А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 46

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 46 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 46 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 46 - страница

Если А е Ун то по определению Е[Е(([У2) ]У,] ~ Е[ЕК]У) [У~] УР= ~ Е(4]Ж) (Р. 4 4 Функция Е(С [Уз) является Уз-измеримой, н поскольку 92 С Ун то н У~-измеримой. Отсюда следует, что Е(С [Уз) есть один нз вариантов условного математического ожндання Е[Е((]У2)[У~], что н доказывает свойство )*. ,)*. Поскольку ЕС является У-измеримой функцией, то остается проверить, что для любого В Е У ~~дР=) ЕсаР, в в т.

е. что Е[С!в] = Е5 Е!в. Если Е[с! с со, то это сразу следует нз теоремы 6 $ 6. В общем случае вместо теоремы 6 В 6 надо воспользоваться результатами задачи 6 нз того же параграфа. Доказательство свойства К*, опирающееся на утверждение а) следующей далее теоремы 2, будет дано несколько позднее. Теорема 2 (о сходнмости под знаком условных математических ожиданий). Пусть К„)„>, — последовательность (расширеннык) случайнык вели ч и и. $7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ 273 а) Если )Я < и, Еп < со и Е„~ 4 (и.

н.), то Е(Е„/У) — + Е(Е/У) (и. и.) Е߄— Е1 !У) - 0 (и. и ). Ь) Если Е„> г), Ег) > — со и Е, ) 4 (и. н.), то Е(4„(У) ) Е(4!У) (и. и). с) Если 4„< г), Ег) < оо и Е„( Е (и. н ), то ЕК„)У) 1Е((~У) (п. и.). д) Если Е„> и, Еп > — оо, то Е()1гп Е„)У) < 1пп Е(Е„(У) (и. н.). е) Если Е„<п, Ег)<оо, то )пп Е((„)У) < Е((йипп 4„)У) (и. н.). 0 Если Е„>0, то Е (~~ Е„~У) =~~~ Е(Е„~У) (п. н.). Доказательство.

а) Пусть ~„= знр )Š— Е,1 Поскольку Е„- Е (п. н.), евп то ~„(0 (п. н.). Математические ожидания ЕЕ„и ЕЕ конечны, поэтому в силу свойств О* и С* (п. н.) )Е(Е, )У) — Е(Е(У)) =)Е(ń— Е)У)) < Е()Е„-41)У) < Е(~„)У). Поскольку Е(С,+~1У) < Е(~„1У) (п. н.), то (п. н.) существует предел И = = 11гп Е(~„1У). Тогда 0 < ) И с(Р < $ Е(~'„/ У) НР = $ ~„ИР -+ О, и -+ со, где последнее угверждение следует из теоремы о мажорируемой сходимости, поскольку 0<~„<2ц, Еп<оо. Следовательно, ~ ИаР=О и по свойству Н И=О (п.н.). Ь) Пусть сначала г) гв О.

Поскольку Е(Е„) У) < Е(Еч~ ) У) (п. н), то существует (п. н.) предел ~(м) = йгп Е(Е„)У). Тогда из равенства ~ Е„ЫР=~ е(Е,)У)аР, АВУ, л 4 274 ГЛ. Н. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и теоремы о монотонной сходимости ~ (НРлл ~ ЕК(У)ИР=~ ~д!Р, А ЕУ. Следовательно, по свойству, аналогичному свойству 1, и задаче 5, с = =~ (п. н.). Для доказательства в обшем случае заметим, что 0<С+! С+, и по доказанному ЕК+ !У) ! ЕК+ (У) (п.

н.). (7) Но 0<(„<С, Ес <оо, поэтому в силу а) ЕК, )У)- Е(Г(У), что вместе с (7) доказывает Ь). Утверждение с) вытекает из Ь). д) Пусть ч„= 1п( с, тогда ~„Т С, где ~ = 11гп с„. Согласно Ь), Е(С,, ! У) 7 в>л Т Е(~!У) (п. н.), Поэтому (п. н.) Е(5гп ~л ! У) = Е(~ ! У) = 11гп Е Кл ! У) = 1нп Е(Сл ! У) < ~1пп Е Кл (У). Утверждение е) вытекает из б).

1) Если ~„> О, то по свойству 0* л л е ~~~ с41У) = ') еКА1У) (п. н.), ь=! 4=1 что вместе с Ь) и доказывает требуемый результат. С) Приведем теперь доказательство свойства К". Пусть 7) = (а, В е У. Тогда для всякого А Е У ) 97г(Р= ) Сг(Рлл ) Е(С!У)4(Р=) lвЕ(С'1У)оР= )7)Е(С1У)дР. Апа Аоз В силу аддитивности интеграла Лебега равенство ~ 9)НР=~ 77Е(~(У)НР, АЕУ, А А (8) Е(И77(У) =7)Е(((У) (п. н.). останется справедливым и для простых случайных величин 71= 2' уь(а„ 4=1 Вь ЕУ.

Поэтому по свойству! ($6) для таких случайных величин й 7. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ Пусть теперь и — произвольная У-измеримая случайная величина и (~„)„в) — последовательность простых У-измеримых случайных величин таких, что )г)4 < )г)! и г)п — т). Тогда в силу (9) Е((т)„)У) =г)„Е(~~У) (п. н.). Ясно, что )~п„~ <)с4, где Е)сг)) <оо.

Поэтому по свойству а) теоремы 2 Е(~П, !У) — Е((г))У) (п. н.). т(г)(ы)) = Е(с (п)(ы). Эту функцию т(у) будем обозначать через Е(4!П=у) и называть условным математическим ожиданием с относительно события (г)=у) или условным математическим ожиданием С при условии, что г)=у. В соответствии с определением ~СдР=) Е(С)г))дР=) т(п)дР, АЕУч. (11) 4 А А Поэтому по теореме 7 $6 (о замене переменных под знаком интеграла Лебега) т(г)) дР = $ т(у)Рч(ду), В ЕЯ()т), (12) )м;чеа) где Р„ — распределение вероятностей и. Следовательно, т =т(у) есть борелевская функция такая, что для всякого В б йу()т) с д Р = $ т(у) Рч(ду). (! 3) )че чав) в Это замечание подсказывает, что к определению условного математического ожидания Е(оп=у) можно прийти и иначе.

далее, так как Е)с) < со, то Е(4) У) конечно (п. н.) (см, свойство С*, свойство Л ($6)). Поэтому г)„Е(С)У)-+т)Е(с)У) (п. н ). (Предположение о конечности почти наверное Е(с )У) существенно, поскольку, согласно сноске на с. 218, 0 оо=О, но если п„=)/и, т)ьэО, то — оотг+0 ° со=О.) 1 Замечание. Свойство К" сохраняет свою силу, если выполнены лишь следующие условия: г) является У-измеримой и Е(С)У) определено.

5. Рассмотрим подробнее структуру условных математических ожиданий Е(С ~ У ), обозначаемых, как было условлено выше, также через Е(С ~ и). Поскольку Е(с ~г)) является У„-измеримой функцией, то, согласно теореме 3 из $ 4 (точнее — очевидной ее модификации для расширенных случайных величин), найдется такая борелевская функция т= т(у), определенная на Й и со значениями в )г, что для всех май 276 ГЛ. !!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 4. Пусть С и 77 — случайные величины (быть может, и расширенные) и ЕС определено.

Условным математическим ожиданием случайной величины С при условии, что 7(=у, назовем всякую Я(й)-измеримую функцию т = т(у), для которой с а'Р = ) т(у) Рч(йу), В Е Я(В). (««чев! в Тот факт, что такая функция существует, следует опять же из теоремы Радона †Никоди, если заметить, что функция множеств 0(В)= ~ сйР («ччЕВ! является мерой со знаком, которая абсолютно непрерывна относительно меры Р„. Предположим теперь, что т(у) есть условное математическое ожидание в смысле определения 4.

Тогда, применяя снова теорему о замене переменных под знаком интеграла Лебега, находим, что 5йР= ~ т(у) Рч(йу) = ~ т(п) йР, В е Я()~). («ч »ЕВ! В (««ЧЕВ! Функция т(г() является Уч-измеримой, и множествами (ин ЛЕВ), В Е Я((т), исчерпываются все множества из Уч. Отсюда вытекает, что т(!7) есть математическое ожидание Е(67)). Тем самым, зная Е(С]7(=у), можно восстановить Е(С]г)), и, наоборот, по Е(С]7)) можно найти Е(С ]!)=у).

С интуитивной точки зрения условное математическое ожидание т(у) = =Е(~]ч=у) является более простым и понятным объектом, нежели Е(С]г)). Однако математическое ожидание Е(С]77), рассматриваемое как йтч-измеримая случайная величина, более удобно в работе. Отметим, что приведенные выше свойства А» — К« и утверждения теоремы 2 легко переносятся на условные математические ожидания Е(с]г)=у) (с заменой «почти наверное» на «Р„-почти наверное»). Так, например, свойство К" переформулируется следующим образом: если Е]С] < оо, Е]СГ(г()] < оо, где )' = 7(у) — Я()т)-измеримая функция, то Е(АД!()]о=у) = 7(у) Е(67)=у) (Р„-п. н).

((5) Далее (ср. со свойством з*), если С и 77 независимы, то Е((] !) =у) = Е~ (Р„-п. н). Отметим также, что если В Е Я()т2) и С и 7) независимы, то Е((ВЦ, и) ]г(=у] = Е/В(4, у) (Р„-п. н.), ((6) 277 67. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ОЖИДАНИЯ н если р = р(х, у) — Я(В2)-измеримая функция такая, что Е[у(Е, ))) [ < оо, то Е[р(6, ))) [)) =у) =Е[р(Е, у)) (Р„-п, н ). Для доказательства (16) заметим следующее. Если В = В, х В2, то для справедливости (16) надо лишь проверить, что (в, хв,(6 ))) Р()()с) = ~ Е(в, явЯ, у) Р„(йу). (м: чел) (уел) Нолевая часть есть Р(66 В), ))ЕАГ)В2), а правая — Р(4ЕВ)) Р())ЕАПВ2), и их равенство следует из независимости 6 и )7. В общем случае доказательство проводится с применением теоремы ! из 5 2 о монотонных классах (ср.

с соответствующим местом в доказательстве теоремы Фубини). Определение 6. Условной вероятностью события А Е,Р лри условии, что ))=у (обозначение: Р(А[))=у)), будем называть Е((я[у=у). Понятно, что Р(А[))=у) можно было бы определять как такую мг()с)-измеримую функцию, что Р(А) )()) еВ)) = ~ Р(А [))=у) Р„(с(у), В 6йй(В). (17) в 6.

Приведем некоторые примеры вычисления условных вероятностей и условных математических ожиданий. Пример 1. Пусть )7 — дискретная случайная величина с Р(г)=уз) > О, Р())=уз)=1. Тогда ь=! Для у й(у), уз, ...) условную вероятность Р(А [)) =у) можно определить произвольным образом, например, положить равной нулю. Если Š— случайная величина, для которой существует ЕЕ, то Е(Е[))=уз)= ) с)(Р. ( т=ю) условное математическое ожидание Е(6[т) =у) для у (ь(у), уз, " ) определяется произвольно (например, полагается равным нулю). Пример 2. Пусть (Е, ))) — пара случайных величин, распределение котоРых обладает плотностью Тс „(х, У): Р((4,7))ЕВ)=~ ~ел(х,у)с(х)(у, ВЕМ(й~), в 278 ГЛ. 1!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть )~(х) и 7ч(у) — плотности распределения вероятностей случайных величин с и 0 (см.

(46), (55), (56) $6). Обозначим ~,~( ~у) = ""'"'"', (18) 7ч(в) полагая )~Гч(х )у) =О, если Ц„(у) = О. Тогда Р(с е С (и = у) = ~ ~с ~ „(х ( у) Их, С е М(17), с (19) т.е. ~Е~„(х(у) есть плотность условного распределения вероятностей. В самом деле, для доказательства (19) достаточно убедиться в справедливости формулы (17) для В Е М(й), А = К Е С).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее