Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 62

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 62 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 62 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 62 - страница

А. 4Ь ( 1. В этом случае 1 о.=Л2 — Л1, Л21= — х -1/21лг иг = о — 11211~ и1 = и Б. 4/с ) 1. — 114 1 и, —. (н — — ) 11 сов( Й вЂ” — 1пЬ), 1 -114 1 и2 =-. (й — — ) 1 1 81п( к — — 1пс). В. 4Ь = 1. В этом случае и1 —— ъ7, иг = ьс1 ]в 1 8.4.6. Найти решение уравнения х + И'(1) х = О, где Иг(1) = — + Я), Ь < 1/4, 1"(1) = спйп В обозначениях задачи 8.4.1 А = 1, В = 1/т, С = 82 — нг ~тг, Л = т.

Полагая т = 1, получим замену [Гл. 8 420 Каноническая теория возмущений Решение. Функция И'(2) удовлетворяет условию Фукса. Поэтому необходимо представить гамильтониан в виде Н=-На+6, На-- — Р + гх К=- — Пл)х. 2 й 2 1 2 Решение уравнения, порождаемого гамильтонианом Но, является КП: х = ил(1) х'+ иг(1) р', р = ил(1) х'+ иг(с) р', ьл1 ьлл ил(с) = —, иг(с) = — —, ег =- Лг — Лы усо иео Гамильтониан, определяющий эволюцию штрихованных переменных Н (:с, р, с) = — 1(с) х (х, р, 2). Полагая в (8.1.7) 2„=- х, 2„=- х(хо, ро., с), получим решение исходного уравнения х(с) = хц(1) — ~ сМ2 я(ь', сл) 1(ьл) х(сл) +..., о где х(с) = ил(2) хо + иг(1) ро, 8(с ., сь) = ~х(Ье) х(ьь)~„, „, = (1Ьо) (Сл'с~~' — гл'слл).

Отметим, что С(2, Р) = — д(с — 2') д(1, Р)— функция Грина уравнения первого приближения Ряд (8.1.7) содержит интегралы вида с ле сИл д'(с, 22) 2" ~с~2 = о В результате интегрирования находим х = ег (Ь) хо + ег(2) Ро: л, лсо (, 01(т) „Ол(т) 01(т+ и) где Вл(т) = т (2Лл + т — 1). Второе линейно независимое решение следует после замены индексов 1 — ь 2. Гамильтонова тоорил специ льн х функций 421 Пусть ф(1) = С22! й = 1С4 — р2.

Тогда решениями исходного уравнения являются функции Бесселя х(с) = ь'с,с„()сс)! ( 1)!' ЗС 2Ь-~-ь ИГ(1+8+о)(, 2 !' ь=о В этом случае Л2 с = 1,12 пс: и, "!о = ',- Г'-,. (' ) †. ° .! !. ° .>(" ) ° ] Следовательно, Л (]11) —.— (Я2) (2с с!1)с !с Г(1+ р) е2(1). 8.4.7. Преобразование Лнувнлля — 1'рина [110]. Произвести КП гамильтониана Н = р~ с2+ со(1) х~,с2, порождаемое ПФ с Ес(х, х', Х) = — ъсшх с1к(х +~ъсшсй). Ответ. 2р! -2~4 в;п(х! ~ сш,11) р = ъ%' ш "4 ( '+ ~, ш 42)~, с Н'(х', р', 1) = — р' вйп2(х'+ ~ 'со с)1). сг 1 Н'(х', р', 1) = р'( — созтх' + )с з)п~х' ].

(,т Важность преобразования связана с тем, что уравнение х = — соз х + й айп х 1 2 ! т х' = (х'! Н'), не содержит функции р'! которая определяется с помощью простой квадратуры из уравнения р' = р' (т 'с — й) з)п 2х'. В терминах меха- ники р'! т' являются переменными действие — угол. 8.4.8. Преобразование Прюфера (109]. Произвести КП гамильтониана Н(х, р, 1) = рзгс(2т(1)] + й(1)хз,с2, порождаемое ПФ Рс(х, х', 1) = (1С2)х2 с18х'. Решение. В новых переменных х =;/2р' з)их'! р = сс2р' сов х' гамильтониан [Гл. 8 Каноническая теория возмущений 422 8.4.9. Произвести КП гамильтониана Н = рг/2+ ш(1) хг/2, порождаемое ПФ г''г(х: р ) = х Р 12.

решение. Из (7.1.2) следует х = ЛР, р = Р' /2х'., Н'(х', р', е) = =- х' (р'г + ш(1)). Уравнения Гамильтона у] ~г х' = ]х', Н'] = 2х'р', Новый импульс р' = р/х = х/х — логарифмическая производная функции х, удовлетворяет уравнению Риккати. 8.4.10. Найти решение уравнения Эйри х — Гх = О. Решение. Гамильтониан задачи Н(х,р 1)= — — — х. р 2 2 Полагая в (8.1.7) з = х, е6 = Н, получим х =- х'+ р'1+ х' —, 1 +р' —, 1 + х' —,1 +...

=- иг(1) х'+из(1) р'. (Ц и'(1) З ~ Г(З) 1 Г-з1 (З1 ~ )' иг(1) = 3 ~~~ Г( — ) уЛ,Гз~з( — 1~~~). Аналогичным путем найдем р = изх'+ игр'. Решение (Ц является КП х, р — э х', р'. Действительно, поскольку из(0) = иг(0) = 1, из(0) = = иг(0) = О, то фундаментальная СП ]х, р] = изиг — огиз —— - 1. Заметим., что в теории дифференциальных уравнений решение (1) следует в результате громоздкой процедуры с использованием рекуррентных соотношений для коэффициентов разложения по степеням й Другая пара решений может быть получена линейным КП вЂ” Г( )(х +Яр), р' = Г(-) (-хо+ ъ'3 ро).

Подставляя (2) в (1)., получим х = Ф(1) хо + ег(1) р". Здесь Ф(1) .= — К,~з(В) =- — ) аз сов[ Вз+ — ), Зя ,Г;) (, з) о Эо(е) = — [гцз(В) + .à — з!з(В)]. зд 3 Здесь иг(е)., иг(1) два линейно независимых решения, которые могут быть представлены в терминах функций Макдональда [111]: Глава 9 РЕШЕНИЕ КАНОНИ'ЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ 'УСРЕДНЕНИЯ 9.1. Введение Пусть гамильтониан Н(в, 1) =- Нв(в) + г.'гН(в, г). Произведем КП в — -- в(я', г), которое исключает Нв из полного гамильтониана.

Новый гамильтониан е 6(з'., г) = ЬН(в(в', г)., 1), где е — - неотрицательный параметр, введение которого — удобный прием., позволяющий построить КП, обладающее заданными свойствами. Произведем теперь преобразование к медленным переменным. С этой целью построим произвольное преобразование з' = с'(и, 1, е) к переменным и„ = (д., гг)., порождаемое некоторой функцией е И'(з', 1, е)., играющей роль гамильтониана: Ь'„=. ~з', еИ'(% 1, е)~., причем г,'„(1в) =.

иг, Потребуем, чтобы новые переменные удовлетворяли системе уравнений (9 1 1) посковьку функцию е Иг(з', 1, е) можно выбрать так, чтобы гамильто- ниан е Л(и, е) = егз6(з'(и, 1, е), 1, е), Ь6(з', 1, с) = 6(я', 1) — Иг(в', 1, с), (9.1.2) не зависел от времени. Из (2) следует, что неопределенная пока функция е Иг(% 1, е) должна иметь вид е И' =- ел'(г', 1, е) + еС(з', е). Для определения составляющих ел'(з', 1, е), е С(з', е) явно и неявно зависящих от времени, наложим два условия. 1) Составляющая Н компенсирует зависящую явно от времени часть гамильтониана е гг6(в'(и, 1, е), 1, е) и одновременно дает вклад в замену в' -э и.

2) Составляющая С дает вклад в гамильтониан е К(и, е) и одновременно компенсирует в замене с' — г и, не зависящие явно от времени составляющие, которые привели бы к возникновению секулярных членов. В этом -- основной принцип интегрирования методом усреднения. Для определения функций о и С необходимо произвести замену в' — г и в гамильтониане с 6(в', 1) и в функции е Иг(в', 1, е), которая неизвестна и в то же время определяет искомую замену. Эта нереальная на первый взгляд процедура осуществляется соотношением (8.1.9). Искомое КП имеет вид (Ц: да =па+с(п*, Ъ 6',+е Ъ'(~иа(М6, Ъ'6Ц+ Цпа: Р6)1 6))+ ° ° ° ~ (9.1.3) и з е К(и, е) = М(е6+ — (1'6, Р6] + — ЦЪ'6, "г'6) 'г'6] +...), (9.1.4) где 6 = 6(п, «). Здесь символ М обозначает операцию выделения функции, не зависящей явно от времени, .о'1 = « — М « — переменная с составляющая «., 'г'« = ) с(«Ъ'1".

Следует отметить., что оператор М вводится лишь для того, чтобы исключить появление секулярных членов, ухудшающих сходимость решения (3). Поэтому предложенный метод интегрирования можно использовать для произвольных гамильтонианов Но(г, «): функции х = х (е', «) могут соответствовать апериодическим степеням свободы.

Пример. Линейное сингулярно-возмущенное уравнение ей+ Ь(«) е+ с(«) о = О, е « 1. Полагая о = х ехр( — ~Р), х = 1' 6 с««, 6 = Ь(2е., находим, что х(«) удовлетворяет каноническим уравнениям с тами.ньтонианом Н(х., р, «) =- — р + — ш(«) хз, и(«) = — «с~ — 6+ —. 2 2 е Произведем теперь КП вЂ” (хеи+ре "), 2 х= (хее — ре е), р= ъ'26 порождаемое ПФ Ез(х, р', «) = — [кх~+2ъ'2«ее тхр'+е ~тр'~).

1 Новый гамильтониан е6 = — (с — Ь) е ввр з + — (Ь вЂ” 2с) х'р'+ — е~ех'~. 2Ь 2Ь 2Ь Перейдем к медленным координатам х', р' э у, я. Пусть действие оператора М приводит к исключению экспоненциальных функций е 1 Меб = — (Ь вЂ” 2с) уя. 2Ь Интегрируя по частям, находим 'г'е6 = е ~ —, езтс«2 — — (с — Ь) е зтнз + о(ез). (2Ь 2Ь 424 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл. 9 9.2] Квадратичные системы 425 Учитывая значение СП [9г, хг! = 49я, получим Из (3), (4) следует искомая замена х=9 — —.(с — 6)е "я+..., — гт Ьг с р= я — е —.е ~гг+ Ьг и гамильтониан, определяющий эволюцию медленных переменных, К=( — — )9, Ь с с в =- — + в — (с — 6) + Ь 6в Теперь найдем решение системы (9.1.1) х = яое ™6 Рг, т = ~ггг в(Х). 9 — оо тЬ!~ Решение исходного уравнения =- иге !до (1+ е — + .) — в (1 + я + )1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее