А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 62

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 62 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 62 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 62 - страница

Этот пример показывает, что для совпадения функций распределения недостаточно, вообще говоря, совпадения их характеристических функций на конечном интервале. — ! -а О а ! Рнс. 34. Теорема (ййарциикевича). Если характеристическая функция у(Г) имеет вид ехр йэ(Г), где,У(1) — полинам, то степень этого полинома не может быть больше двух [135, 7.3]. Из этой теоремы вытекаег, например, что функция ехр( — г!) не является характеристической функцией. 7. Следующая теорема является примером результата, показывающего, как по свойствам характеристической функции случайной величины могут быть сделаны нетривиальные заключения о структуре этой величины.

Теорема 5. Пусть рс(1) — характеристическая функция случайной величины Е. а) Если ]рс((О)] =! для некоторого ГО ~0, то случайная величина 2л С является решетчатой с шагом Ь = —, т. е. !101' Р(б=а+пй)=1, (33) где а — некоторая константа. й иь хд лктнристичнскин функции Ь) Если [уе(1)] = [чге(а1)] = 1 для двух различных точек ! и а1, где а арра!(иональное число, то случайная величина Е является вырогкден ной: Р(6=а) =1 где а — некоторая ко с) Если ]!ое(1)] ю 1, то случайная величина Е вырождена.

доказательство. а) Если ] ре(го)] = 1, 1о ~ О, то найдется число а такое, что для этого 1о 'р(го) = е'"'. Тогда е!гоь ~ еггог с(г(х) ь 1 $ егто(г-а! г(Р(х) 1 = $ соз 1о(х — а) г(Г(х) ~ ') [1 — соз 1о(х — а)] дЕ(х) = О. Поскольку 1-соз го(х — а) >О, то из свойства Н (п. 2 $6) следует, что (Р-и. н.) !=соя Го(4 — а), что эквивалентно соотношению (33).

Ь) Из предположения ]ьге(1)] =] ре(Ы)[ = 1 и (33) следует, что Р((=а+ — л) = ~ Р(Е=Ь+ — т) =1. гг=-ао гь=-ОО Если Е не является вырожденной, то тогда в множествах (а+ — л, л=О, ~1, ...) и (Ь+ — т, т=О, Ы, ...) найдутся по крайней мере две совпадаюшие точки: 2гг 2к 2гг 2гг а+ — л! =Ь+ — т!, а+ — ло— - Ь+ — тз, Г оГ ' 1 о! откуда 2гг 2к — (л! л2) = (т! тз) о! что противоречит предположению об иррациональности числа а.

утверждение с) следует из Ъ). С! 8. Пусть ь' = (с!, ., Сь) — случайный вектор, чгс(1) =Ее!!гд1, 1=(1н ", 1ь) — его характеристическая функция. Будем предполагать, что для некотоРого л > 1 Е]йг]" < оо, ! = 1, ..., й. Из неравенства Гельдера (29) $6 и неравенства Ляпунова (27) $6 следует, что сушествуют (смешанные) моменты (с!' ...6ью) для всех неотрицательных и!, ..., иь таких, что гг!+...+ил <а. 368 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Как и в теореме 1, нз этого выводится существование и непрерывность частных производных !м+...+ш д1И д ш !с4( ! ° ° ° ») для и!+...+и» <и.

Тогда, разлагая !рс(1!, ..., 1») в ряд Тейлора, найдем, что !м+...+г ~ ре(1!, ..., 1») = ~~~,, т! '"-'Ин!,"' ...1 '+ о(!1!"), и!!... иь! м+...+ш<« где !1! = 11! ! + ... + )1» ! н (34) ! 1 (м,- »»! Е«м «ш — (смешанный) момент порядка и=(ип ..., иь). Функция ре(1н ..., 1») непрерывна, ре(0, ..., О) = 1, и поэтому в некоторой окрестности нуля (11! < 6) она не обращается в нуль. В этой окрестности существуют н являются непрерывными частные производные дм+...+ш , !и ре(1!, " ., 1»), где под !п а понимается главное значение логарифма (еслн а=ге!е, -я < у <я, то !п а полагается равным !и г+ !у). Поэтому 1п !се(1!, ..., 1») может быть представлен по формуле Тейлора ;м+...+ш !и ре(1н ..., 1,)= ~ ~' ' '""-"!1" ...1," +о(!1!"), (35) и~+...+ш<» где коэффициенты з! '""'"'! называют (смешанными) семнинвариант нлн кумулянтами йорядка и = (ин ..., и») вектора с = (с!, ..., 4»).

Заметим, что если 4 н г) — два независимык вектора, то ами (36) 1п Ре+»Я=!п рс(1)+!и рчЯ, н поэтому и! = и! 1... и»1, )и! = и~ +... + ию Пусть также з! ! = з'"""'"'1, т!"! = т'"'""'"'!. ! !И,...»э) !И,...»э! + (И,...,г ~! (37) 4+ч 4 $ (Именно это свойство н оправдывает название «семнннварнант»,) Чтобы упростить запись н придать формулам (34), (35) «одномерный» внд, введем следующие обозначения. Если и= (и!, ..., ия) — вектор с неотрицательными целочисленными компонентами, то положим 369 й <г. хд лкткристичпскип Фу<<кции Тогда представления (34), (35) примут следующий вид: <н! <ье(1) = ~ —,т~'!'"+ о($$$"), (38) <а'$4ч <з ! $п Фе(1) Е зеы$$ + о($$! ). (39) <и<ил и! ~Ь <х!н! е! л<<$!... л<м! х х е р=! П '"'"' Ч Л<<$<...Л«<И Е р=! т<"! = (40) м!ь<-...+л!!!=и (41) л!ч+...+хм=„ где ~', означает суммирование ао всем упорядоченным нами!+...+хм= борам целых неотрицательных векторов Л<л$, (Л<е$(>0, дающих в сумме вектор и.

Доказательство. Поскольку <ре(1) = ехр(<п !ре(1)), то, разлагая ехр по формуле Тейлора и учитывая (39), получим л <<л! <се($)=1+~~ —, ~ —,з< $!~ +о($1!"). (42) ч=! <Фл<кл Сравнивая члены при <х в правых частях (38) и (42) и учитывая, что $Л<<$$+... + <Л<ч$! = $Л<0+...

+ Л<"$$, получаем формулу (40). х<алее, <<л! $п <ас(1)=)п 1+ Х ~— '„, т'"$$" +оЩ") . <к<х<кч (43) При малых г справедливо разложение и ( 1)Р-! <п(1+ г) = ~ ~ге + о(г"). д=! Ч Следующая теорема и ее следствия дают формулы связи моментов и семиинвариантов, Теорема 6. Пусть С=(с<, ..., Сь) — случайный вектор с Е<С<~" <со, !' = 1, ..., й, и > 1. Тогда для всех и =(и<, ..., ! ь) с $и! < и 370 ГЛ. и. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применяя это разложение к (43) и сравнивая затем коэффициенты при /л с соответствующими коэффициентами в правой части (38), получим формулу (41).

П Следствие 1. Справедливы следующие формулы, связывающие моменты и семиинварианты: к /=! ( 1)Р- (д 1)! Р-! и( Р ГГ Г (Ль'>1' >и Р„йо П/, >=! т("> = (пл!ч+...Р.ол! !=и) «) (г~Л!'>+...+ОЛы=и) (45) где ~" означает суммирование по всем неупорядочен(г!Лн!+...+г Ль!=г ) ным наборам различных целых неотрицательных векторов Л(П, (Л(/)(>О, и по всем упорядоченным наборам целых положительных чисел г; таким, что г)Л('>+... + г„Л('> = и. Для доказательства (44) предположим, что среди векторов Л('), ..., Л«>, участвующих в формуле (40), г! векторов равны Л(">, ..., г„векторов равны Л(!"> (г/)О, г>+...+г, =!/), причем все векторы Л(ь> различны. !7( Существует ровно — ' различных наборов векторов, совпадающих г!)...гР( с точностью до порядка с набором (Л('>, ..., Л«)).

Но если два набора, скажем, (Л('>, ..., Л(Р>) и (Л('>, ..., Л«>), отличаются лишь порядком, то Льч) (1ы) П з = П з . Поэтому, отождествляя наборы, совпадающие с р=! р=! точностью до порядка, из (40) получаем (44). Аналогичным образом из (41) выводится формула (45). Следствие 2. Рассмотрим частный случай, когда и=(1, ..., 1). В этом случае моменты т " аз Ес! ... сь и соответствующие семиинварианты будем (и) называть простыми. Формулы связи простых моментов и семиинвариантов получаются из приведенных формул. Однако их удобнее записать по-другому. Для этого введем следующие обозначения. Пусть /с =(1, 2, ..., й) — множество индексов компонент вектора с = = (с), ..., сь).

если / с /р, то через с! будем обозначать вектор, состоящий из тех компонент вектора Е, индексы которых принадлежат /. Пусть х(/)— вектор (Л(, ..., Л„), у которого Лп = 1, если / Е /, и х! = О, если ! й /. Эти векторы находятся во взаимно однозначном соответствии с множествами 4 >2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 37> 1 с 1Ф Поэтому обозначим (1) т<х</» з (1) з <х</н е Иначе говоря, тр(1) и зе(1) являются простыми моментами и семиинвариантами подвектора С/ вектора Е. Далее, в соответствии с определением, данным на с. 29, назовем разбиением множества 1 неупорядоченный набор непересекающихся непустых множеств /р такой, что 2 1р — — 1.

С учетом этих обозначений имеют место формулы Р тг(1)= ~, П зе(1Р) ~; /г — -/ р ! зе(1)= ~ ( — !)' '(</ — !)! Ц те(1р), (46) (47) р=> (46) вытекает из (44), Аналогичным образом из (45) выводится справедливость представления (47). Пример 4. Пусть С вЂ” случайная величина (й= !) и т„=т<">=Е4", зл = э<">. Тогда из (40) и (4!) получаем следующие формулы: т< =3>, т2 =э2+3>, 2 тз =аз+ Зз>22+ 3> з т> = 24+ Ззэ+ 42>аз+ба, з2+з,, 2 2 / (48) где 2 означает суммирование по всевозможным разбиениям ~; /р=/ р ! множества 1, ! </7 < А/(1), А/(1) — число элементов множества I.

Для доказательства представления (46) обратимся к формуле (44). Если и=><(1) и Л<'>+...+Л<" =/, то Л<" =><(/р), 1р С1, все Л<р> различны, Л<Р>! = и! = ! и каждому неупорядоченному набору (><(1>), ..., Х(12)) взаимно однозначно соответствует разбиение 1= 2 Iр. Следовательно, формула р=> 372 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ з~ =ги~ =Ес, зз = тз — ги21 = Пг, зз = тз — Зиг~ гиз+ 2гин з4 =т4 — 3тз — 4т~гиз+12т,тз — бтн 2 2 4 (49) Пример 5. Пусть С 4'(т, оз). Поскольку, согласно (9), г а 1п ус(1) =1(ги — —, 2 то в силу (39) з~ =ги, эх =аз и все семиинварианты, начиная с третьего, равны нулю, т.е, з„=0, и>3.

Заметим, что в силу теоремы Марцинкевича функция вида ехр .'У(Г), где ,!Р(Г) — полипом, может быть характеристической только в том случае, ко- гда степень этого полинома не больше двух. Отсюда, в частности, вытекает, что гауссовское распределение является единственным распределением, обладающим тем свойством, что все его семиинварианты з„ начиная с некоторого номера и >3, обращаются в нуль. Пример 6. Если с — пуассоновская случайная величина с параметром Л > О, то, согласно (1!), )п ут(1) = Л(еп — 1). Отсюда следует, что для всех и >! зл Пример 7. Пусть С =(Сн ..., Сз) — случайный вектор. Тогда те(1) = зе(1), гие(1, 2) = зе(1, 2) + зе(1)зе(2), тз(1, 2, 3) = зс(1, 2, 3) + зз(1, 2)зз(3) + аз(1, 3)зс(2) + + зе(2, 3)зе(1) + зе(1)зе(2)зе(3), (50) (51) Эти формулы показывают, что простые моменты выражаются через простые семиинварианты весьма симметричным образом.

Если положить (~ за (2 м... азСМ то из (51) получатся, конечно, формулы (48). Из (51) становится понятным «групповое» происхождение коэффициентов в формулах (48). Из (51) следует также, что зе(1, 2) = тт(1, 2) — тс(1)игс(2) = ЕЫ2 — Е~|Е~2, (52) т. е. зе(1, 2) есть не что иное, как ковариаиия случайных величин сн сз. згз й |2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ х"аР(х)= $ х"дб(х). (53) Спрашивается, вытекает ли отсюда совпадение функций р и О? Вообще говоря, ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим распределение Р с плотностью Дх) = йе ", х>0, О, х < О, где о > О, 0 < Л < 1/2, а константа й выбрана из соображений нормировки $ Дх)дх=1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее