А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 19

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 19 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 19 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 19 - страница

(24) Чтобы найти решение этого уравнения, предположим сначала, что т(х) <оо, хЕ(А, В). (25) х Тогда, если р ~ а, то частное решение имеет вид — и общее решение о р (см. (9)) записывается в виде т(х) = — + а+Ьн $9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.! Н7 Отсюда с учетом граничных условий т(А) =т(В) =0 находим, что т(х) = — [ВВ(х) + Аа(х) — х], (26) где В(х) и а(х) определяются из формул (10) и (!3). Если же р =д = 1/2, то общее решение уравнения (23) имеет вид т(х) = а + Ьх — хз, и поскольку т(А) = т(В) = О, то т(х) = ( — х)(х — А). (27) Отсюда, в частности, вытекает, что если начальные капиталы игроков равны (В = — А), то » 5.( ) =~~~, 5«(»7)1! „=ц( ). (26) «=о Наглядный смысл величины 5,„ ясен — это есть значение случайного блуждания в момент остановки т„.

При этом, если т„ <и, то 5,„ =А или В; если же т„=п, то А <5,„<В. Докажем, что при р=о=1/2 Е5,„= О, Е5~ =Ет„. Для доказательства первого равенства заметим, что (29) (30) Е5а = ~Ч~ Е[5«71,„=«!(«7)] = ~Ч~ Е[5»/!т„=Ц(щ)]+ «=о «=о » » + ~~', е [(5« — 5»)7!..=ц(»7)] = е5» + У е [(5« -5»)!«,.=«10»)] (31) т(0) =В . Возьмем В = 10, и пусть каждый ход в игре осуществляется через 1 секунду, тогда (предельное) среднее время до разорения одного из игроков довольно велико в оно равно 100 с.

Формулы (26) и (27) были получены в предположении, что т(х) < со, х Е (А, В). Покажем теперь, что и на самом деле т(х) конечны прн всех х Е(А, В). Ограничимся рассмотрением случая х = О. Общий случай разбирается аналогичным образом. Пусть р= д =!/2. С последовательностью 5о, 5И ..., 5„и моментом остановки т„= то свяжем случайную величину 5,„= 5,„(ш), определенную следующим равенством: ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 118 где, очевидно, Е5„= О. Покажем, что Е[(5« — 5„)/1 „ц(ю)] =О.

»=О Для 0<й<п имеем (т„>й)=(А <5~ <В, ..., А <5«<В). Событие (ы: А < 51 < В, ..., А < 5«< В) может быть, очевидно, представлено в виде (м: (с1, ..., с») еА«), (32) где А« — некоторое подмножество множества ( — 1, + Ц». Иначе говоря, зто множество определяется лишь значениями случайных величин С1, ..., С» и не зависит от значений величин С»+1, ..., С„. Поскольку множество (т„= Ц = (т„> й — 1) [ (т„> Ц, Е[(5„ — 5»)/1,„-»1] = Е[5„ — 5»].

Е/1, »1 = О, что и доказывает формулу (29). Тем же методом доказывается и формула (30): Е5» = ~~~ Е5»/1,„«1 = ~~~ Е([5„+ (5» — 5„)]з/1,„»1) = «=о »=о = ~ [Е5з/1,„«1+ 2Е5„(5» — 5„)/<,„«1 + Е(5„— 5«)з/1,„»1] = «=о = Е5~ — Ч ~Е(5„— 5»)з/1,„ц = и — ~ ~(л — й) Р(т„= Ц = «=о »=О й Р(т„= Ц = Ет„. Итак, для р =д = 1/2 имеют место формулы (29), (30). В случае же произвольных р и д (р+д =1) аналогично устанавливается, что Е5,„= (р — д)Ет„, Е[5т„— тлЕЯ= 0(~ Ет„, (33) (34) где ЕС1= р — д, 0~~ =1 — (р — д)з, то оно также является множеством вида (32).

В силу независимости слу- чайных величин С1, ..., С„н в силу задачи 1О к $4 отсюда вытекает, что для любого О< А<и случайные величины 5„— 5» и /1,„»1 независимы, а значит, 49. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ. ! 1!9 С помощью полученных соотношений покажем, что 11в т„(0)= л со =т(0) < оо. Если р = д = 1/2, то в силу (30) Ет„( вах(Аз, Вз). (35) Если же равд, то из (33) гпах(1А1, В) !р-д1 (35) откуда ясно, что т(0) < оо.

Заметим также, что в случае р =д = 1/2 Етн = Е5, =А ал+В Рл+ Е(5э!1«<з„<в1(1~.=п1) и, значит, А~о„+ В94, ( Ет, (Аза„+ВтВ, + шах(А~, В ) "т„. Отсюда и из неравенств (20) следует, что математические ожидания Ет„ сходятся при л- оо к предельному значению т(0) =Азо+ ВзВ=А ° — — В ° — = )АВ! з з В з А экспоненциально быстро. Аналогичный результат справедлив и в случае р ~д: аА+ВВ экспоненциально быстро Ет„- т(0) = —. Р д 5. Задачи. 1. Показать, что в обобщение (33) и (34) справедливы следующие формулы: Е5",, =х+(р — д)Ет„", Е[5;, — т„"Е~~] =0~~ Етэ +ха.

2. Исследовать вопрос о том, к чему стремятся величины о(х), В(х) и т(х), когда уровень А з -оо. 3. Пусть в схеме Бернулли р = д =1/2. Каков порядок Е15„~ при больших и? 4. Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый свою) симметричные монеты. Показать, что вероятность того, что у них после и подбрасываний будет одно и то же число гербов, равна 2 з" ~; (С«)з. Вывести «=о отсюда равенство ~', (С«)з = С~, (см. также задачу 4 в $2). «=о ГЛ.!. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 120 Пусть а„— тот первый момент, когда число гербов у одного игрока совпадает с числом гербов у другого (совершается и подбрасываний, а„= и+ 1, если указанного момента не сушествует).

Найти математические ожидания Е ш(п(а„, л). 2 !О. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса !. Как и в предыдушем параграфе, будем предполагать, что 4Н ... ..., Сг„— последовательность независимых одинаково распределенных бернуллиевских случайных величин с Р(6 = Ц= р, Р(6= — 1)=Ч, 5з=6+" +Сы 1<й<2п; 50=0. Обозначим агл =ш!п(1 ~<й <2л: 5ь =0), полагая аг,=оо, если 5ьФО при всех 1<й<2л. Наглядный смысл аг„вполне понятен — зто момент первого возвращения в нуль. Свойства этого момента и будут изучаться в настояшем параграфе, при этом будет предполагаться, что рассматриваемое случайное блуждание симметрично, т.

е. р = д = 1/2. Обозначим для 0 <й<п ига = Р(52» = 0) ггз = Р(агч = 2й). Ясно, что ио = 1 и игь=Сгь 2 Ь -га Наша ближайшая цель — показать, что для 1 < а <л вероятность (гз определяется формулой ! )гь = 2аигм-н. (2) Понятно, чтодля 1<й<п (аз~ =2й)=(5~ фО, 52~0, "' 5ге-~ фО, 5га=О) и в силу симметрии ~г» = Р(5~ Ф О, ", 5гь- ~ ~ О, 5гз = 0) = =2Р(5~ >О ",5гз-~ >0,52з=О) (3) 4 (О. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.

П (2( Назовем путем длины й последовательность чисел (5О, ..., 5») и обозначим через Е»(А) — число путей длины й, для которых выполнено свойство А. Тогда 72» = 2 ~ ( йл(5( > О, 52»-1 > О, 52» = О, 52», ( = аы„( (оттен,..,вм) ..., 52н =ай»+(+...+ай„) 2 2" = = 2Е2»(5( > О, ..., 52» ~ > О, 52» = 0) ° 2 2», (4) а — Ь Е»(5(>0, ..., 5», >О, 5»=а — Ь)= — С». й (5) Доказательство. Действительно, Е»(5( >О, ..., 5» ( >О, 5»=а — Ь)= = Е»(5( = 1, 52 > О, ..., 5» ( > О, 5» = а — Ь) = Е»(5( = 1, 5» = а — Ь)— — Е»(5(=1,5»=а — Ь; Э(,2<(<й — 1, такое, что 5;<0), (б) Иначе говоря, число положительных путей (5П 52, ..., 5»), выходящих из точки (1, 1) и заканчивающихся в точке (К а — Ь), совпадает с числом всех путей, идущих из точки (1, 1) в точку (й, а — Ь), за вычетом тех путей, которые касаются или пересекают временную ось.

*) Заметим теперь, что Е»(5( = 1, 5» = а — Ь; 3(, 2 <1 < й — 1, такое, что 5; < 0) = =Е»(5( = — 1, 5» =а — Ь), (7) т. е. число путей, идущих из точки о =(1, 1) в точку (3 = (й, а — Ь) и касающихся или пересекаюи(их временную ось, совпадает с числом всех путей, идущих из точки ив =(1, -!) в точку8=(й, а — Ь). Доказательство этого утверждения, носящего название принципа отражения, следует нз легко устанавливаемого взаимно однозначного соответствия между путями А =(5(, ..., 5„5,+и ..., 5»), соединяющими точки а и )3, ') Путь (5ь ..., 5») называется нолозснтельным (неотрицательным), если все 5; > О (5; > О); путь называется касающимся временнйй оси, если 5) >О илн 5) (О для всех ( Ц 7 < й и найдетсн такое ! ь( <», что 5~ =О, и называется нересеноющнм временную ось, если найдутся такие два момента времени! и Е что 5~ > О, а 5) < О. где суммирование распространяется по всем наборам (ай»~(, ..., ад ) с а; =х1.

Следовательно, отыскание вероятности 72» сводится к подсчету числа путей Ей»(5~ >О, ..., 52» ~ >О, 52»=0). Лемма !. Пусть а, Ь вЂ” целые неотрицательные числа, а — Ь > 0 и й = а + Ь. Тогда ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !22 и путями В =(-5И ..., -5„5,+н ..., 5»), соединяющими точки а' и )7 (рис. 17); а — первая точка, где пути А и В обращаются в нуль. Из (6) и (7) находим 1.»(5~ >О, ..., 5» 1>0, 5»=а — Ь)= =(.»(5~ =1, 5» =а — Ь)— — (,»(5» = — 1, 5» = а — Ь) = =с,—,-с,,= —,с,, а — Ь Рис. 17.

К пРинципУ отраженна что и доказывает утверждение (8). П Возвращаясь к подсчету вероятности 72», находим, что, согласно (4) н (8) (с а = я, Ь = я — 1), и, значит, (оэл=2й)=% ФО... 521»-пФО)~(511»0, ..., 52»фО). Поэтому 72»=Р(5~ ~0, ..., 52м НФО)-Р(5~ фО, „,, 5щ-»0), 1 и, следовательно, в силу (8) для доказательства равенства 72» = вЂ и» н 2» достаточно показать, что (.2»(5~ ~ О, " , 52» Ф 0) = 7.2»(52» = 0) С этой целью заметим, что очевидным образом 12»(5 ~ ~ О, ", 52» ф 0) = 21 2»(51 > О, ", 52» > 0).

Поэтому для проверки (9) нужно лишь установить, что 27.2»(5~ > О, „,, 52» >0) =(.2»(5~ )~ О, ..., 52» ~)0) (9) (10) =27- (5 >0,...,5 — >0,5 =О) 2 2 = -2» -2»» =27.2»-~(5~ >О, ".,52»-~ =1).2 =2.2 . — Сз» ~ = — и21»-О 2»-1 2» Итак, формула (2) доказана.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее