А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 70

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 70 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 70 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 70 - страница

4!4 ГЛ. 1П. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Сущность этого метода состоит в следующем. 2. Мы уже знаем ($12 гл. П), что между функциями распределения и характеристическими функциями существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому изучение свойств функций распределения можно проводить, изучая соответствующие характеристические функции. Замечательным оказывается то обстоятельство, что слабая сходимость Е„- Е функций распределения эквивалентна поточечной сходимости 1с„р соответствующих характеристических функций.

Более того, имеет место следующий результат, являющийся основным средством доказательства теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой. Теорема 1 (теорема непрерывности). Пусть (Е„) — последовательность функций распределения Е„=Е„(х), хЕД, и (1с„) — соответствующая последовательность характеристических функций, р„(1) = ) еих с(Е„(х), 1) Если Е„- Е, где Е=Е(х) — некоторая функция распределения, то 1о„(1)-+ р(1), !ЕЙ, где р(г) — характеристическая функция Е = Е(х).

2) Если при каждом (Е)! существует предел йт р„(!) и функция у(1) =!пп р(1) непрерывна в точке 1 = 0, то она является харак- и теристической функцией некоторого распределения вероятностей Е=Е(х) и Доказательство утверждения 1) сразу следует из определения слабой сходимости, примененного к функциям Ке егы и!т е"". Доказательству утверждения 2) предпошлем несколько вспомогательных предложений. Лемма !. Пусть (Р„) — плотное семейство вероятностных мер. Предположим, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность (Р„) последовательности (Р ) сходится к одной и той же вероятностной мере Р.

Тогда и вся последовательность (Р„) слабо сходится к Р. Доказательство. Допустим, что Р„т' Р. Тогда найдется такая ограниченная непрерывная функция Т = Т(х), что ~ ~(х)Р„(дх) ~ ~ ~(х)Р(йх). уз, ынтод хдрлктеристичнских функций Отсюда следует, что существуют е>0 и бесконечная последовательность чисел (п')С (н) такие, что )(х) Ры(йх) ~ ~(х) Р(йх) > е > О, (3) По теореме Прохорова ($2) нз последовательности (Р„) можно выбрать подпоследовательность (Р„.

) такую, что Р„ — О, где 0 — некоторая ве- роятностная мера. По предположению леммы 0 = Р, н, значит, ~ )(х) Р„(йх) — ~ Дх) Р(йх), е я ~р,(!) = ~ егм Р„(йх). е Доказательство. Если семейство (Р„) плотно, то по теореме Прохорова найдугся подпоследовательность (Р„ ) н вероятностная мера Р такие, что Р„. -+ Р. Предположим, что вся последовательность (Р„) не сходится к Р (Р„;4 Р). Тогда в силу леммы ! найдутся подпоследовательность (Р„ ) н вероятностная мера 0 такие, что Р„» — О, причем Р ~ О.

Воспользуемся теперь тем, что прн каждом ! б )г существует (нп !с„(!). Тогда )пп ~ екк Р„ (йх) = йп ) еик Р„«(йх) я я и, значит, ~ еик Р(йх)=~ еи'0(йх), ! е)(. Но характеристическая функция однозначно определяет распределение (теорема 2 $ (2 гл. )!). Поэтому Р = О, что противоречит предположению Р„~4 Р, Что же касается обратного утверждения леммы, то оно непосредственно следует нз определения слабой сходнмости.

П что находится в противоречии с (3), П Лемма 2. Пусть (Р„) — плотное семейство вероятностных мер на ()х, йй(к)). Последовательность (Р„) слабо сходится к некоторой вероятностной мере тогда и только тогда, когда для каждого ! е)! существует!пп р„(!), где !ь„(!) — характеристическая функция меры Р„: ГЛ.

1П. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Следующая лемма дает оценку «хвостов» функции распределения по поведению ее характеристической функции в окрестности нуля. Лемма 3. Пусть Е=Е(х) — функция распределения на числовой прямой и р=рЯ вЂ” ее характеристическая функция. Тогда существует такая константа К > О, что для всякого а > О дЕ(х) < — ~ [1 — Ке р(1)] й1. К 1«1 > 1/а о (4) Доказательство. Поскольку Ке !а(1) = ) соз |хйЕ(х), то, применяя теорему Фубини, находим, что > !п1 (1 1е!>1 где — = 1п! (1 — — ] = 1 — ейп 1 > —, 51п УХ К !е!>1~ у У 7' так что (4) заведомо справедливо с константой К = 7. П Доказательство утверждения 2 теоремы 1.

Пусть р„Я вЂ” Ч1Я, и- оо, где функция 1р(1) непрерывна в нуле. Покажем, что отсюда следует плотность семейства вероятностных мер (Р„), где Р„ — мера, соответствующая функции распределения Е„. В силу (4) и теоремы о мажорируемой сходимости Р.(К~(--',-'))= ~ дЕ„(х)< 1«!>— < — ) [1 — Ке р„(!)] Ж -+ — ') [1 — Ке 1е(1)] Ю К К о при п- оо. Поскольку по предположению функция 1а(1) непрерывна в нуле и 1р(О) = = 1, то для всякого е > О можно найти такое а > О, что для Р„[К'! ( — —, Ч) <е для всех и>1. а а! оо о О -оо оо ! а — — )(1 — со5 1х) аг о — соз 1х) ИЕ(х) Ж = ИЕ(х)= $ (1 — — ) дЕ(х) > — — — ""У) 1 дЕ(х)=! 1 йЕ(.), у К 1ак1>1 1а1>1/а 4 3.

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНК21ИЙ 4!7 Следовательно, семейство (Р„) плотно, и в силу леммы 2 существует вероятностная мера Р такая, что Р,— +Р. Отсюда р,(Г)= ~ еихР„(дх)- ~ еи'Р(дх), н в то же самое время р„(1)- р(г). Поэтому р(Г) является характеристической функцией вероятностной меры Р. С) Следствие. Пусть (Р„) — последовательность функций распредемним и Ьр„) — соответствующая последовательность характеристических функций. Пусть, кроме того, Р— функция распределения, р — ее характеристическая функция.

Тогда Р„- г, если и только если р„(1) — рЯ для всех ге)!. Замечание. Пусть ц, цп 7)2, ... — случайные величины н Р„„— Рч. В соответствии с определением 4 $10 гл. !! тогда говорят, что случайные величины ць 772, ... сходятся по распределению к ц, н записывают это в виде ц„- ц. Эта запись наглядна (д — от гДзГгйуибоп) н поэтому часто в формулировках предельных теорем ее предпочитают записи р„„- рч. 3.

В следующем параграфе теорема 1 будет применена для доказательства центральной предельной теоремы для независимых разнораспределенных случайных величин. Доказательство будет вестись прн выполнении так называемого условия Линдеберга. Затем будет показано, что условие Ляпунова обеспечивает выполнение условия Линдеберга. Сейчас же мы остановимся на применении метода характеристических функций к доказательству некоторых простых предельных теорем. Теорема 2 (закон больших чисел).

Пусть 5, Сэ, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Еф! <оо, 5„=С1+...+(„и Е(~ =т. Тогда — — т, т. е. для 5, Р и всякого е > О РД вЂ”" — т~ >е1 — О, п — +оо. Доказательство. Пусть ср(1) =Ееиг' н рз (Г)=Ееи ь . Тогда в силу независимости случайных величин н формулы (6) $ !2 гл.! ~.

(1) = [~(-„')1" Но, согласно (14) $12 гл. !1, рЯ=1+11т+оЯ, 1-+О. '/, 14 — 9727 ыа ГЛ. НЕ СХОЛИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Значит, для всякого фиксированного г Е Й 1ь( — ) =1+! — т+о( — ), и- оо, 1 и поэтому 1вз (1) = ~! +1 — т+ о (-)] — еи . и Функция у(1) =еи непрерывна в нуле и является характеристической функцией вырожденного распределения вероятностей, сосредоточенного в точке т.

Поэтому Бь л и значит (см. задачу 7 в $10 гл. 11), ьь Р— — + т. П и Теорема 3 (центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин). Пусть (ь С2, ...— последовательность независимых одинаково распределенных (невырожденнык) случайных величин с Е(2~(оо и 5„=(~+...+$,. Тогда при и-+оо Р( — <х~ -+Ф(х), хЕ)7, к Ф(к)= — ~ е 'гть(и. ~/2~г Доказательство. Пусть Е~6 = т, 0~6 =аз н ф1) = Ееинл Тогда, если обозначить из -Е5 ~р„(1) =Ее ~55., то получим, что Но в силу (14) $12 гл.

П 222 р(1)=1 — — +о(12), 1- О. 2 й 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНК»ТИЙ 4»9 Поэтому для любого фиксированного 1 и л — оо оз»з 1 л »Рч(1)= ~1 — — +о(-)] - е '~з. Функция е ' »з является характеристической функцией нормально распределенной случайной величины (обозначим ее . г (О, 1)) с нулевым средним и единичной дксперсией, что в силу теоремы 1 н доказывает требуемое утверждение (5). В соответствии с замечанием к теореме 1 зто утверждение записывают также в следующем виде: " -+.4 (О, 1).

~ч П Предыдушие две теоремы относились к асимптотическому поведению вероятностей (нормированных и центрированных) сумм 5„=С»+... +Е„ независимых одинаково распределенных случайных величин. Однако, чтобы сформулировать теорему Пуассона ($6 гл. 1), приходится привлекать к рассмотрению более обшую модель, называемую схемой серий случайных величин. Именно, будем предполагать, что для каждого л > 1 задана последовательность независимых случайных величин с„», ..., с„„. Иначе говоря, пусть задана треугольная таблица с»» 6» 69 Ь» 4зз Ьз случайных величин, которые в каждой строчке независимы между собой, Положим 5,=(;»+" +(' Теорема 4 (теорема Пуассона). Лусть при каждом н >! независимые одинаково распределенные случайные величины с„», ..., ( таковы, что Р(~„» = Ц = р ь, РК„» = О) = »Т„», 1 < й < н, р»»+д„»=1, »пах рч» — О, р„»+...+р„„- Л>0, и-+со.

»<»<ч Тогда е»Л Р(5ч=т)- —, т=О, 1, Доказательство. Поскольку для 1 < й < н Ее»»с" = р,»еи+4 ю ГЛ. Ш, СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР то Чз„(1) =Еанз" =П ()Ьмап+Ь|,)=П (1+Ь|(ап — 1))- — ехр(Л(еп — 1)), а -+ со. Функция у(1)=ехр(Л(еп — 1)) является характеристической функцией пуассоновского распределения (пример 3 и п. 2 $12 гл.

П), что и доказывает (7). Если через я(Л) обозначить пуассоновскую случайную величину с параметром Л, то по аналогии с (6) утверждение (7) можно записать также в следующем виде: 5„А к(Л). 4. Задачи. 1. Доказать справедливость утверждений теоремы 1 для случая пространств )7", а > 2. 2. Пусть 5, Ез, ... — последовательность независимых случайных величин с конечными средними значениями Е)(„( и дисперсиями 0Е„такими, что 0с„<К <со, где К вЂ” некоторая константа. Используя неравенство Чебышева, доказать справедливость закона больших чисел (1). 3. В следствии к теореме 1 установить, что семейство (у„) равносгпепенно непрерывно и сходимость у„- у равномерна на каждом ограниченном интервале. 4.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее