЩ=ЕиТе 2=, сразу находим, что р(1) = [„, (!)]ь В пуассоновском случае ~(1) ел(е" - 1! и если положить р„(1) =еп(' '1, то р(1) = [у„(!)]".

Если случайная величина Т имеет Г-распределение с плотностью х~-!~-~/в х>0, )(х) = Г(а)13'" ~о, х<0, то (табл. 5, $12 гл. 11) ее характеристическая функция равна ! 'р()= (! ща Следовательно, рЯ = [~р„(1)]", где ! ~'" Т-'чаек и, значит, Т безгранично делима. Приведем без доказательства следующий результат об общем виде характеристической функции безгранично делимых распределений.

Теорема 2 (представление Колмогорова — Деви — Хинчина). Случайная величина Т является безгранично делимой тогда и толь- кО тогда, когда ее характеристическая функция !ь(Г) имеет вид Р(1) =ехр ф(!) с (2 2 0о Нх х 1+хз ф(1) 11 9 + $ [ еик ! ) г(Л(х) (2) где !ТЕ)г, о2 > 0 и Л вЂ” некоторая конечная мера на ()г, Я()г)) с Л(0) =О.

3. Пусть С,, С2, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и 5„=(~+...+4„. Предположим, что существуют такие константы о„, а„> 0 и случайная величина Т, что (3) ач ГЛ. НЕ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР 442 Спрашивается, как охарактеризовать все распределения (случайных вели- чин Т), которые могут возникать в виде предельных распределений в (3)г Если независимые одинаково распределенные случайные величины Сы С2, ...

таковы, что 0< од н0С1 <со, то, полагая Ь„=пЕ4, и а„= т~/й, согласно $4, находим, что Т имеет нормальное распределение 4'(О, !). д Если 7(х) = (х2+д2) — плотность распределения Коши (с параметром д>0) и (ы С2, . — независимые случайные величины с плотностью Дх), то характеристическая функция рб(1) равна е 41'1 и, значит, рвом(1) = г, = (е 1'1)" = е е1'1, т. е. величина 5„/и также имеет распределение Коши (с тем же самым параметром д). Таким образом, в качестве предельных распределений, помимо нор- мального, могут появляться и другие распределения (как, например, рас- пределение Коши).

Если положить с„л= — — —, 1<Ь<п, то найдем, что ь„ ил пал л 5.-Ь. т;-4 ( Т) ь=! Таким образом, все мыслимые распределения для Т, которые могут появ- ляться в качестве предельных в (3), обязательно являются (в соответствии с теоремой 1) безгранично делимыми. Однако специфика рассматриваемых 3,— Ь величин Т„= — дает возможность получить дополнительную инфора, мацию о структуре возникающих здесь предельных распределений. С этой целью введем (с учетом замечания 1) такое Определение 2.

Случайная величина Т (а также ее функция распреде- ления р(х) н характеристическая функция р(1)) называется устойчивой, если для любою п > 1 найдутся такие константы а„> О, Ь„и такие неза- висимые случайные величины ~н ..., С„, распределенные как Т, что (4) а„Т+Ь =Е6+" +й„, Iх — Ьл х илн, что то же самое, р~ ) =р*...*р(х), или ил („,(1))ч ( ( 1))егьм Теорема 3. Случайная величина Т может быть пределом по рас- 3,— Ь, пределению случайных величин, а„> О, тогда и только тогда, ач когда Т является устойчивой. еб, БезГРАничнО лелимые и устойчивые РАспределения 44з доказательство. Если Т устойчива, то, согласно (4), з 5,— Ь, Т= —, ал 5(в=а+ "+~.

(н а, 5л =с(4-1(пч-1+".+6л, (м 5(1 — Ь Т. 5. -Ьл Ясно, что по распределению все величины Т( ~, ..., ТР совпадают и (1) ТЮа Т, и, 1=1,...,й. Обозначим ~й Тй +'"+Тй Тогда так же, как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что У(~1 ~ Т('1 + ... + Т(~1, где Т(', 1<1<lг, независимы и Т('1 =...= Т(М = Т. С другой стороны, (у(41=б+" +Е -""— л ал аеп ГЕ(+ ал + Сап Ььп 1 + ~ел аьп (М у + (у(41 д алл / ап где 41 аь у(М Ььл — ЬЬ л а л 6+" +Е»л-Ьап а ел 5п — Ьл где 5,=с(+" +с„и, следовательно, - Т, ал Обратно, пусть с1, ~з, ... — последовательность независимых одина5п-Ьп а КОВО раСПрЕдЕЛЕННЫХ СЛуЧайНЫХ ВЕЛИЧИН, 5Л ппС( +... + Ел И Т, а, а„> О.

Покажем, что Т является устойчивой случайной величиной. Если Т вЂ” вырожденная случайная величина, то она, очевидно, устойчи- ва. Будем поэтому предполагать, что Т является невырожден ной случайной величиной. Зафиксируем й > ! и обозначим 444 гл. ш. сходимость вероятностных мн Из (6) ясно, что и<"> - >ум> (' Ьл — >М ал где К,„А Т, (4~>-л~ТН>+...+ Ты>, л- со. Из приводимой ниже леммы следует, что найдугся такие константы ам> ) 0 и >Ум>, что а~~> -+ ам>, >У~~> —,д«ь>, л — оо, и л Т>»+...+Та> — >У«~> Т= ам> что и доказывает устойчивость случайной величины Т.

П л Лемма. Пусть с„- с и существуют такие константы а„)0 и Ьл, что Н а„с,+Ь„-+с, причем случайные величины с и с не вырождены. Тогда найдутся такие константы а ) 0 и Ь, что!пп ал =а,!пп Ьл =Ь и С =аС+Ь. емь,«Рл(алУ) +«Р(У) 'рл(«) л 9Ф) (7) (8) равномерно на каждом конечном интервале изменения 1. Пусть (и«) — подпоследовательность (и) такая, что ал,. — а. Покажем прежде всею, что а < оо. Предположим, что а = ос. В силу (7) для любого с>0 зцр(>р„(а„г)( — 1«р(1)(~ — О, п - со. >«><« Возьмем вместо Г величину 1„, = —.

Тогда поскольку ал, -+ со, то го ал, ~р.(а о)~ — ~р( о)~ 0 и, значит, /Ч.,(го)! (ут(0)(=1. Доказательство. Пусть рл, «р и «р — характеристические функции с„, с и с соответственно. тогда ч>,„4„+ь„(1), характеристическая функция а„С„+ Ьл, равна еиь" «р„(а„г), и, согласно следствию к теореме 1 и задаче 3 из $3, 46. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ И УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 445 Но !рл(го)!-"!Ф(о)! Потому )~о(Го)!оо) для любого 1ое)7, и, следовательно, согласно теореме 5 из $12 гл.

П, случайная величина должна быть вырождена, что противоречит предположению леммы. Итак, а < со. Предположим теперь, что существуют две подпоследовательности (и;) и (п1) такие, что а„, — а, а„а', где а эо а' и для определенности 0 < а' < а. Тогда из (7) и (8) !р„,.(а„,Г)(- !р(аг)(, !р„,.(а„,())- )~р(1)! ! р„)(а„(г)! !оо(а'г)!, )р„.((а„(1)! )4о(1)!. Следовательно, )р(ат)! = )р(а'1)), и, значит, для любого 1 Е )г !р(Г))=!р(' — г)~=...=~р(('— ) г)~ 1, а о. Поэтому !~р(1)! не! и, согласно теореме 5 из $12 гл. 11, отсюда вытекает, что с — вырожденная случайная величина.

Полученное противоречие показывает, что а =а' и, значит, существует конечный предел 1пп а„=а, причем а > О. Покажем теперь, что существует предел!пп Ь„=Ь и а > О. Поскольку (8) выполнено равномерно на каждом конечном интервале, то р„(а„г) — у(а1), и, значит, в силу (7) существует !пп епо" для всех тех 1, для которых л оо Р(аг) т40.

Пусть б>0 таково, что для всех !1! <б 1о(аг) ~0. Тогда для таких Г существует!пп ево". Отсюда можно вывести (задача 9), что тогда 1пп !Ь„! < Пусть существуют две подпоследовательности (и;) и (и,') такие, что )пп Ь„, = Ь и 1пп Ь„; = Ь'. Тогда для !1! < б пь пь' н, следовательно, Ь = Ь'. Итак, существует конечный предел Ь = йгп Ь„и, согласно (7), 1Ь(1) епо р(а() что означает, что С=аС+Ь.

Поскольку С невырождена, то а>0. П 4. Приведем теперь (без доказательства) теорему об общем виде хаРактеристической функции успгойчивых распределений. ГЛ. Ш. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Теорема 4 (представление Леви-Хиичииа). Случайная величина Т является устойчивой тогда и только тогда, когда ее каракте- ристическая функиия ~р(!) имеет вид 1е(!) = ехр ф(!) с ф(!) = Г(~3 — а'[! [ (1+ (й — С(С а)), [г! где 0<а<2, Де(7, а >О, [0[<1, — =0 при(=Он [1! !8 — а, если а тг 1, 0(1, а) = — !п [([, если а= !. л Отметим, что особо просто устроены характеристические функции с метричнык устойчивых распределений: ~р(г) =е (10) им(11) где 0<а<2, й >О.

5. Задачи. л г л !. Показать, что если ~„ — С и С„ - и, то С = и, 2. Показать, что если р| и рз — две безгранично делимые характеристические функции,то р~-ч>г †так безгранично делимая характеристическая функция. 3. Пусть р„ — безгранично делимые характеристические функции и р„(!)- 1е(1) для каждого ! б й, где р(!) — некоторая характеристическая функция. Показать, что ~р(!) безгранично делима. 4.

Показать, что характеристическая функция безгранично делимого распределения не обрашается в нуль. 5. Привести пример случайной величины, являюшейся безгранично делимой, но не устойчивой. б. Показать, что для устойчивой случайной величины с математическое ожидание Е ф' < оо для всех г Е (О, а), 0 < а < 2. 7. Показать, что если 4 — устойчивая случайная величина с параметром 0<а <1, то р(!) не дифференцируема при ! =О. 8. Дать прямое доказательство того, что функция е гр! с д>0, 0 < а < 2 является характеристической.

9. Пусть (б„)„>~ — числовая последовательность такая, что для всех [![<б, б>0, сушествует 1пп еи~". Показать, что тогда !нп [б„] <со. л 10. Показать, что биномиальное и равномерное распределения не являются безгранично делимыми. 11. Пусть функция распределения Р и ее характеристическая функция р допускают представления Р=Рм1*...*РН1 (и раз), !с= [р<"1]" 47, «метризунмость» славой сходимости 447 с некоторыми функциями распределения Рм) и их характеристическими функциями (р("), я > 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее