Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. как пй ° ньт тда пм ' 2СЙ т. е. в пределе как тй ° ви: кйа. Следовательно, если угол Р;СР: Рсп=Р: С то предыдущее отношение будет (Ст )еч) ° Ра Поэтому, если из центра С радиусом СР или Си описать сектор, равный площади УСР, описываемой радиусом СР, то разность сил, действующих на тела Р и Р и заставляющих первое из них описывать неподвижную орбиту, второе †подвижн, так относнтся к такой центростремительной силе, под действием которой любое из этих тел, двигаясь равномерно по кругу, описывало бы его радиусом в одинаковое время сектор, коего площадь равна плошади гРС, как (Са — Р'):Р', ибо сказанный сектор и площадь Рбрс относятся друг к другу, как времена описания их. Следсялеие Л.
Если орбита Л'Х есть эллипс, коего еокус С и дальняя вершина Г и берется равный и подобный ему эллипс муй так, чтобы было постоянно расстояние же РСилирСобозначнть через А и параметр эллипса — через 2В, то сила, под действием которой тело может обращаться по подвижному эллипсу, будет пропорциональна количеству Рл В Ат — +- (Ст — Р') °вЂ” Аа и наоборотчп Действительно, если силу, под действием которой тело обрашается по неподвижному эллипсу, выразить количеством Аа, тогда сила, ее В принечании 45 приведено выражение силач обратно пропорцвональвоз квадрату расстоиниэ, пол аезстввеп котороз тело описпаает коническое сечение се 1 ое 1 ел=в и Яре и Ат Но а данник случае полатаенис р=я Рт действующая в точке У, будет — „, —, Сила же, под действием которой тело при расстоянии СУ могло бш двигаться по кругу с такою же скоростью, какую имеет тело, движущееся по эллипсу в вершине У, так относится к силе, действующей в атой вершине, как полупараметр эллипса к полудна- В метру СУ круга, и следовательно, составит Р— „сила же, относящаяся В кней, как((ьн — Р'2):Хе,составит(6' — Ра), но эта последняя сила (по след.
1) равна разности сил, действующих в точке У' ыа тело Р, движущееся по неподвижному эллипсу УРК, и ыа р, движущееся по подвижыому эллипсу мрй. Бо так как при расстоянии А эта разность относится ь чановой же при 1 1 В расстоянии СУ как —: — то она составит (62 — Р') ° — и приложится Аа' СУ2 ' Ае рн к той силе —;, под действием которой тело обращается по неподвижному эллипсу, так что полная сила, которая может заставить телО обращаться по подвижноиу эллипсу мрй в такое же время, как предыдущая по неподвижному, составит Ра В А' ( ) Аа Следсньние Э. Таким же образом получится, что если ыеподвижыая орбита УРК есть эллипс, коего центр С совпадает с центром сил С, подвижпая же орбита ирй равыа и подобна ыеподвижыой и йВ есть параметр этого эллипса, 27 — его большая ось и отношенне УСр: УСР= 6:Г, то силы, под действием коих одно тело будет обращаться по неподвижному эллипсу, другое в то же самое время — по подвижному, отыосятся"'между собою, как значит будет 22 1 Фт = — ' — т Лу Ае саедовательно (р — Р2 сс ст 1 ст (-р 2 ((ре р Н Н~ Ро Ай в 'Ае=В.Р '( 4 ст Это и есть оормула следствия Э, ибо есть ностоянная.
тес На основании оормуяы (о( нримечавня 44, будем иметь ст ° 4 Фт=.— йта следовательно будет (Уе — Рт 22 ст А с2 ГР'2 °,4 Л 2 ф-$-Ет= —,.+- —, =- — — -. — ч (Де Рн(.— Ро .42 Втт =ВР2 ~ Уо ',(вА' — 190— Следсеявяе 4. Вообще, если наибольшее удаление Су' тела обозначить через Т, раднус кривизны орбиты уРХ в точке ут обозначить через Рь и центростремительную силу, под действием которой тело могло бы описывать какую-либо неподвижную траекторию, положить для точки Р' равной Х.-Р' Т2 во всяком же другом месте Р обозначить через Х, расстояние СР обозначить через А и взять попрежнему С:Р= Угчу: утСР, то центростреиительная сила, под действием которой тело могло бы обращаться по той же траектории мрй, но равномерно вращающейся, описывая ее в одинаковое время, будет выражаться 'о' суммою Х Х Следствие б.
Когда движение тела по какой-либо неподвижной орбите задано, то можно увеличивать или уменьшать угловое его движение около центра сил в заданном отношении и находить новые неподвижные орбиты, по которым тело будет обращаться под действием новых центросгремительных сил. Следование б. Если провести неограниченную прямую РР (елиг. 88Ь) перпендикулярно к заданной по положению прямой Срт и, соединяя СР, откладывать равную ей длину Су под углом р'СР к прямой СР, находящимся к углу УтСР в постоянном отношении, то сила, под действием которой тело у может двнгаться по этой кривой Утуй, будет обратно пропорциональна кубу расстояния Ср, ибо тело по прямой УР может двигаться по ияерции без действия какой-либо силы. Следовательно, когда приложенная сила, напра- лес При сделаинмк обоаначениял, полагая скорость тела в точке Г равной с, буден иметь „а уб.
рт и о=о ° Т, следовательно будет от=Лг ° йч. Н ч — <ас р'а1 . н лг Ав а так как рс = Х, то и получится приведенная а тексте оорнула. — 191— вленная к центру, обратно пропорпиональяа кубу расстояния СР или Су, то по только что доказанному прямолинейное движение обратится в криволинейное по )дуй. Зта кривая гуй одияакова с тою УГРЯ, которая найдена выш1 (предл. Худ, след. 3) и по которой, как там указано, те.ю под действием такого рода силы движется косвенно, удаляясь от центра. Предложение Ху Ч.
Задача ХХХ1 Уч Р„ЛГ2 г Л(аа Ув) 1л Подставляя в числителе Т вЂ” Х вместо А, получим ТР ХРг + 77(вз Рз) .)ч (о ) Также и выражение всякой другой центростремительной силы надо привести к виду дроби, коей знаменатель был бы А', после чего, собрав подобные члены, положить, что числитель этой дроби и дроби (*) пропорцнояагьны.'ы На примерах дело становятся очевпдным. ют Это место высказано столь пратт, что длн правильного его понимании надо сперва прочесть указанные примеры, п тогда обнаружптсн, что предлагаемое правило можно вызнавать оодроонее таз: длн орбиты, весьма близиой н кругу, онисываемойподдействием заданной центростремительной силы, надо представить выражение, понззьпаюжее зависимость зтси силы от расстонн~ы Л в виде дроби, знаменатель моторов 1З. В чпсаитые полученной дроби написать 7' — Х вместо л1 и раыожить его в рнд по стеневни буквы Х. Пусть полученвсе раззоженне будет ЛУ ь йгХ -ь РХз ч-...
с или, что то 'не, лгу ч- Х(Х+. РХ-+- .). Туебуеплся опуедагмть двмжение веутнк (амсид) оубкт, весьма бгплккк к кургйь Эта задача решается вычислением, распоряжаясь так, чтобы орбита. описываемая яа неподвижной плоскости движущимся по неподвижному эллипсу телом, приближалась по своему виду к той, движение вершин которой ищется, и определяя затем вершины этой описываемой на неподвижной плоскости орбиты.
Орбиты же получаются одинакового вида, если при срввненин центростремительных сил, под действием которых ови описываются, окажется, что этн силы, прн одияаковых расстояниях, между собою пропоршюнальны. Пусть точка Р есть дальяян вершина орбиты; обозначим через А — расстояниее СРили Су, через Т вЂ” наибольшее расстояние СГ, через Х вЂ” разность расстояний С)г — СР. Сила, под действием которой тело может двигатьгя по вращающемуся около своего центра С эллипсу, выражается (предл. Х1 Ч1.
след. 2) так: — 192— УУрмлсер 2. Положим, что цевтростремительпая сила — постоапяая, т. е. Ал пропоршюпальпая †, или, написав в числителе Т вЂ” Х вместо А, Т' — ЗТи Х вЂ” ЗТХт — Х' л)л Собирая и сраввивая члевы, содержащие и яе содержащие букву Х, имеем пропорцию (В(6' — Рт) -+- ТРч ): Т' = — Рн Х: ~ — 37ч Х -+- 3 ТХт -+- Хв) = — Рч, 1 — З.Т' -е- 3 ТХ -+- Хв); так как орбита предполагается весьма близкой к кругу, то в пределе, когда опа сольется с кругом, надо взять В = Т и Х бесконечно малым, и предельиые отяошекия будут Вбп: Т'= — Р'. — ЗТ' 6'.
Т'=Рв: 37ч, 6т:.Р'= 1: 3, 6: Р= ) Ср: )гСР= 1: ))3. т. е. и значит, Так как тело, при движении по пеподввжвому зллипсу, при переходе от дальней до ближней вершины описывает угол РСР (если можно так выразиться) в 180', то другое тело, движущееся по подвижному эллипсу, а значит, и по той неподвижной орбите, о которой идет речь, при переходе 180о от дальней до ближней вершины опишет угол )гбр, равяьй — Зто проьсз исходит от подобия орбиты, описываемой телом под действием посгояввой центростремительной силы, и орбиты, которую описывает телоиакеподвижяой плоскости, совершая обороты по вращающемуся зллипсу.
При помощи вышеуказанного приведеяия члевов подобие орбит достигается пе вообще, Условие пропорциональности вгоа дроби и дроби Ге) бу;сет (П (сзт — Рч) — тли]: М= — Ре: (УУ-е. РХ- ° — ...). так как орбита весьиа бливка к кругу, та в пределе будет т=я п Х=о; обовначан черен Мо и Жо — величины, в исторые об)птатси М и Ь', когда в ник будет положено тгв В, получим Логе: Мо — — — Рт: уто. Откуда и наадетси искомОе отвоглеиие Мо )тго — 193— гг' — и '!Т вЂ” Х) — Т" — аТ ° Х -1- ° Т Хв -+- .. При сличении этих членов с членами числителя дроби (е) ау,ьт — У7)- Тт — Рзх получим [В!Сз — Рв) + ТРз):Т"= — Уз:~ — пТ"-'-»-и' " Т"-' Х-+-...
~, 2 переходя к пределу, когда орбиты круговые, будем иметь г л. Тн г — Рт. Нтп Откуда следует Сз: Ег = 1: и С: Е = ИСр: угСР = 1: 17и. н значит, Так как при квин!енин по эллипсу угол У»СР, описываеиьш при переходе от дальней вершины до ближней, составляет 180о, то угол РСр между еоз обобщение понятия о степени и ее показатезе на некие угодно чис»а прин»дяежит Неки»ну. С»сдует также обратить внпманне ва то, что раззоженне везнчивы (т — Х)п по порву»е «бинома», которую он зазывает хнаш ряд», шннется дтя всякого показатезя и. Указания, какам образом такие раззожевия производить,ваходятса в сочинении Ньютона — сАпа1уз!е рег аезпш!овсе впшего !егшшогюп !пзппач», которое было смющено в рукописи Барроу в 1669 гч но пе было издано до 171! г.
Это есть один нз примеров, где Ньютон — пщьзуетгя в своих »Началах» математическими методаии, еиу пзвестныип, но во опуб»пкованными. э лишь в том случае, когда онп обе весьма блнзви к кругу. Итак, тело, обрашаюп1ееся под действием го!тониной центростремительной силы по орбите, весьма близкой к кругу, будет описывать между дальнею н ближнею ' 1ВО' вершиною угол прп центре в = = 103 55 23, т. е. ври переходе тела !УЗ из дальней вершины в ближнюю радиус, проведенный к телу, описывает этот угол, затем при переходе от ближней вершины до дальней опять описьшаетсн этот угол и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
