Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей

А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 27

DJVU-файл А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей, страница 27 Теория вероятностей и математическая статистика (2653): Книга - 3 семестрА.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков - Сборник задач по теории вероятностей", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 27 - страница

в) Найти функцию ф»(з), если Р(Ь 0 р, РЦ»= — 0 1 — р, 0<р<1. 5Л9. По случайному блужданию р„, определенному в задаче 5Л8, построим случайную величину р = 1п(р, »ло а) Найти распределение р. б) Доказать, что Р(п ) — ) 1 тогда и только тогда, когда М51) 0 или РЦ» О) 1. 5.20.

Показать, что если ро О, р 91+ .. ° + $»вЂ” случайное блуя»дание, построенное по независимым одинаково распределенным случайным величинам $1, $1, РЦ 0 РЦ„-0 1/2, и 1, 2, ..., то справедливы следующие соотношения: а) Мр„= О, Ор„= и, Р(р»+1=0) = О, Р,ро„=О)= » -1» С,„2 = и-» оо' 1 »-1 б) М1р„1= ~' Р(ро 0) )/ —, п-» со. о-о 5.21. Случайные векторы $1, йз, ... в»(-мерном евклидовом пространстве независимы и при любом й 1, 2, ... М$1 О, М1$111=а',<оо, где Ц„1 — евклидова длина 91. Построим случайное блуждание ро О, р„=ь»+ ...+$„(»~1), Доказать, что мр„01 м1р,1' а', + ...

+а'. 5.22. Случайные векторы $1 (91, 1, " ., 91, ») (й 1,2, ...) в»1-мерном евклидовом пространстве независимы и имеют равномерное распределение на единичной сфере Я" ' — ((х„..., хз) ен В": х,' + ... + хзо = 11. Пусть р. $1+... + $„и 1р„1 — евклидова длина вектора р„. Найти М1р„11, 0!р„11.

5.23. Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать, что прн любом а > 3/2 Р 11ш — О 1. 19 1 »-»»» = 1 — р соответственно, н Бо =. О, Б = $1+... + 9„, и=1, 2, Обозначим через т число таких п, что Я„О. а) Показать, что если р чь д, то Р(т <» ) 1; б) показать, что если р = д = 1/2, то РЬ = 1 1. 5.25». Независимые случайные векторы $»=(9.,», ..„$...)»нВ', и=1, 2, ..., имеют независимые компоненты н Р ($»,» 1)=Р ($»,» — 1) = 2,1 < 1 < 3» и = 1, 2, 1 Положим 8„5»+...+$„, и= 1, 2, ..., и обозначим через т число таких и, что Я =(О, ..., 0). Показать, что Р(т )=1 при э 2 н что Р(т< )=1 при о~3.

5.2о6. (Тождество Вальда.) Пусть случайные величины $1, 91, ... независимы, М9» = а, МЦ»1 < С <» (1~1), Пусть В»»=,Л'» Во~Во, Во ~Л', ... — произвольная последовательность измеримых множеств, и случайная величина т определяется равенством т ш1(п: (5», ..., 5.)ФВ„) (т = ', если ($», ..., 9 ) ш В„при любом и < о ) .

Используя равенство Х 9 - Х 9»Х(т> 1) = Х 9 (1 — Х( < 1)) » 1 » 1 »=1 (где т(А) — индикатор события А), доказать, что если Мт< °, то М~ 91 аМт, 5.27, Проверить справедливость установленного в за- даче 5.26 равенства в следующих случаях: а) РЦ, 0 = РЦ, = -0 = 1/2, т = ппп (п ~ О: $»+ ...

...+$„0, б) РЦ, 0 = РЦ» — 2) = 1/2,' т = ппп [и ~ 0: $»+... ...+9 О. Объяснить результаты. 5.28. Случайные величины. $1, 4р, ... независимы и одинаково распределены, а =М$1)0 и Р(Ц»1<С) =1 при некотором С<» . Пусть ро О, р =51+...+$„, (п>1) и У» 1п1(и~О: В„>1). Доказать, что при лю- бом Ф) 0 Ф '4 аМУ» < 1+ С. »59 5.24». Случайные величины й», $1, ... независимы, принимают аначеняя 1 и -1 с вероятностями р и д 159 5.29. Случайные величины рп р», ... ири любом целом п; 1 удовлетворяют условию М(р.„[рь ..., р„) ~р„. Доказать, что при любых целых й, я ~ 1 М(р„„[рь ..., р„) >р„. 5.30».

Неотрицательные случайные величины рь р», ° ° ° при любом целом и = 1 удовлетворяют условию М(р„„!рь ..., р„) ~р.. Доказать, что для любого 6) О и любого целого п>1 Мр„ Р(шах(рц ..., р,):;в 6) < — ". 5 31. Случайные величины йц 4», ... независимы, МЬ= О, 1 1, 2, ... Доказать, что для любого 6) 0 и любого целого ил 1 Р[ уках [$ + ... + $„[' «6) < 1»«»«я 532. (Нераве яств о Колмогорова ) Случайные величины фь 5», ... независимы, мф~ О, (з$~ = о[<со (1 1,2, ...).

Докааать, что для любого 6)0 и любого целого и .- 1 о',+ ...+ а« Р ( уках [$, + ... + $»[:6) < 1» с»«и 6» $2. Пуассоиовские процессы 5.33'. Найти сот(уо $,+,)' при 1, з > О, если: а) Ь вЂ” пуассоповский процесс на [О, ) с интенсивностью Х, б) $, — пуассоковский процесс ка [О, «) с интеясивпостью й(1) . 5.34. Пусть (т„)», (О < т~ < т» <...) — положепия точек пуассоиовского потока па [О, ) с интенсивностью Х. Доказать, что при любом Т ~ 0 Х Р(,<Т) =),Т. »=1 5.35. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти Мтц От, и плотность р„(х) распределения тц 160 11 з. и. зубков и ар, 161 5.36.

Пусть выполяеяы условия задачи 5.34. Найти: а) плотность р(хь ..., х,) совместного распределения случайных величин ть т», ..., тц б) Р(т~ < х!т» ) Т), 0 < х < в) Р(т~ < х[т~ < Т < т»1, О < х < Т. 5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти условную плотность ру(хь ..., х«) совместиого распределения случайных величин т~, ..., т, при условии, что т„< Т < т„ы. Сравпить ру(хь ..., х„) с плотяостью д,(хь ..., х,) совместного распределения члеиов вариационного ряда 6», -'=-й<»> <...

< $,ц, построепного по независимым случайным величинам йь ..., фц имеющим равномервое распределение на отрезке [О, Т). 5.38'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоновского потока с интенсивностью Х, принадлежащих иитервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой из них в интервале длины Л нет других точек этого пуассоновского потока.

5.39'. Найти математическое ожидание числа точек пуассоновского потока с интенсивностью Х, принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каждой из них до ближайших точек пуассоновского потока не меньше Ь. 5.40". Пусть(тд)Гг,— — положения точек пуассоновского потока на ( —, «) с интенсивностью Х. Перевумеруем случайные величины т„так, чтобы они удовлетворяли условиям 0< [«<о~[ < [т~ц! < а) Как можно описать последовательность ([том [)»=.«у б) Что моя«но сказать о последовательности 0„ = т,ц/[тец[, й = О, 1, 2, ..., знаков чисел т,цу 5 41'.

Пусть 0 < т~ < т» <...— положения всех точек пуассоповского потока иа [О, ) с иптеясивностыо Х. «Проредим» этот поток, исключая из вето каждую точку пезависимо от остальных с вероятностью р, где р — данное число, .0 < р < 1. Доказать, что прорез«еняый поток является пуассоиовским.

Чему равна его интенсивкостьу 5.42 . Пусть р(х) — кусочно-непрерывная функция, принимающая зпачения из отрезка [О, 1), а 0 т~ < < т» <...— положения всех точек пуассоновского потока иа [О, ' ) с интенсивностью Х(х). «Проредим» этот поток, исключая из пего каждууо точку т, независи»«о от остальных с вероятностью р(т,). Доказать, что прореженвый поток является пуассоновским. Чему равна его иитепсивность? 5.43 . Моменты поступления требований в систему массового обслуживания образуют пуассоковский поток па ( —, ) с интенсивностью )в. Каждое требование независимо от остальных находится в системе олучайпое время т, с Р(т:= х) = С(х), Мт <, Найти распределение числа $, требований в системе в момент й 5.44.

Для системы массового обсэуявивания, описанной в задаче 5.43, найти функцию /(1) = Р(6, 0154 = 0). Убедиться в том, что /(1) м окот оп по пе возрастает по й 5.45. Случайно расположенные па плоскости точки образуют пуассоновское поле с иптеисивпостью Х, т. е. число точек в любой квадрируемой области 8 имеет пуассоповское распределение с математическим ожиданием ХФ, где !Я~ — площадь области Я, и числа точек в пепересекающихся областях независимы. Пусть р~ ~ < рг ~...— упорядоченные по возрастанию расстояния ог начала координат до точен этого поля.

а) Как можно описать последовательность (рв)4,7 б) Найти плотность р (х) распределения р„, точную формулу для Мр„и асимптотику Мр„при л- 5.46. Случайно расположенные в пространстве Вв точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Х, т. е. число точек в любой измеримой области Р имеет пуассоковское распределепие с математическим ожиданием Х! У!, где !И вЂ” объем области У, а числа точек в непересекающихся областях независимы. Ответить на те же вопросы, что в задаче 5.45. 5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные моменты времепи т~ < тг <... Случайные величины тп тг, ...

независимы и т„имеет равномерное распределение в иптервале (и — 1, л). а) Найти плотность р(х) распределения интервала 6, т„+~ — т между автобусами. б) Найти плотность р„(хп хг) распределения двумерного вектора (6„, В„+,) при й 1, 2, ... в) Моменты $1 и $г прихода двух пассажиров па остаиовку независимы и имеют равномерное распределепве ка интервале (О, 1). Найти вероятность того, что опп поедут ка одном и том же автобусе. г) Моменты $г и эг прихода двух пассажиров па остановку независимы, 51 имеет равномерное распределеяве па интервале (О, 1), з $г — па ивтервале (1, 2).

Найти вероятность того, что эти пассажиры поедут на одном автобусе, 162 й 3. Цепи Маркова 5.49. Цепь Маркова $, имеет мноявество состояний ( — 6, — 5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности рв= РЦ~вм /! $~ = д при 1чь 0 определяются соотпошеяиями 1, если / = 1+ 1(0 или 7 в — 1~~ О, '' Ов Маркова и множества ее Провести классификацию цепи состояний, если: а) рв,в 1, рв,< 0 (/чв6), б) рв,в = рв, -в = 1/2, рв,~=О в) рв, в рв, -в.= 1/2, рв, = О 5.50. э1атрица вероятностей (~1! Фб), (1Ф вЂ” 5, 1вь6).

перехода цепи Маркова имеет элд /0,1 0,6 0,4'1 Р = ~ 0,6 0,2 0,2 0,3 0,4 0,3 Распределение по состояниям в момент времени 1 = 0 определяется вектором (0,7; 0,2; 0,1). Найти: 1) распределение ао состояниям в момент 1=2, 2) вероятность того, что в моменты 1=0, 1, 2, 3 состояпиями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2; 3) стационарвое распределение. 5.51. Пусть ~, — номер состояния в цепи Маркова в момент времени 1; Р(эв = 1) = 1, и матрица вероятностей перехода имеет вид /3/7 3/7 1/7 1 1/11 2П1 8/11 1/11 4/11 6/11 положим /1, если $,=1, (2, если $г ть 1. д) ) Пассажир приходит па остановку в случайный момевт $, имеющий равномерное распределение па интервале (О, 1). Найти математическое ожидание, дисперсию и плотность д(х) распределения времени ожидания автобуса.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее