А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 25

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 25 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 25 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 25 - страница

МАРКОВСКИЕ БЕПИ. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 153 Отсюда видно, что состояния О и В являются «поглощающими»ч в любом же другом состоянии 1 частица остается с вероятностью гь переходит на единицу вправо с вероятностью р; и влево с вероятностью д1. Найдем а(х) = !пп аь(х) — предельную вероятность того, что частица, ь со выходящая из точки х, достигнет нулевого состояния раньше, чем состояния В. Предельным переходом при й- оо в уравнениях для а»(х) получим, что для О < у < В а(у) = 1)уа(у — 1) + гуа(у) + р;а(у'+ 1) с граничными условиями а(О) = 1, а(В) =О.

Поскольку г; = 1 — дг — р1, то р1. (а(у'+ 1) — а(у)) = 1)у(а(у) — а(у — 1)) и, следовательно, (у+ 1) — (у) = р;(а(1) — 1), где 91" «1' "=Р "Рг 1 Но а(у+1) — 1= ~ (а(1+ 1) — а(1)). Позтому 1=О 1 а(у+1) — 1=(а(1) — 1) ~ рь 1=0 Если у= — 1, то а(у'+1)=а(В)=О, и, значит, а(1) — 1 = — —, 1 В-1 2.' УЛ 1=0 откуда у=),...,В. (Ср. с соответствующими результатами $9.) В-1 д.

Тл В-1 д. ул 1 0 В-1 2. УЛ и а(у)= в'=', 2" .Р1 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !54 Пусть теперь т(х) = 1!та тз(х) — предельное значение среднего времени блуждания до попадания в одно из состояний 0 нли В. Тогда т(0) = =т(В) =О, т(х) = 1+ ~у т(у) р„„ и, следовательно, для рассматриваемого примера т(у)=!+ту;т(у — 1)+г;т(у)+ р;т(у+!) для всех у = 1, ...,  — !.

Чтобы найти т(у), обозначим М(у) = т(у) — т(у — !), у = 1, ..., В. руМ(У+!)=аум(у)- 1, У=1, ..., В- 1, Тогда н последовательно находим, что М(у'+ !) =Рум(1) - гу, где Ру "Ру Ру' Ру-1 Ру-1 "Ру Поэтому У вЂ” 1 У-у т(у) = т(у) — т(0) = ~ М(у+ 1) = ~~ (Рут(1) — Ву) = т(1) Ч~у Р; — ~~у У=О 1=0 У=О =О Осталось лишь найти т(1). Но т(В) = О, значит, В-1 В-1 Е Ру н для 1<у <В В-1 у т(у) =~~ Р; У=О -~' Ру. 1=0 Ру (Ср. с соответствующими результатами нз $ 9, полученными там для случая г;=О, р; = р, ууу=уу.) 6.

В этом пункте будет рассмотрено одно усиление марковского свойства (8), заключающееся в том, что оно остается справедливым при замене момента времени й на случайный момент (см. далее теорему 2). 5 ИЬ МАРКОВСКИЕ ЦЕГ1И. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 155 Важность этого так называемого строго марковского свойства будет проиллюстрирована, в частности, на примере вывода рекуррентных соотношений (38), играющих существенную роль для классификации состояний марковских цепей (гл.

т"1П). Пусть с = (со, ..., с,) — однородная марковская цепь с матрицей переходных вероятностей (!р;Д, У» = (У»Е)е<»к„ — система разбиений, У»~ -— =Уе, е,. Через М»Е будем обозначать алгебру а(У»), порожденную разбиением У», Приладим прежде всего марковскому свойству (8) несколько иную форму. Пусть В е Я».

Покажем, что Р(с„= а„..., ~»+~ = а»+1 ( В П (4» = а»)) = =Р(б„=а„..., 6+~ — а»+, ~4»=а») (29) (предполагается, что Р(Вй(С»=а»)) >О). Действительно, множество В можно представить в виде В=,) (со=по,.",с»=а»), где сумма 2 ' берется по некоторым наборам (ао, ..., а').

Поэтому Р(С„=а„, ..., (»+~ =а»+~~ВП(Р»=а»))— Р((Е =, ..., б»=а»)ОВ) РЯ» = а») й В) (ЗО) Р((С4— - ая, ...,4»=а»)ОЫОг аа, ..., С»=а»)) Р((е» = а») г\ В) Но в силу марковского свойства Р((С„=а„, ..., С»=а»)й(Се=аз, ..., С» =а»)) = 1 Р(с„=а„, ..., 4»+~ =а»+~ (со=по, ..., с»=а») х хР(Се=а*, ..., с»=а»), если а»=а', О, если а»э»а», Р(С„= а„, ..., С»+, — — а»+~ (Я~= а») х хР(со=по, ..., с»=а»), если а»=а»', О, если а»Ра», Р(с =а„..., с»+1=а»+~ ~~»=а») х х РЯ» = а») г~ В), если а» = а„', О, если а» Ра„'. ГЛ.

1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ 166 Тем самым сумма 2 в (30) равна РК, =а„, ..., с»+~ =а»+~!с»=а»)Р(К»=а»)йВ), что и доказывает формулу (29). П~сть т — момент остановки (относительно системы разбиений Уд = = (У»)ок»к,, см. определение 2 в $11). Определение. Будем говорить, что множество В из алгебры Я» принадлежит системе множеств Я», если для каждого 0 < й < и В й (т = й) Е Я»~. (31) Нетрудно проверить, что совокупность ЯЕ таких множеств В образует алгебру (называемую алгеброй событий, наблюдаемых до момента т).

Теорема 2. Пусть с = Ко, ..., с„) — однородная марковская цепь с матрицей переходных вероятностей (1р1!11, т — момент остановки (относительно У»), В еЯ» и А =(ы: т+! <и). Тогда, если Р(А йВй й К = аьЦ > О, то выполнены следующие с т р о г о м а р к о в с к и е свойства: Р К +~ = а1, ..., с +1 = а1 ~ А й В й К, = ао)) = =РК,+1 =а1, ..., С,+1 =а11АйК„=ао))), (32) и (в предположении Р(АйК,=ае)) >0) РК»ч 1 — а1 . ~~+1 — а1 (А Г1К» — ае)) — Рддд ..

Рд~ дн (33) Доказательство проведем для простоты лишь в случае ! =1. Поскольку Вй(т=й) еЯ», то, согласно (29), РК +1=а1, АйВйК =ае))= ~~~ РК»+1 =ан С»=ао, т=й, В)»д »Кд-1 РК»+~ =а1К»=ао, т»дй, В) РК»=ао, тддй, В)= »Кд-1 — Р (с»+1 = а, ~ с» = аь) Р К» = ае, т = А, В) = »кд-! =р, ц, ~ РК»=ао,т=й, В)=р„,,Р(АйВй(с,=ао)), »<д-1 что доказывает и (32), и (33) (в случае (33) надо взять В = О).

П Замечание 1. В случае ! = 1 строго марковское свойство (32), (ЗЗ) эквивалентно, очевидно, тому, что для любого С СХ Р(с,.»1 е С1А й В й К, = ае)) = Р~(С), (34) $!2. МАРКОВСКИЕ ((ЕПИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА где (С)лл~ р„„. ланс В свою очередь (34) может быть переформулировано следующим образом: на множестве А = (т < и — Ц РК, ЕС(ййл)=У'.(С), (35) что является одной из обычно используемых форм строго марковского свойства в общей теории однородных марковских процессов. Замечание 2. Свойства (32) и (33) остаются справедливыми (если воспользоваться соглашениями, описанными в замечании 1) и без оговорок, что вероятности событий А и В й (с = ао) и А Г) (с, = ао) должны быть положительными.

7. Пусть с=(со, ..., с„) — однородная марковская цепь с матрицей переходных вероятностей )(р(у(), М ) = Р(6 = (, 4~ Ф У, 1 < У < и — 1 Ь = У) (36) идляуфу 1;'" =РТА=у,((Фу,1<У<А-)!4о=У) (37) — вероятности первого возвращения в состояние ( в момент времени й и первого попадания в состояние у в момент и соответственно. Покажем, что (л) ~ ~ )(А) (л-А) (О) р,, — иу р,, где р,)в А=( (38) ту = ПНП(1 < й < Л: (А = у'), полагая т;=и+1, если ()=а.

тогда 1~() =Р(ту=А(со=У) и 4 =Р(6=у!4~=()= ~ Р((„=у,;=А!6=1)= (КА<л Р(~п+„А = у, ту = й1со = У), (39) )КА<л Наглядный смысл этой формулы ясен: чтобы за л шагов попасть из состояния у в состояние у, надо сначала за и шагов (! < й <и) впервые попасть в состояние у, а затем за оставшиеся и — й шагов из у попасть в у, Дадим теперь строгий вывод. Пусть у фиксировано и ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 158 где последнее равенство следует из того, что С,г»„» =С„на множестве (т;=й). Далее, для всякого 1<й<а множество (т;=й)=(т(=й, (, =у).

Поэтому, если Р(Со =(, т; = й) > О, то в силу теоремы 2 Р(Сп~.-~=у[Со=(, ту=й) =Р(С;~.-»=у[Со=(,, =К (п =у) = = Р(с .ч., ~ = у ! (и = у) = р; и, согласно (37), р;,". = г Р(с,,+„»=у[со=(',ту=й)Р(т;=й[со=У)=~р р" » У(», что и доказывает соотношение (38). 8. Задачи. 1. Пусть 4=(4о, ..., 4„) — марковская цепь со значениями в Х и у = у(х) (хеХ) — некоторая функция. Будетли последовательность (у(4о),..., у(4„)) образовывать марковскую цепь? Будет ли марковской цепью «обратная» последовательность (с„, с -н ", 4о)? 2.

Пусть )р= [[р(у[[, 1 < (', у < г, — стохастическая матрица и Л вЂ” собственное число этой матрицы, т. е. корень характеристического уравнения бе1 [!)Р— ЛЕ[! =О. Показать, что Л( = 1 является собственным числом, а все остальные корни Лз, ..., Л, по модулю не больше 1. Если все собственные числа Л(, ..., Л, различны, то р,, допускают представление (») р, =(г;+а;((2)Лз+...+ау(г)Л„ (») » » где яу, а;;(2), ..., а(у(г) выражаются через элементы матрицы )Р.

(Из этого алгебраического подхода к анализу свойств марковских цепей, в частности, вытекает, что при [Ля[<1, ..., [Л„[<1 для каждого у существует предел 1!гп р,", не зависящий от (.) (») 3. Пусть с =((о, ..., с„) — однородная марковская цель с множеством состояний Х н матрицей переходных вероятностей Р= [[р„„[!. Обозначим Тр(х) = Е[~р((() [4о =х] (= ~~~ Р(у) р»г) Пусть неотрицательная функция (о = р(х) удовлетворяет уравнению Тр(х)=(о(х), хеХ. Доказать, что последовательность случайных величин «=(ь», У»д) с ~»=(о(с») образует мартннгал. 412.

МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 159 4. Пусть с = (с„, П, )Р) и С = (С,, П, Р) — две марковские цепи, отличающиеся начальными распределениями П=(рп ..., Р,) и П=(рп ..., Р,). Пусть !!)!!"! = (р! 1, ..., р!"1), Й"1 = (р!"1, ..., р!"1). Показать, что если пнп р;; ) е > О, то Ц (Р "' — Р,.'"~ <2(1 — ге)и. 1=1 5. Пусть Р и 1;) — стохастические матрицы.

Показать, что Рг,! и ар+(1 — а)1) с 0<а<1 также являются стохастическими матрицами. 6. Рассматривается однородная марковская цепь (се, ..., С„) со значениями в Х = (О, !) и матрицей переходных вероятностей ('.' -',) где 0 < р < 1, 0 < д < 1. Положим 5„= Со+... + С,. В обобц1енне теоремы Муавра †Лапла ($ 6) показать, что Ял — — и р Р <х -+Ф(х), и- оо. ире(2 —, — 4) Убедиться в том, что в случае р+ д = 1 величины Со, ..., С„независимы и сформулированное утверждение сводится к тому, что Р( " <х)- Ф(х), и-+со.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее