А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 17

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 17 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 17 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 17 - страница

(15) Последнее равенство показывает, в частности, что свойства условных вероятностей можно получать непосредственно из свойств условных математических ожиданий. Следующее важное свойство обобщает формулу полной вероятности (4): Е Е(с ! У) = Ес. (! 6) Для доказательства достаточно заметить, что, согласно (4), ЕЕК!У)=Е ~~! х;Р(А !У)="! х!ЕР(А;!У)=~~ х;Р(А )=Ес. г=! Пусть У=(0!,..., Ре) — разбиение и г)=!!(!и) — некоторая случайная величина. Будем говорить,что случайная величина !) является измеримой относительно этого разбиения, или У-измерима, если У„ с У, т. е. гг=г!(!и) может быть представлена в виде г)(ь) =~~ у!)о;Ь ), (17) е(бг)(У) =г)е(с1У) Е(!))У) =г! (Е(г!!У„) =э!).

и, в частности, (18) где у; могут быть и равными. Иначе говоря, случайная величина У-измерима тогда и только тогда, когда она принимает постоянные значения на атомах разбиения У. Пример 2. Если У вЂ” тривиальное разбиение, У =(П), то величина г) будет У-измеримой в том и только том случае, если г1гя С, где С вЂ” постоянная. Всякая случайная величина г) измерима относительно разбиения У„. Предположим, что случайная величина !) является У-измеримой. Тогда йа услОВные ВеРОятнОсти и мАтемАтические Ожиддния !05 ! для доказательства (17) заметим, что если 4= ~ х;lд,, то 1=1 Д=~~ ~ х!у!/д р, и, значит, ! ь д д Ефу]У)=~~! ~) х!у!Р(А;О![У)»»~~ ~~ х;у; ~ Р(А,Р;]Р ))р„(ю)= г=! !=! г=! г=! е=! !» ! ь х;у!Р(А;Р;[О;)!р,(ш) =~ ~~ х!у;Р(А! [О!)Iр,.(ь!). (19) !=! !=! !=! !=! С другой стороны, учитывая, что Тра = Тр,.

и lр,.lр„= О, ! ~ т, получаем, ~ Ф 1 цЕфУ) = ~~~ угlр,(ы)~ ~~ х;Р(А; [У) !=! !=! г д д уг)р,(ы)~ ~~! ~~ х;Р(А;[Р ) .)р„(ь!)= !=! е=! г=! = ~~> ~~ у х1Р(А; [О!))р,. (ш), !=! г=! Е(~ [Уй) = ~ х1Р(А! ] Ут), !=! и достаточно лишь установить, что Е[Р(А! [У!!) ] У!] = Р(А! ] У!) (21) что вместе с (!9) доказывает (17). Установим еще одно важное свойство условных математических ожиданий. Пусть У! и Ут — два разбиения, причем У! 4Уз (разбиение Уз «мельче» разбиения У!). Тогда справедливо «телескопическое» свойство: Е [Е(с [ Уз) ] У! ] = Е(с [ У!). (20) Для доказательства предположим, что У =(0И, ..., О! ), Уз=(0ан ..., Рз«).

Тогда, если Е = 2 х;/др то 1=! ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ »06 Поскольку ч Р(А![Уз) =~~! Р(А! [пт,)/о„, д=! то Р(А, [п,д)Р(пад [У!) = Р(А! [пад) Л~~ Р(вдд [О!р))о~ 1.р=! л ! „,) Р(А [0 )Р(0 [0 )= — )о,,Р(А! [О!р) = Р(А! [У!), р=! что и доказывает (21). В том случае, когда разбиение У порождается случайными величинами д)!, ..., и» (У = У„, рл), условное математическое ожидание Е(С [У„, „,) будет обозначаться Е(С[г)!, ..., д)») (или Е®ц!, ..., г)»)(ь!)) и называться условным математическим ожиданием случайной величины С относительно д)!, ..., г)». Непосредственно из определения Е(с [»!) следует, что если С и и независимы, то Е(С [г)) = ЕС.

(22) Из (18) следует также, что Е(п[»)) =»1. (23) Свойство (22) допускает следующее обобщение. Пусть случайная величина С не зависит от разбиения У (т. е. для любого 0; Е У случайные величины С и го, независимы). Тогда Е(с [ У) = Ес. (24) Л Е[Р(А,[У2)[У![=~ д=! и =Е д=! =Е =Е р=! =Е )о„~ Р(А, [0„) Р(0„[0„) = !д:о„со„! Р(А/Пзд) Р(пад) Р(вз ) Р(П!р) !д:о„со,„1 йа, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ 107 Из (20) в качестве частного случая получаем следующую полезную формулу: Е(Е(((т!н т)т) !т)~] =Е(~)т)~).

(25) Пример 3. Для случайных величин с и т), рассмотренных в примере 1, найдем Е(4+т1!т!). В силу (22) н (23) Е (С + т) ! т1) = ЕС + т) = р + т). Этот результат можно получить и отправляясь от (8): Е(С+т1(т1)=~ йр(С+т1=й(т))=р(1 — т!)+дт1+2рт1= р+т). Пример 4. Пусть Е н т! — независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда Е(С ! ь + т)) = Е(т) ! ь + т!) = (26) Действительно, считая для простоты, что С и т! принимают значения 1, 2, ..., т, находим, что (1 < й < т, 2 <1 < 2т) Р(4 = А, 4+ ч = 1) Р(4 = А, т1 =1 — А) РЫ+ч=1) РК+ч=1) Р(4 =Ц Р(в =1 — А) Р(в = А) Р(4 =1 — А) — р(4+ 1) — р(4 1) — Р(т) = й 16+ и = 1).

Этим доказано первое равенство в (26). Для доказательства второю достаточно заметить, что 2Е(~ )(+т)) = Е(~)~+т))+ Е(т)(~+т1) = Е(4+т)((+т)) = 6+т!. 3. Еще в $1 отмечалось, что каждому разбиению У=(РИ ..., Рз) конечного множества й соответствует алгебра гт(У) подмножеств й. Точно так же и обратно, всякая алгебра М подмножеств конечного пространства й порождается некоторым разбиением У (М= а(У)). Тем самым между алгебрами и разбиениями конечного пространства й существует взаимно однозначное соответствие.

Это обстоятельство следует иметь в виду в связи с вводимым в дальнейшем понятием условною математическою ожидания относительно специальных систем множеств, так называемых о-алгебр. В случае конечных пространств понятия алгебр и о-алгебр совпадают. При этом оказывается, что если М вЂ” некоторая алгебра, то вводимое в дальнейшем ($7 гл.

И) условное математическое ожидание Е©М) случайной величины Е относительно алгебры М просто совпадает с ГЛ. !. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ !08 Е(с [ У) — математическим ожиданием с относительно разбиения У такого, что Я=а(У). В этом смысле в случае конечных пространств в дальнейшем мы не будем различать Е(С [йй) и Е(с [У), понимая всякий раз, что Е(С [,У) есть по определению просто Е(с [У). 4. Задачи. !. Привести пример двух случайных величин С н и, которые не являются независимыми, но для которых Е(4 [ г/) = Ес.

Показать, что дисперсия Е[~(г/)Е(6г/)[ = Е [4'7(г/)[. 4. Пусть С н и — случайные величины. Показать, что !п1 Е(г/-/(0)з l достигается на функции /'(~) =Е(г/[0. (Таким образом, оптимальной в среднеквадратнческом смысле оценкой и по С является условное математическое ожидание Е(г/[0.) б. Пусть (н ..., С„, т — независимые случайные величины, причем величины 4н ..., С„ одинаково распределены, а т принимает значения 1, 2, ..., и. Показать, что если 5 =с/+...+с, — сумма случайного числа случайных величин, то Е(5, [т) = ТЕсн 0(5, [т) = т041 Е5,=Ет Е~н 05, =Ет 0(1+От ° (Е6)~. 6.

Доказать равенство (24). (Ср. с утверждением (22).) 2. Условной дисперсией С относительно разбиения У называется случайная величина 0(С [ У) = Е [(4 — Е(С [У))э[У]. 04= ЕО(([У)+ОЕ(([У). 3. Отправляясь от (!7), доказать, что для всякой функции 7 = 7(г/) условное математическое ожидание е(с[г/) обладает следующим свойством: $9. СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ.! !09 Б 9. Случайное блуждание.!. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 1.

Значение установленных в $6 предельных теорем для схемы Бернулли далеко не исчерпывается тем, что они дают удобные формулы лля подсчета вероятностей Р(5, = й) и Р(А < 5, < В). Роль этих теорем состоит ~~кже и в том, что они носят универсальный характер, т. е. остаются справедливыми не только для независимых бернуллневских случайных величин (ь Сз, ..., принимающих всего лишь два значения, но и дпя величин гораздо более общей природы.

В этом смысле схема Бернулли явилась той простейшей моделью, на примере которой были подмечены многие вероятностные закономерности, присущие и гораздо более общим моделям. В настоящем н следующем параграфах будет рассмотрен ряд новых вероятностных закономерностей, подчас носящих крайне неожиданный характер. Все рассмотрения будуг вестись снова для блужданий, описываемых схемой Бернулли, хотя многие выводы остаются справедливыми и для блужданий более общего вида. 2. Рассмотрим схему Бернулли (й, лК, Р), где й =(ш: ш =(хь ..., х„), х;=Ы), лй — система всех подмножеств й и Р((ш)) = р'ь"1д" '~'">, и(ш)= .

Пусть $(ш)=х;, 1=1, ..., п. Тогда, как уже известно, к;+л 2 последовательность Сь ..., 4„является последовательностью неззвисимых бернуллиевских случайных величин, РК =1)=р, Р(6= — 1)=у, р+у=1. Положим 59 =О, 5» =4~ +... +с», 1 < й < и. Последовательность (5»)»<„ можно рассматривать как траекторию случайного блуждания некоторой «частицы», выходящей из нуля. При этом 5»+~ =5»+~»+ь т. е. если в момент й частица находится в точке 5» то в момент й + 1 она сдвигается либо на единицу вверх (с вероятностью р), либо на единицу вниз (с вероятностью д). Пусть А и  — два целых числа, А < О < В.

Одна из интересных задач, связанных с рассматриваемым случайным блужданием, состоит в исследовании вопроса о том, с какой вероятностью блуждающая частица выйдет за я шагов из интервала (А, В). Интересен также вопрос о том, с какой вероятностью выход из интервала (А, В) произойдет в точке А или в точке В.

Естественность этих вопросов становится особенно понятной, если воспользоваться следующей игровой интерпретацией. Пусть имеются лла игрока (первый и второй), у которых начальные капиталы равны 11О ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ соответственно ( — А) и В. Если С1 =+1, то будем считать, что второй игрок платит единицу капитала первому; если же С1 = -1, то, наоборот, первый платит второму. Таким образом, 5» =~, +...

+С» можно интерпретировать как величину выигрыша первого игрока у второго (если 5» < О, то этот выигрыш есть на самом деле величина проигрыша первого игрока второму) за й «ходов». В тот момент времени й <и, когда впервые 5» = В (5» =А), капитал второго (первого) игрока становится равным нулю, иначе говоря, происходит его разорение. (Если й < и, то следует считать, что игра прекращается в момент времени й, хотя само блуждание остается определенным до момента и включительно.) Прежде чем переходить к точным постановкам, введем ряд обозначений.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее