Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике, страница 13

На средний груз действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости, Е' = — 6из. В начальный момент, когда все грузы покоились, крайним грузам были сообщены скорости, равные ио и направленные в противоположные стороны. Используя теорему о вириале, найти средние значения кинетической и потенциальной энергий. 7.58. При помощи теоремы о вириале найти среднее давление, оказываемое газом на стенки сосуда, пренебрегая межмолекулярными взаимодействиями и считая, что средняя кинетическая энергия одной молекулы равна е. В единице объема содержится и молекул газа, а стенки сосуда являются абсолютно гладкими. К задаче 7.59 К задаче 7.57 7.59. Двойной плоский маятник АСВ (см.

рисунок) состоит из двух одинаковых стержней длины 1. На точку В нижнего стержня действует постоянная сила Р', направленная под прямым углом к стержню СВ. Выяснить, является ли сила Е потенциальной. 7.60. Показать, что в условиях задачи 7.'28 отношение между радиусами шаров Л и г, при котором наиболыпие скорости их центров одинаковы, не зависит от момента инерции шара, если шары неоднородны, а центры масс совпадают с их геометрическими центрами.

7.61. Движение системы материальных точек представляется как суперпозиция двух движений: относительно некоторой системы отсчета е1~9~9 и движение вместе с этой системой. Показать, что кинетическая энергия Та абсолютного движения выражается равенством Т„= Т, +Т„+кго.р„+гв Ко„, где Т, кинетическая энергия переносного движения, 7; кинетическая энергия относительного движения, чо скорость начала системы отсчета ~Дз~з, ш — ее угловая скорость относительно неподвижной системы, р, .-. импульс 1 а Дин мика точки в центов ином поле системы при относительном движении, Ко, момент импульса относительного движения системы.

7.62. Звенья АС и ВС плоского двузвенного автоматического манипулятора (см. рис. к задаче 7.59) вращаются с постоянными угловыми скоростями ео1 и еоз. Найти кинетическую энергию манипулятора, если в начальный момент звенья были расположены вдоль оси Ох. Звенья считать одинаковыми однородными стержнями массы ш и длины 1. 7.63. Однородный стержень длины 1 и массы т, один конец которого закреплен с помощью шарового шарнира О, отклоняют от вертикали на угол уо и сообщают ему угловую скорость еоо вокруг вертикальной оси. Найти зависимость абсолютной угловой скорости стержня П от угла д, а также компоненты силы реакции в шарнире О. 8 8.

Динамика точки в центральном поле 8.1. Тело отпущено без начальной скорости на высоте Н над Землей. Найти зависимость скорости тела от его текущей высоты 6. Исследовать случаи Н/Нз « 1 и Н,1 Яз » 1, где Лз — радиус Земли. 8.2. Показать, что в поле любой центральной притягивающей силы за счет надлежащего выбора начальных данных можно реализовать круговую орбиту произвольного радиуса Л.

Показать, что скорость движения по этой орбите постоянна. 8.3. Найти высоту искусственного спутника Земли, если он все время находится над одной и той же точкой экватора. 8.4. Найти уравнение траектории материальной точки массы т в центральном поле с потенциалом П(г) = — о(г, а > О, если момент импульса точки равен К, а полная энергия — Е, 8.5. Помимо центральной силы Уь направленной к неподвижному центру, на точку массы т действует сила к'з = — Оте, где скалярный коэффициент О зависит от времени, расстояния г до центра и от скорости и точки, причем функция (1(1, г, н) ограничена. Показать, что траектория точки будет представлять собой плоскую кривую.

8.6. Из бесконечности по направлению к звезде Я летит метеорит, имеющий на бесконечности скорость и > О и прицельное расстояние р > О. Может ли метеорит стать спутником звезды? 8.7. Гравитирующая звезда достаточно большой массы М (М > > 2Ме, Ме масса Солнца) при остывании сжимается под действием сил тяготения. Найти зависимость второй космической скорости ип для звезды от ее текущего радиуса г. Найти также то значение 1.

Кинематика и динамика 68 радиуса г*, при котором вторая космическая скорость станет равной скорости света с 1так называемый гравитационный радиус) ) . 8.8. Спутник движется вокруг Земли по эллиптической орбите с эксцеитриситетом е. Найти отношение максимального и минимального значений угловой скорости радиус-вектора спутника. 8.9. Спутник Земли переведен с круговой орбиты радиуса г1 иа круговую орбиту радиуса гв. Как при этом изменятся кинетическая, потенциальная и полная энергии спутника? 8.10. Спутник Земли массы т движется по эллиптической орбите с параметром ро и эксцентриситетом ев. В некоторый момент времени спутнику сообщается радиальный импульс Ьд = тсьго.

Определить параметры новой орбиты спутника, если в момент действия импульса ои находился иа расстоянии го от центра притяжения и имел радиальную скорость го. Найти также приближенное значение поправки к эксцентриситету Ье при малом импульсе Ьч. 8.11. Материальная точка (см. рисунок) движется в центральном поле под действием силы Гг = — ат/г . При каком начальном 5 моменте импульса траектория представляет со- У бой окружность т = 2)ь сов у? Показать, что в случае Е, ~ — ат/г такая траектория точки иевоз- 5 Ф можиа..

8.12. Материальная точка притягивается к неподвижному центру массы ЛХ по закону Ньюзй тона. Показать, что при движении точки имеет место векторный закон сохранения 1иитеграл ЛаК задаче 811 пласа) (г х ч) хт+уЛХг/г = а, где а постоянный вектор.

8.13. Определить совокупность начальных данных, при которых в задаче двух тел расстояние между телами во время движения остается ограниченным. 8.14. Две точки массы т1 и тз взаимодействуют по закону всемирного тяготения. Найти величины начальных скоростей точек, при которых расстояние между ними во время движения пе будет изменяться. 8.15. К двум взаимодействующим точечным массам т1 и тз приложены зависящие только от времени внешние силы Р1(1) и Рэ(1) соответственно. Показать, что такая задача двух тел может быть сведена к задаче о движении в центральном поле точечной массы, и ) Впервые величину г нашел Лаплас, используя закон всемирного тяготения Ньютона и полагая сп = с. Вычисления г' на основе общей теории относительности Лают то жс самое значение г* (см., например, )39)).

2 8. тт?иналтина тпочии в Центава ином поле на которую действует дополнительная сила тает тте2 тпт+ т2 8.16. Какова должна быть зависимость внешних сил Гт и Р2 от переменных гы г2, гн г2, 2 (гт и г2 радиус-векторы точек в инерциальной системе отсчета), чтобы было справедливо утверждение предыдущей задачи? 8.17. Две гравитирующие массы тт и т2 совершают финитное движение. Показать, что минимальное и максимальное расстояния между ними являются корнями квадратного уравнения 2 тт+ т2 80л +уттт2л Ке —— О, 2ттц та где Ео и Ке — энергия и кинетический момент системы, а у-- постоянная тяготения.

Из указанного уравнения найти условие, при котором реализуются круговые орбиты. 8.18. Два одинаковых шарика массы т могут двигаться без трения по сторонам прямого угла ЛлОу, расположенного в горизонтальной плоскости. ППарики имеют заряды д и — тт. Показать, что такая система моделирует плоское движение материальной точки массы т в поле центральной силы К = — аттг (а = д ). 8.19. Показать, что если известно уравнение г = г(тр) траектории точки в поле центральной силы, то можно найти проекцию силы на направление радиуса и квадрат скорости точки при помощи следукн щих соотношений (формул Бине): 2 ~2П) ) 1 тП т ) 2 где с = г тр -- удвоенная секториальная скорость.

8.20. В каком центральном поле точка движется по траектории г = р/)1+ есовта(тр — ате)) (при иррациональном значении ит— незамкнутая розетка)? В этом уравнении постоянные вт, р, е и до еьт. ' «т ~, т ь =тттй те»т = со~Коз/(та), Ко -. начальный момент импульса, а постоянные а и 6 не зависят от начальных условий. 8.21. Опыт Резерфорда по рассеянию частиц основан на результате решения следующей задачи. Частица массы т (см.

рисунок) и положительного заряда д (в опыте Резерфорда а-частица) пролетает мимо тяжелого ядра массы М заряда й,т. Невозмущенная скорость 70 1. Кинематаика и динамика частицы (на бесконечности) равна и, а прицельное расстояние равно 4. Найти угол 0 отклонения траектории частицы, когда она снова уйдет в бесконечность.

8.22. Комета массы т (см. рис. к задаче 8.21) движется в поле тяготения звезды Я массы М (М » т), имея невозмущеппую скорость (на бесконечности) иа, и прицельное расстояние е1. Найти уравнение траектории кометы и определить угол В, на который отклоняется ее ш,а траектория, когда она снова уда---- — — --- ------ ляется в бесконечность. т 8.23. С какой начальной ско- 1 ростью ио, образующей угол а с го- 19 ризонтом, нужно запустить снаряд М,О с полюса, чтобы он попал на эк- ватор? Землю считать однородным К задаче а.21 шаром, гравитационное поле которого совпадает с полем точки, помещенной в центре Земли и имеющей массу Земли. Найти также наивыгоднейший угол запуска ао (с точки зрения минимизации потребной начальной энергии).

8.24. С Северного полюса Земли запускается снаряд так, что направление начальной скорости ио составляет угол а с горизонтом. Какой должна быть величина ие, чтобы место падения снаряда имело географическую широту д (широта отсчитывается от экватора, причем в северном полушарии ер > О, а в южном ее ( 0)? 8.25. Используя условия предыдущей задачи, выразить эксцентриситет е и параметр р орбиты снаряда через углы а и у. При каких значениях а снаряд может попасть на заданную широту щ? 8.26. Используя условия задачи 8.24, найти такой угол ао, чтобы снаряд упал на широте д с минимальной скоростью. Найти эксцентриситет е и параметр р соответствующей орбиты.

8.27. Найти уравнение траектории частицы массы т в поле центральной силы с потенциалом П( ) = — — + —, (а > О, ~1 > 0). и й т т 8.28. Для объяснения наблюдаемого неравномерного годичного движения Солнца по долготе Гиппарх (П в. дон. э.) использовал гипотезу простого эксцептриситета, состоящук> в том,что Солнце Я (см. рисунок) равномерно вращается по круговой орбите единичного 18. Динампка пзочкп в ценпцюльном поле радиуса вокруг центра О, отстоящего от Земли С на некоторое расстояние е. Используя разложение истинной аномалии д через среднюю аномалию М для эллиптической траектории с эксцентриситетом е = 0,01675, ~р = М вЂ” 2ев1пМ+1514)е~э1п2М вЂ”..., найти наибольшую ошибку в определении истинной аномалии древними. 8.29. Суть планетного механизма Птолемея (П в.

н. э.), объясняющего неравномерность перемещения по долготе внешних планет (Марс, Юпитер, Сатурн) относительно Солнца, состоит в том, что К задаче 8.29 каждая планета Р 1см. рисунок) движется по круговой орбите (эпициклу) радиуса аб вокруг центра %, также перемещающегося по круговой орбите радиуса а (рисунок а), центр С которой находится на расстоянии ае/2 от Земли С. При этом прямая 0% (точка О лежит на прямой СС на расстоянии ае(2 от точки С согласно гипотезе бисекции эксцентриситета) вращается с постоянной угловой скоростью вь Считается, что Солнце обращается вокруг Земли со средней К Кинематика и динамика 72 скоростью р (р > ш) и направление от Земли на среднее Солнце Я всегда параллельно направлению от центра эпицикла к планете, С 8 'б' ХР 1) .