А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 66

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 66 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 66 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 66 - страница

Приведенный в п. 4 $9 пример процесса восстановления (конструктивно заданного по последовательности независимых одинаково распределенных величин он оэ, ...) наводит на мысль о возможности построить аналогичным образом некоторую версию броуновского движения. Такие конструкции, основанные на привлечении последовательности 5н Сз, ... независимых одинаково распределенных стандартных гауссовских случайных величин С; .Лг(О, 1), действительно существуют. Образуем, например, величины В~ — — — ~ ~" з)п((п+ 1/2)я(), 1 Е [О, 1]. (26) ~/2 к и+1/2 «=1 являются независимыми. В самом деле, в силу гауссовости достаточно проверить лишь попарную некоррелированность приращений.

Но если с <1<и<о, то О !3. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ 39! Нз приводимой далее теоремы о «двух рядах» (теорема 2 $3 гл. 1У) вытекает, что ряд, определяющий В!, сходив!си (Р-п. н.) при каждом Г Е [О, 1]. Более детальное рассмотрение показывает, что этот ряд сходится (Р-п. н.) равномерно, и тем самым процесс В =(В!)ок!к! имеет (Р-п. н.) непрерывные траектории. Нормальность конечномерных распределений этого процесса следует из теоремы 1 Ь) и утверждения в п. 5 о сохранении гауссовости распределения предела по вероятности гауссовских случайных величин. Нетрудно убедиться также в том, что коварнационная функция г(з, Г) =ЕВ,В! =ппп(з, 1). Таким образом, построенный в (26) процесс В =(В!)9<!<! удовлетворяет всем требованиям в определении процесса броуновского движения, но, более того, этот процесс имеет (Р-п.

н.) непрерывные траектории. Как правило, свойство непрерывности траекторий (которое является желательным и оправданным физическими применениями) включают в само определение броуновского движения. Как видим, такой процесс действительно существует. Укажем еще на один известный способ построения броуновского движения, основанный на введенных в п.

5 $11 функциях Хаара Н«(х), х е [О, 1[, п = 1, 2, ... Построим по ним функции Шаудера 5„(1), Г е [О, 1], и = 1, 2, ...: 5„(1) = ~ Н„(х) дх. о (27) Тогда если со, с!, со, ... — последовательность независимых одинаково распределенных стандартных, Б Ф'(О, 1), случайных величин, то ряд (28) г(з, Г)=щ!п(з, 1) — 31, (29) называется условным винеровским процессом или броуновским мосгпом (заметим, что поскольку г(1, 1) = О, то Р(Во = 0) = 1).

Пример 3. Процесс Х = (Х!), 1 Е й с й = ( — со, оо) и г(з, 1) =е !' '! (30) называют гауссовско-марковским. сходится равномерно по Г е [О, 1] с вероятностью единица. Процесс В = =(В!)о<!<! является броуновским движением. Пример 2. Процесс В = (Во), г Е й с й = [О, 1], Во эз 0 и 392 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 8. Приведем одно интересное свойство броуновского движения, доказательство которого будет служить хорошей иллюстрацией применения леммы Бореля — Кантелли из $10 (точнее — следствия 1 к ней).

Теорема 3. Пусть В =(В()(>ь — стандартное броуновское движение. Тогда с вероятностью едина((а для всякого Т > 0 2'Г „!!ш Е (Вез " В(А — !2- ! Т 2 ь=( (31) Доказательство. Без ограничения общности можно считать Т = 1. Пусть А« „. ~~» (В В )2 ь=( ПосколькУ величины Вьэ-. — В(ь (!2-. ЯвлЯютсЯ гаУссовскими с нУлевыми средними и дисперсией, равной 2 ", то 0(~ (Вез-. — В(ь (,2-.)2 =2 "+', ' ь=( значит, по неравенству Чебышева Р(А„') < г 22 "+', и тем самым Р(А„') <е 2 ~ ~2 "+'=2е 2<со. (32) л=( и=( Требуемое утверждение (31) следует из этой оценки и следствия 1 к лемме Бореля — Кантелли ($10).

П 9. Задачи. 1. Пусть С(, Сз, Сз — независимые гауссовские случайные величины, с( .У(0, 1). Показать, что ААвА =А, Ав =УА'=А'У. 4(+Ыз У(0 П (В этой связи возникает интересная для исследования задача описания всех нелинейных преобразований от независимых гауссовских величин с(, ..., С„, распределение которых также является гауссовским.) 2. Доказать, что «матрицы» !к= (г(з, 1))к(ея, задаваемые функциями г(з, 1) из (25), (29) и (30), являются неотрицательно-определенными. 3. Пусть А — некоторая матрица порядка т х л.

Назовем матрицу А(э порядка л х т псевдообратной к матрице А, если найдутся такие матрицы 0 и У, что $! 3. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ ЗЯЗ Показать, что матрица Аз, определяемая этими условиями, существует и единственна. 4. Показать, что формулы (19) и (20) в теореме о нормальной корреляции остаются справедливыми и в случае вырождения матрицы 011, если в этих формулах вместо 0 ' рассматривать псевдообратную матрицу 0$. 5. Пусть (д, С) = (дн ..., д», Сь ..., ~~) — гауссовский вектор с невырожденной матрицей с» эз 0»е — 0$0»1.

Показать, что у функции распределения Р(у<а]с)=Р(д~ <аы ..., д» <а»]О существует (Р-п. н ) плотность р(аь ..., а»]4), определяемая формулой ],«]-!/з р(ан ..., а»]О= — » т ехр( — -(а — Е(д]о)'гз '(а — Е(д]О)). 6. (С. Н. Бернштейн.) Пусть с и ь) — независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если ('+г! и С вЂ” ь) независимы, то С и и являются гауссовскими величинами. ?.

Теорема Мерсера. Пусты =г(з, 1) — непрерывная ковариационная функция на [а, Ь] х [а, Ь], где — со<а<Ь <со. Доказать, что уравнение ь Л $ г(з,1)и(1)г(1=и(з), а<а <Ь, « допускает бесконечное число значений Л» > 0 и соответствующую систему непрерывных решений (иы й > Ц, образующих полную ортонормированную систему в 1.з(а, Ь) такую, что и»(з)и»(0 л, »»и где ряд сходится абсолютно н равномерно на [а, Ь] х [а, Ь]. 8. Пусть Х=(ХО 1>0] — гауссовский процесс с ЕХ~ =0 и ковариационной функцией г(з, 1)=е !' '1, з, 1>0. Пусть 0<1! «...1„и 1п ц(хь ..., х,) — плотность величин Хп, ..., Хц. Доказать, что « 1 — 1/з * =( и(-"-- )] !«а х! 1 (х; — е1'-' Пх; 1) "ехР«( 2 2 Е ! з<Ь,-Ы г=а 9. Пусть 1 =(1„, и > 1) с (з(0, 1) — полная ортонормированная система и (с«) — независимые одинаково распределенные Ф'(О, 1)-величины.

По! казать, что процесс В~ = 2 ', ~„~ 1„(и) с(и есть броуновское движение. «в! о 394 ГЛ. П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 10. Доказать, что в случае гауссовских систем К, ))(, ..., ))„) Условные математические ожидания ЕК ! и(, ..., пи) совпадаютс математическими ожиданиями в широком смысле ЕК!))(, ..., ))„). 1!. Пусть К, ))(, ..., т)») — гауссовская система. Выяснить структуру условных математических ожиданий ЕК" (г)(, ..., ))»), п >! (как функций от))(, ..., и»).

12. Пусть Х =(Х»)(<»<„и У = (У»)(<»<„— две гауссовские случайные последовательности с ЕХ»=ЕУМ 0Х»=ОУМ 1 <й<п, н соч(ХМ Х ) < сок(УМ У(), ! < й, 1 < и. Доказать справедливость неравенства Слепяна: для всякого х Е )( Р( ацр Х» <х) < Р( зцр У» <х).

(<»<и (<»<и 13. Доказать, что если В' = (В;)е<)<(, то процесс В = (В()(>е с В( = = (1+1)В;~((+( является броуновским движением. 14. Проверйть, что для броуновского движения В = (В,)(>е следующие процессы также являются броуновскими движениями: в, = — в,; и) В, =!В(у(, 1>О, н Ве — — 0; (2) (2) В,з =Ви+, — В„з >О; (з) В("=Вг — Вг, для 0<(<Т, Т>0; В, =-В,и), а>0(свойство автомодельности). (5) а 15. Пусть Х =(Х»)(<»<„— гауссовская последовательность с тлл шах ЕХ», азии шах 0ХМ (<»<л (<»<л Р! шах (Х» — ЕХ») >а) <1/2 для некоторого а.

((<»<л Тогда имеет место следующее неравенство Борелл: Р( шах Х»>х) <2Ф( ), где Ф(х)=(2я) ()2 ') е » Уз((у. 16. Пусть (Х, У) — двумерная гауссовская случайная величина с ЕХ = = Е У = О, ЕХ2 > О, Е У2 > 0 и коэффициентом корреляции р = ЕХУ ~/ЕХХ2Е У~ $13. ГАУССОВСКИЕ СИСТЕМЫ 395 Показать, что Р(ХУ < 0) = 1-2Р(Х > О, У >О) =я ' агссоз р. Р(В,", Е ~ В,",) Р(В," Е (В,", В,") для 1~ < 19 и (~ > (з н для 19 < 6 ~ < 19. 17. Пусть Х=ХУ, гдеХ +'(О, Ц и Р(У = Ц=Р(У= — Ц=-.

Найти 1 2' распределение пар (Х, Х) и (У, Х) и распределение Х+ 2. Показать, что 2- Ф'(О, Ц и что Х и Х некоррелированы, но зависимы. 18, Провести подробное доказательство того, что процессы (Вг)р«,ы определяемые в (26), (28), являются броуновскими движениями, 19. Пусть В" = (Вг + ц()г>9 — броуновское движение со сносом. (а) Найти распределение величин В," + В",, 1~ < (з.

(Ь) Найти ЕВ",,В," и ЕВ" В,"В,", для 19 <1~ < (з. 20. Для процесса В" из предыдущей задачи найти условные распреде- ления Глава Н! БЛИЗОСТЬ И СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА $1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений ...... 397 $ 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений 407 93. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем . 413 $4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 1.

Условие Линдеберга ..................... 421 $5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. 11. Неклассические условия................. 433 438 $6. Безгранично делимые и устойчивые распределения ... 447 $ 7. «Метризуемость» слабой сходимости $8. О связи слабой сходнмости мер со сходимостью случайных элементов почти наверное («метод одного вероятностного пространства»)...... 452 $9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани — Хеллингера и интегралы Хеллингера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер ... 460 $ 10.

Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая разделимость вероятностных мер 470 $11. О скорости сходимости в центральной предельной теореме.... 475 479 $12. О скорости сходимости в теореме Пуассона $ !3. Фундаментальные теоремы математической статистики ....... 481 При формальном настроении курса теории вероятностей аредельные теореми яоявляются в виде своего рода надстройки над элементарными главами теории вероятностей, в которыя все задачи имеют конечный, чисто арифметический,характер.

В действительности, однако, ноэнавательная ценность теории вероятностей раскрывается только аредельными теоремами. Более тогт без аредельныл теорем не моэсет быть понято реальное содержание самого исходного нанятая всей нашей науки — яонятия вероятности. Б. В. Гнехенно, А. Н. Колмогоров. «Предельные рэспрехеяення эля сумм неээенснмых случайных величин» 1'161 В 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее