А.Н. Ширяев - Вероятность-1 (1115330), страница 22
Текст из файла (страница 22)
+с» и а, Ь вЂ” целые неотрицательные числа такие, что а — Ь > О, а+Ь =и. Покажем, что тогда Р(5~ >О, ..., 5„>0!5„=а — Ь) = —. а+Ь' В самом деле, в силу симметрии (!5) Р(5, > О, ..., 5„> 0 ! 5„= а — Ь) = Р(5~ < О, ..., 5„< 0 / 5„= — (а — Ь)) = = Р(5 ~ + ! < 1, ..., 5„+ и < и ! 5„+ п = п — (а — Ь))) = = Р(гд < 1, ..., гн +... + и„< и ) зу~ +... + и„= п — (а — Ь)) = и — (а — Ь))+ а — Ь а -Ь и ! и а+Ь' =1- Г= — =— где мы положили и» =4»+ ! и воспользовались равенством (!2).
Из (!5) очевидным образом выводится формула (5) Э !О, установленная в лемме 1 $ !О с применением принципа отражения. Будем интерпретировать С; =+! как голос, поданный на выборах за кандидата А, а С; = †! — за кандидата В. Тогда 5» есть разность числа голосов, поданных за кандидатов А и В, если в голосовании приняло участие й избирателей, а Р(5~ > О,..., 5„ > 0~5„ =а — Ь) есть вероятность того, что кандидат А все время был впереди кандидата В, при условии, что в обшей сложности А собрал а голосов, В собрал Ь голосов и а — Ь >О, а+Ь=и. Согласно (!5), эта вероятность равна (а — Ь)/п.
5. Задачи. !. Пусть Уе ~ У~ ~... ~ ӄ— последовательность разбиений, Уо = (()); и» вЂ” У»-измеримая величина, ! < Ь < и. Доказать, что последовательность й!Ь МАРТИНГАЛЪЬ ПРИМЕНЕНИЯ К СЛУЧАЙНОМУ БЛУЖЛАНИЮ !35 с=(сы Уе)~<«к, с ь» = ~~', [т)т — Е(ть [У,,)) является мартингалом. 2. Пусть величины т)н ..., т)е таковы, что Е(тте [гтп,, т),,) = О, дока зать, что последовательность С = (~„),к„н„ с я, = т), и се+~ =~~~ тй+~Ь(ПН ..., та), где Гт — некоторые функции, образует мартингал. 3. Показать, что всякий мартингал Е = (Ем Уе)~Н«<„имеет некоррелированные приращения: если а < в < с < Н, то сои(С« — фѻ — 6) = О.
4. Пусть С = ((н ..., С„) — некоторая случайная последовательность такая, что се — У«-измеримы (У~ ~Уйс...4У„). Доказать, что для того, чтобы эта последовательность была мартингалом (относительно системы разбиений (Уе)), необходимо и достаточно, чтобы для лктбого момента остановки т (относительно (У»)) ЕС, = ЕСН (Выражение «для любого момента остановки» можно заменить на выражение «для любого момента остановки, принимаютцего два значения».) 5. Показать, что если С = (4ы Уе)т~~~„ — мартингал и т — момент остановки, то для любого й Е[6!( =»)] =Е[Ыт =»т).
б. Пусть с=(се, У») и т)=(т)ы Уа) — два мартингала, 4~ =гл =О. Доказать, что « Ес»т),««~ Е(се-сз ~)(т)» — ттъ-~) ь=з и, в частности, Е(~ =Ч~ Е(с» — ч»-~) . 7. Пусть гп, ..., тт„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Ет); =О. Показать, что последовательно- ГЛ. Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сти «=(«») с ехр(Л(п~ +... + ч»)) (Е ехр(Лгп))» являются мартингалами. 8. Пусть гн, ..., г)„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в конечном множестве У.
Пусть 5(у)=Р(2)1 =у)>0, уе У и Д(у) — неотрицательная функция с ~„~~(у) = 1. Показать, что последовательность « = («ы У,",) с гег й(гп)" А(ч») уч у )о(гп) ". 1о(ч») ' образует мартингал. (Величины «», называемые отношениями правдоподобия, играют исключительно важную роль в математической статистике.) ф 12.
Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 1. В рассмотренной выше схеме Бернулли с П=(ш; ш=(хн ..., х„), х; =О, 1) вероятность каждого исхода ы задавалась формулой Р((ы)) = = р(ш), где р(ш) = р(х~)... р(х„) (1) с р(х) = р"д' '. При этом условии случайные величины «н ..., «„ с «;(ы) =х; оказывались независимыми и одинаково распределенными с Р(«1 = х) =... = Р(«„= х) = р(х), х = О, ! . Если вместо (1) положить р(ш) = р|(х~)... р„(х„), где р (х)= р,'.(1 — р)' ', 0<р;<!,то тогда случайные величины«н ...,«„ также будуг независимыми, но уже, вообще говоря, разнораспределенными: Р(«, =х) = р~(х), ..., Р(«„=х)= р„(х).
Рассмотрим одно обобщение этих схем, приводящее к зависимым случайным величинам, образующим так называемую цепь Маркова. $12. МАРКОВСКИЕ 11ЕПИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1зт Будем предполагать, что Й = (ы: м = (хо, хь ..., х„), х; е Х), где Х вЂ” некоторое конечное множество. Пусть заданы также неотрица- тельные функпии ро(х), р~(х, у), ..., р„(х, у) такие, что ре(х) = 1, уех р»(х, у) = 1, й = 1, ..., и; х е Х. (2) у ах Для каждого исхода м = (хе, хь ..., х„) положим Р((и)) = р(ьу), где р(ю) = ро(хо)р~(хо, х~) ..
р„(х„ь х„). (3) РКо=а) = ро(а), (4) РКо=ао, ",4»=а»)=ро(ао)р~(ао, а~)... р»(а»-ь а»). Установим теперь справедливость для рассматриваемой вероятностной модели ((), лу, Р) следуюшего важного свойства условных вероятностей: Р(с»+~ =а»+~ К» =аь ", со =ив) =Р(с»+1 =а»+, К» =а») (5) (в предположении РК»=аь ...,5е=ао)>0). В силу (4) и определения условных вероятностей ($3) РК»+,-а»+, !4»=аь ", со= ао) Р(с»+~ =а»+~ " Со=во) РК = ° " бе= о) ро(ао)р1(ао а~)".р»+1(аь а»+~) ро(ао)" р»(а» ь а») Аналогичным образом проверяется равенство РК»+~ =а»+, К» =а») = р»+1(аь а»+~), (6) что и доказывает свойство (5). Пусть У„ =Ус, е„ вЂ” разбиение, порожденное величинами 5о, ..., 5ь и е Уу — — а(У»~).
Нетрудно проверить, что 2; р(ы) = 1 и, следовательно, набор этих чимей сел р(ы) вместе с пространством (у и системой всех его подмножеств определяет некоторую вероятностную модель (й, лу, Р), которую принято называть моделью испытаний, связанных в цепь Маркова. Введем в рассмотрение случайные величины Со, (ь ..., С„с Сг(ы) =х; для ы = (хь ..., х„). Простой подсчет показывает, что ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 138 Тогда в соответствии с обозначениями, введенными в Э 8, из (5) следует, что Р(~я+! = а»+!!дгь) = Р(~я+! = аз+!(5«), (7) или Р((»+! = а«+! ~(е, ..., ч«я) = Р(5»+! = а«+! ~ 4ь). Замечание. Прервем наше изложение, чтобы сделать важное для всего дальнейшего замечание в связи с формулами (5) и (7) и событиями нулевой вероятности.
При установлении формулы (5) предполагалось, что Р(5»=ам ... ..., Со = ае) > О (а значит, н Р((я = ад) > 0). Нужно это было, в сущности, лишь потому, что (пока!) условные вероятности Р(А(В) определялись только в предположении Р(В) > О. Но заметим, что если В =(с» =ам ..., се=аь) и Р(В) =0 (а, значит, и Р(С) = 0 для С = (5» е аь)), то «путь» (се = ае, ..., Сь = а») должен рассматриваться как нереализуемый и тогда вопрос о том, что есть условная вероятность события (~я+! = а») прн условии этого нереализуемого <пути», с практической точки зрения не представляет интереса. В этой связи и для определенности мы будем далее определять условную вероятность Р(А (В) формулой Р(АВ) Р(А ( В) = Р(В) ' О, если Р(В) =О.
При таком определении формулы (5) и (7) становятся справедливыми и без всяких оговорок типа РК«=ам ..., Со««аа)>0. Подчеркнем, что отмеченная трудность, связанная с событиями нулевой вероятности, весьма типична для вероятностных рассмотрений. В Э 7 гл. П будет приведено общее определение условных вероятностей (относительно произвольных разбиений, в-алгебр, ...), которое н весьма естественно, и «работает» в ситуациях «нулевой вероятности». Если воспользоваться очевидным равенством Р(А В ! С) = Р(А ! ВС) Р(В ! С), то из (7) получаем, что Р(с«=а„..., с«+!=а»+!)ййяг)=Р(5«=а„, ...,5»+! =а«+!!ся), (8) или Р(6.
= а«, ..., с»+! =а»+! ~ 5о, " 4я) = Р(с, =а„, ..., сь«! = а»+! !с»). (9) й РД МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА Это равенство допускает следующую наглядную интерпретацию. Будем трактовать 4» как положение «частицы» в «настоящем», Ко, ..., Е» 1) — в „прошлом» и К»+и ", 6,) — в «будущем». Тогда (9) означает, что при фиксированных «прошлом» (Ео, ..., Е» ~) и «настоящем» с» «будущее» (с +,, „, Е„) зависит лишь от «настоящего» 4» и не зависит от того, каким способом частица попала в точку Е», т.
е. не зависит от «прошлого» Ко, ", с»-~). Пусть Б = К„=а„, ..., 4»+1= а»+~), Н =К» =а»), П =(С»-~ = а» и ... Ро = ао). Тогда из (9) следует, что Р(Б/НП) =Р(Б/Н), откуда легко находим, что Р(БП ~Н) = Р(Б)Н) Р(П)Н), (10) Иначе говоря, из соотношения (7) следует, что при фиксированном «настоящем> Н «будущее» Б и «прошлое» П оказываются независимыми. Нетрудно показать, что справедливо и обратное: из выполнения (10) для любого й = О, 1, ..., и — ! следует выполнение свойства (7) для всякого й = О, 1, ..., л — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
