Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 22

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 22 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 22 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 22 - страница

— "+ "" "+ У(г, гзз). Вектор г соединяет центр масс частиц тз и гпз с частицей пззз К вЂ”- радиус-вектор центра масс системы (рис. 3.3.5). Лагранжиан системы [Гл. 3 Динамика системы частиц Если т1 )) тз, тз, то потенциальную энергию взаимодействия можно представить в виде С =- Ьо + 2)7(У, , т,тз, т,тз о=— г 713 1 1 тзтз Ь17' = — Стзтз — — — С тз т 7П1 Г -С Г13 à — Г1З тзз т1з В нулевом приближении лагранжиан с потенциальной энергией Со описывает промежуточные орбиты [56], эволюция параметров орбит определяется функцией Ьь7. 3.3.6. Задача 2К. Лагранжа [1772).

Три частицы движутся так, что в любой момент времени находятся в вершинах равностороннего треугольника. Показать, что на частицу тз действует сила 2 2 7372 7п1 777' [тз и тз + тзтз] Г17 2 г, (7из -ь тз -ь тз) где гз — радиус-вектор частицы т1 в системе центра масс, Решение. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц С т17п2 С 7п1тз С гп27пз Г12 T13 ггз то,переходя в систему центра масс г, = К + г'„ получим уравнения движения дь7 т1 тз тзтз 71111 7 С 3 [12 11)+С 3 [ 3 11) аг', Г1З Учитывая, что расстояния между частицами а одинаковы и соотноше- ние 2,'7и,г', =- О, получим ..7 7П17П 7 тзг, =- — С, г,. а Возводя в квадрат обе части соотношения тг1 = тзг21 + тзг731, находим тзг712 =- [гизз + гизз + тзтз)аз.

Аналогичным образом можно показать, что равнодействующие сил, действующих на массы тз и гиз, пРохоДЯт чеРез ЦентР масс системы. Мы пРихоДим к вывоДУ, что каждая частица движения по коническому сечению, фокус которого находится в центре масс. Начальные скорости масс должны составлять один и тот же угол с прямой, соединяющей массы с центром масс, а величины начальных скоростей пропорциональны расстоянию до центра масс. 3.3.7. Трем одинаковым частицам, расположенным в вершинах равностороннего треугольника, сообщим одинаковые скорости, направленные от одной частицы к другой.

Определить наибольшее и наименьшее расстояния частиц от центра масс. Динамика систем многих частиц Региение. Согласно условию и результату, полученному в задаче 3.3.6, частицы движутся по коническим траекториям в одной плоскости. Положение частиц определяется функциями г, = гз = гз =- г, 7771 =.

7777 7772 .= 777 + 2я773, дз =- 777 + 4я773. Законы сохранения приводят к уравнениям — т(г + 7 777~) — С = Е, 77ГЗ 7. тг~ф = М. (2) Пусть в начальный момент времени сторона треугольника равна а, а начальная скорость ис = Ст/а. тогда е = — Ст2772а, м = = (1772) т Ста773. Исключая 7д из (1), получим уравнение 2 Полагая г = О, найдем границы движения по координате г: Гз 1 — — а( — т — ). — ."+С ° 2 тгт1 +С тз т12 б) Во вращающейся системе отсчета г'— вектор С не изменяет ориентации, 7пгтз т1 Гз— 7П12 радиус-вектор частицы, г ч7П1 т12 т1з Здесь, в отличие от (1), изменяется величина, но не ориентация вектора ~(1).

в) Произведем в (1) замену переменных (тз77тзз) б + гз = г12 и учтем,что д - - 7П17ПЗ Г12с =- — Г12с — г12ц7 Цззс =- — С з 3.3.8. Ограниченная задача трех тел. Частица массой тз движется в поле тяготения системы двух тел, массы которых т1 и тз. Предпола1ается, что частица не влияет на движение системы тел, т. е. с(с) = гз — г7 и радиус-вектор центра масс системы к(с) — известные функции времени.

Найти лагранжиан частицы тз. а) в инерциальной системе с началом в центре масс системы гпз и тз, б) в системе отсчета с началом в центре масс и вращающейся с угловой скоростью Й(1) вектора с(с): в) в системе отсчета с началом на теле т1. Решепие. а) Пусть гз — радиус-вектор частицы массой тз. Лагран- жиан [Гл. 3 150 Динамика системы частиц Искомый лагранжиан 2 Ь = — гпгг, — П[г,г, 1), [3) 1 гггб'1 тгтз С = — Стгтз( — з ) — С ~[ггг — б[ б' 1 гг 3.3.9. Записать лагранжиан тела, движущегося в поле, создаваемом системой Земля — Луна, и найти вклад Луны в ускорение свободного падения. Решение. Пусть тг, гпз массы Земли и Луны.

Тогда лагранжиан [3) задачи 3.3.8 является решением поставленной задачи. Уравнение движения имеет вид гвгтг б — ггг гпгг12 С з г12 Сгп2нгз ~ з [1) [б-"[' Предположим, что частица движется вблизи поверхности Земли в окрестности точки Р [рис. 3.3.9). Полагая г12 = а + г [г « а), получим после разложения правой части [1) в ряд Тейлора тгг' = тг [ис + Ьд), ио =- — С вЂ”, а, а Г а 3б [аб)1 дЪ' л8= — Ст [ —— [(з з ) — да здесь Ъ' — еприливныйз потенциал, Стз ~3[ба) а ~ 28 сз с2 В точках В, О, лежащих на прямой, перпендикулярной вектору с, величина УскоРениЯ свободного падениЯ Дв и дс+Стза41бз.

В точке А на стороне, обращенной к Луне, и в точке С на противоположной стороне Земли величина ускорения свободного падения одинакова: Р г Рис. 3.3.9 Динамики систем мноеит частиц 151 Ст>тз Огн>гнз С ™зтз )гз — г>) )г> — гз(З)) )гз — гз(З)) ' 3.3.11.

Две частицы движутся в поле тяготения неподвижного тела массой то, причем радиус-вектор К центра масс — известная функция времени. Предполагая, что расстояние между частицами )гз — г>) « Й, получить лагранжиан, определяющий эволюцию вектора г =- г> — г>. Решение. Произведем замену переменных г> —— К вЂ” гтз,>т, гз = = зк+ гт>,>т, где т = т> + гпз. Потенциальная энергия системы тот> >й > К -ь — г т Учитывая разложение в ряд Тейлора функции хК 1 /3(хК)~ 11з 2 >, 11з г 1 з)+ 1 > зх'(Вх) 5 (Вх)'1 2 >, 11з Я>,/ )К+ х) Л 5" » с до — 2Стза>>сз. Относительное изменение силы тяжести >11~>'йо — (тз,>т>) (а>>б)з = 5,7. 10 з.

Ничтожное различие в силе притяжения приводит к повышению уровня воды в точках А и С. В результате суточного вращения Земли вокруг своей оси двугорбая водяная поверхность перемещается. Это и есть приливы )57). Сила трения, действующая со стороны воды на земную поверхность, приводит к торможению вращения Земли. Угловая скорость вращения уменьшается продолжительность суток возрастает.

Приливное воздействие Луны приводит также к деформации Земли как упругого тела. Когда-то породы Луны были в расплавленном состоянии. Приливное трение замедляло вращение Луны, и теперь она обращена к Земле одной стороной. Угловая скорость вращения Земли превышает угловую скорость Луны на орбите. Поэтому из-за трения приливный выступ достигает максимума не в точке на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, а в точке, смещенной в направлении вращения Земли.

Бопее того, изза различия наклонов плоскости земного экватора (23') и плоскости орбиты Луны (5') к эклиптике, вращение Земли выносит приливный выступ из плоскости орбиты. Гравитационное взаимодействие Земли и Луны становится асимметричным относительно прямой, соединяющей их центры. В результате возникают моменты сил, действующих на оба тела. Кинетическая энергия вращения Земли переходит в тепло и полную энергию орбитального движения Луны -- расстояние между Луной и Землей возрастает. 3.3.10. Записать лагранжиан частиц масс т> и тз, взаимодействующих между собой и третьей частицей массы гпз, закон движения которой известен: гз = гз(1). Ответ. Ь = т>г>~>>2+ тзгз~>>2 — ГГ(г>, гз), [Гл.

3 Динамика системы частиц 152 получим лагранжиан Е (г, г, 1) = дгг,12 — У(г, 1), ( ) С тгтг С Нто [З(ВХ)~ г [ 11о г1г) , дто тг — тг [Зг (Кг) 2 [ 11~ 5(йх)г] Л(г г 1)= — + ['( где К = совоЛ ег + япоЛ ег, ог~ Сто/В~, ег г — постоянные орты инерциальной системы отсчета с началом в центре Земли.

Перейдем в систему от счета, вращающуюся с угловой скоростью ы = огез. Тогда лагранжиан задачи приобретает вид 1(г, г ) =- — (г + [агг)) + ( г — г ). Уравнения Лагранжа дг' = 2д [г са) + д [аг [г'агЦ + дог~(ЗВВ ~(Кг') — г'). Совмещая ось х' с вектором К (рис. 3.3.12), получим систему (опуская штрихи) [32[ х — 2агу — Зог х = О, 2 у+ 2огх = О, Е+ог с=О. г (1) (2) (3) Положение тел определяется векторами гг = (тг /т) г, гг = — (тг,1т) г. Пусть тг — масса космонавта, тг — масса спутника. Тогда гг О, гг г. Интегрируя систему (1) — (3) с начальными условиями г(0) =- О, г(0) =- (хо, уо, 0), получим х(1) = — — ' сов ог1+ — япш1+ — ' 2йо хо . 2г)о Ю ог ог 4йо .

2 хо дф = — ' юного+ — (совог8 — 1) — ЗиоЕ. 3.3.12. Центр масс системы космонавт — космический корабль движется по круговой орбите радиуса В. Записать лагранжиан движения относительно центра масс и решение уравнений движения. Решспис. С необходимой точностью лагранжиан, описывающий движение космонавта и корабля, имеет вид (см.

задачу 3.3.11) Динамика систем мноонт частиц Если ио -— — О, то г(1) описывает эллипс с полуосями ло /ац 2то/аг. Значениям до уг О соответствует незамкнутая траектория, перемещаюшаяся со средней скоростью — Зуо в направлении оси д'. Следует отметитгч что в системе отсчета, связанной с Землей, траектория космонавта— эллипс (см, задачу 1.6.7-1.6.8). 3.3.13. Две частицы движутся в поле тяготения тела массой то, причем вектор г =- гг — г1 -- известная функция времени.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее