А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 22

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 22 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 22 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 22 - страница

+с» и а, Ь вЂ” целые неотрицательные числа такие, что а — Ь > О, а+Ь =и. Покажем, что тогда Р(5~ >О, ..., 5„>0!5„=а — Ь) = —. а+Ь' В самом деле, в силу симметрии (!5) Р(5, > О, ..., 5„> 0 ! 5„= а — Ь) = Р(5~ < О, ..., 5„< 0 / 5„= — (а — Ь)) = = Р(5 ~ + ! < 1, ..., 5„+ и < и ! 5„+ п = п — (а — Ь))) = = Р(гд < 1, ..., гн +... + и„< и ) зу~ +... + и„= п — (а — Ь)) = и — (а — Ь))+ а — Ь а -Ь и ! и а+Ь' =1- Г= — =— где мы положили и» =4»+ ! и воспользовались равенством (!2).

Из (!5) очевидным образом выводится формула (5) Э !О, установленная в лемме 1 $ !О с применением принципа отражения. Будем интерпретировать С; =+! как голос, поданный на выборах за кандидата А, а С; = †! — за кандидата В. Тогда 5» есть разность числа голосов, поданных за кандидатов А и В, если в голосовании приняло участие й избирателей, а Р(5~ > О,..., 5„ > 0~5„ =а — Ь) есть вероятность того, что кандидат А все время был впереди кандидата В, при условии, что в обшей сложности А собрал а голосов, В собрал Ь голосов и а — Ь >О, а+Ь=и. Согласно (!5), эта вероятность равна (а — Ь)/п.

5. Задачи. !. Пусть Уе ~ У~ ~... ~ ӄ— последовательность разбиений, Уо = (()); и» вЂ” У»-измеримая величина, ! < Ь < и. Доказать, что последовательность й!Ь МАРТИНГАЛЪЬ ПРИМЕНЕНИЯ К СЛУЧАЙНОМУ БЛУЖЛАНИЮ !35 с=(сы Уе)~<«к, с ь» = ~~', [т)т — Е(ть [У,,)) является мартингалом. 2. Пусть величины т)н ..., т)е таковы, что Е(тте [гтп,, т),,) = О, дока зать, что последовательность С = (~„),к„н„ с я, = т), и се+~ =~~~ тй+~Ь(ПН ..., та), где Гт — некоторые функции, образует мартингал. 3. Показать, что всякий мартингал Е = (Ем Уе)~Н«<„имеет некоррелированные приращения: если а < в < с < Н, то сои(С« — фѻ — 6) = О.

4. Пусть С = ((н ..., С„) — некоторая случайная последовательность такая, что се — У«-измеримы (У~ ~Уйс...4У„). Доказать, что для того, чтобы эта последовательность была мартингалом (относительно системы разбиений (Уе)), необходимо и достаточно, чтобы для лктбого момента остановки т (относительно (У»)) ЕС, = ЕСН (Выражение «для любого момента остановки» можно заменить на выражение «для любого момента остановки, принимаютцего два значения».) 5. Показать, что если С = (4ы Уе)т~~~„ — мартингал и т — момент остановки, то для любого й Е[6!( =»)] =Е[Ыт =»т).

б. Пусть с=(се, У») и т)=(т)ы Уа) — два мартингала, 4~ =гл =О. Доказать, что « Ес»т),««~ Е(се-сз ~)(т)» — ттъ-~) ь=з и, в частности, Е(~ =Ч~ Е(с» — ч»-~) . 7. Пусть гп, ..., тт„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Ет); =О. Показать, что последовательно- ГЛ. Ь ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сти «=(«») с ехр(Л(п~ +... + ч»)) (Е ехр(Лгп))» являются мартингалами. 8. Пусть гн, ..., г)„— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения в конечном множестве У.

Пусть 5(у)=Р(2)1 =у)>0, уе У и Д(у) — неотрицательная функция с ~„~~(у) = 1. Показать, что последовательность « = («ы У,",) с гег й(гп)" А(ч») уч у )о(гп) ". 1о(ч») ' образует мартингал. (Величины «», называемые отношениями правдоподобия, играют исключительно важную роль в математической статистике.) ф 12.

Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 1. В рассмотренной выше схеме Бернулли с П=(ш; ш=(хн ..., х„), х; =О, 1) вероятность каждого исхода ы задавалась формулой Р((ы)) = = р(ш), где р(ш) = р(х~)... р(х„) (1) с р(х) = р"д' '. При этом условии случайные величины «н ..., «„ с «;(ы) =х; оказывались независимыми и одинаково распределенными с Р(«1 = х) =... = Р(«„= х) = р(х), х = О, ! . Если вместо (1) положить р(ш) = р|(х~)... р„(х„), где р (х)= р,'.(1 — р)' ', 0<р;<!,то тогда случайные величины«н ...,«„ также будуг независимыми, но уже, вообще говоря, разнораспределенными: Р(«, =х) = р~(х), ..., Р(«„=х)= р„(х).

Рассмотрим одно обобщение этих схем, приводящее к зависимым случайным величинам, образующим так называемую цепь Маркова. $12. МАРКОВСКИЕ 11ЕПИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА 1зт Будем предполагать, что Й = (ы: м = (хо, хь ..., х„), х; е Х), где Х вЂ” некоторое конечное множество. Пусть заданы также неотрица- тельные функпии ро(х), р~(х, у), ..., р„(х, у) такие, что ре(х) = 1, уех р»(х, у) = 1, й = 1, ..., и; х е Х. (2) у ах Для каждого исхода м = (хе, хь ..., х„) положим Р((и)) = р(ьу), где р(ю) = ро(хо)р~(хо, х~) ..

р„(х„ь х„). (3) РКо=а) = ро(а), (4) РКо=ао, ",4»=а»)=ро(ао)р~(ао, а~)... р»(а»-ь а»). Установим теперь справедливость для рассматриваемой вероятностной модели ((), лу, Р) следуюшего важного свойства условных вероятностей: Р(с»+~ =а»+~ К» =аь ", со =ив) =Р(с»+1 =а»+, К» =а») (5) (в предположении РК»=аь ...,5е=ао)>0). В силу (4) и определения условных вероятностей ($3) РК»+,-а»+, !4»=аь ", со= ао) Р(с»+~ =а»+~ " Со=во) РК = ° " бе= о) ро(ао)р1(ао а~)".р»+1(аь а»+~) ро(ао)" р»(а» ь а») Аналогичным образом проверяется равенство РК»+~ =а»+, К» =а») = р»+1(аь а»+~), (6) что и доказывает свойство (5). Пусть У„ =Ус, е„ вЂ” разбиение, порожденное величинами 5о, ..., 5ь и е Уу — — а(У»~).

Нетрудно проверить, что 2; р(ы) = 1 и, следовательно, набор этих чимей сел р(ы) вместе с пространством (у и системой всех его подмножеств определяет некоторую вероятностную модель (й, лу, Р), которую принято называть моделью испытаний, связанных в цепь Маркова. Введем в рассмотрение случайные величины Со, (ь ..., С„с Сг(ы) =х; для ы = (хь ..., х„). Простой подсчет показывает, что ГЛ. Е ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 138 Тогда в соответствии с обозначениями, введенными в Э 8, из (5) следует, что Р(~я+! = а»+!!дгь) = Р(~я+! = аз+!(5«), (7) или Р((»+! = а«+! ~(е, ..., ч«я) = Р(5»+! = а«+! ~ 4ь). Замечание. Прервем наше изложение, чтобы сделать важное для всего дальнейшего замечание в связи с формулами (5) и (7) и событиями нулевой вероятности.

При установлении формулы (5) предполагалось, что Р(5»=ам ... ..., Со = ае) > О (а значит, н Р((я = ад) > 0). Нужно это было, в сущности, лишь потому, что (пока!) условные вероятности Р(А(В) определялись только в предположении Р(В) > О. Но заметим, что если В =(с» =ам ..., се=аь) и Р(В) =0 (а, значит, и Р(С) = 0 для С = (5» е аь)), то «путь» (се = ае, ..., Сь = а») должен рассматриваться как нереализуемый и тогда вопрос о том, что есть условная вероятность события (~я+! = а») прн условии этого нереализуемого <пути», с практической точки зрения не представляет интереса. В этой связи и для определенности мы будем далее определять условную вероятность Р(А (В) формулой Р(АВ) Р(А ( В) = Р(В) ' О, если Р(В) =О.

При таком определении формулы (5) и (7) становятся справедливыми и без всяких оговорок типа РК«=ам ..., Со««аа)>0. Подчеркнем, что отмеченная трудность, связанная с событиями нулевой вероятности, весьма типична для вероятностных рассмотрений. В Э 7 гл. П будет приведено общее определение условных вероятностей (относительно произвольных разбиений, в-алгебр, ...), которое н весьма естественно, и «работает» в ситуациях «нулевой вероятности». Если воспользоваться очевидным равенством Р(А В ! С) = Р(А ! ВС) Р(В ! С), то из (7) получаем, что Р(с«=а„..., с«+!=а»+!)ййяг)=Р(5«=а„, ...,5»+! =а«+!!ся), (8) или Р(6.

= а«, ..., с»+! =а»+! ~ 5о, " 4я) = Р(с, =а„, ..., сь«! = а»+! !с»). (9) й РД МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ. ЭРГОЛИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА Это равенство допускает следующую наглядную интерпретацию. Будем трактовать 4» как положение «частицы» в «настоящем», Ко, ..., Е» 1) — в „прошлом» и К»+и ", 6,) — в «будущем». Тогда (9) означает, что при фиксированных «прошлом» (Ео, ..., Е» ~) и «настоящем» с» «будущее» (с +,, „, Е„) зависит лишь от «настоящего» 4» и не зависит от того, каким способом частица попала в точку Е», т.

е. не зависит от «прошлого» Ко, ", с»-~). Пусть Б = К„=а„, ..., 4»+1= а»+~), Н =К» =а»), П =(С»-~ = а» и ... Ро = ао). Тогда из (9) следует, что Р(Б/НП) =Р(Б/Н), откуда легко находим, что Р(БП ~Н) = Р(Б)Н) Р(П)Н), (10) Иначе говоря, из соотношения (7) следует, что при фиксированном «настоящем> Н «будущее» Б и «прошлое» П оказываются независимыми. Нетрудно показать, что справедливо и обратное: из выполнения (10) для любого й = О, 1, ..., и — ! следует выполнение свойства (7) для всякого й = О, 1, ..., л — 1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее