Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Это следует вз леммы ХХ1Ч, следствие 3. Таким же способом можно найти зочки касания и щючих касательных и затеи по построению задачи Х1Ч описать и самую кривую. ПО У!ИНЫЕ Задачи, в которьгх задаются или центры, или аснмптоты, заключаютгя в предыдущих. Ибо когда даны точки и касательные вместе с центром, то тем самым задается еще столько же точек илп касательных, расположенных в одинаковом расстоянии по другую сторону от центра.
Асимптоту можно также считать за касательную и ее бесконечно удаленную точку (если можно так выразиться) — за точку касания. Вообрази, что точка касания какой-либо касательной удаляется в бесконечность, тогда эта касательная и обратится в асвмптоту и построения предыдущих задач обратятся в построения при заданной асимптоте. После того как еигура построена, можно нанти ее осн и эокусы следующим образом: в построении и чертеже леммы ХХ1 сделай так, чтобы стороны ВР и СР подвижных углов РВИ и РСлЧ (енг. 61), коих пересечением описывается кривая, стали бы между собою параллельны; если, сохраняя такое взаимное расположение этих сторон, врапеать углы около вх полюсос — 142— В и С, то вторые их стороны Слт' и Вгтг опишут точкою своего пересечения й круг" ВОКС. Пусть центр этого круга есть О.
Иэ этого центра опусти ва ту пряную Мат', ао которой велась точка пересечения сторон при описании конического сечения, перпендикуляр ОН, пересекающий круг в точках е .вь Ег Это поучезие составляет дополиеиие к лемме ХХ(, в которой дава «оргаввчсское эостроеввеэ — «йевсх(рко огйыпсао — ионических сечеиий. Положим сперва, что кривая есуь гипербола (виже будет показаио, при паком условии зто имеет вестой тогда ветрудво построить иаярэялевия ее эсимптот, ибо очеиидво, что зти вапрзщеиия суть тс, при которых точка оерессчевия лучей.
уделяется в бесковечвость и лучи стаиовягся яарзллельяыми. Положим сперва, что лучи, капразляясь параллельво, лежат яо ту же егорову хорды СВ и что точка Вг яа прямой МЖеоть точка пересечевпя ведущвх «торов углов ври этом их положевии; тогда, проведя через РУ прямую КгН, параллельвую СР в ВР, видик, что угол СВВ = «-«- Э следоеательпо точка Г«люкит иа сегменте, вмещающем этот угол т = а ч- В. Жслв же второе асвиптотичесяое папрюыеяие рыяолагаетгя так, что прямые СР в ВР идут по разные егоровы хорды ВС, то угол СМВ и — («ч-йй т. с.
сегмент СМВ,дополяяет предыдущий уо поляого круга. Таким образом точки пересечения М и В ведущей прямой с кругов, вмещающим ва хорде ВС угол а-ей, лают положевия ведущих сгорая, соответствующяе вапраелевиям асимптст. Так как ваправлевия осей разделяют угол межэу асииптстами пополам, то этим вапрэвлевиям будут соответствовать ва круге середины дуг МЛ", т. е. коими Х и Х дкяясюря, я«ри«ибикус«рве«о к ирллоб МХ направление лучей, соответствующее пересечеввю ведущнх «торов в точке Х, дает ваирзялезие одвой оси, саотвпгствующее точке Х вЂ” другой. Прв эчпм то иаярэилевпе, поторое разделяет пополам тот угол между аскмптстами, в котором лыкит правая, дает глазвую ось, т. е. ту, ва которой лежат иояусы. Когда прямаи МРУ пересекает круг, то кривая есть гипербола, мбо ее асямптоты вещсствеияые.
Когда же МВ круга ве пересекает, то кривэя есть эллине, во так как построевие вапрзялевий осей ««лаев««яв от того, пересекается ли МЖ с кругом, вли кет, то ово о«таст«и бсэ извевеиий. Есле МВ касается кругл« то кривая есть парабола. Центр найдется по пересечению двух диаметров; для того же, чтобы построить диаметр„стоит только, шяв яакую-нибудь хорду кривой, проходящую через один из полюсов, навр. С, провести через точку З луч, ей параллельный, и построить точну кривой, лежащую па зтом луче. 11рямая, проходнщая через середвяы параллельяых хорд, и есть диаметр. Удобнее всего за направление этих двух диаметров брать определенные, как показано вьгше, направления, которые параллельны осям, тогда сам собою получается прямоугольник, впигляный в кривую, а так как отношение между Лзинаии осей известно (см.
зрим. 82й то найд,утся н самые оси. Соединим точку З с точкой ЬГ, иногда угол КВЬГ=2о есть угол между асимптогами; пусть З есть радиус круга, тогда: КХ = КХ ° соз / — — 1) = 2З ° зшз 3 12 КХ= 2З ° зш 3; 1.Х = ДХ ° соз о = 2З ° созз о, ио отношение осей Ь вЂ” =гкй а следонательяо Ьз КК яз 1Х К и Х. Когда углы занимают такое положение, что их пересекающиеся стороны СК н ВК сходятся в точке К, ближайшей к пряной МХ, то направления СР, ВР первых сторон углов параллельны большой ося конического сечения, перпендикулярные же ии — малой. Обратное имеет место, если взять более отдаленную точку В.
По известному положению ш центра кривой найдутся и ее оси, после же того как оси найдены, получаются и аокусы. Кроме того, отвоупевие квадратов" осей друг к другу равно отношению КН к ВН, следовательно легко построить кривую, подобную данной н проходшпую через четыре заданяые точки. Ибо, если две из данных точек принять за полюсы, то третья даст подвижные углы РСК, РВК когда же зги углы нзвестнь1, то можно провести круг ВОКС. Затем, так как вид кривой задав, то будет известно отношение ОН к ОК, т. е.
самое ОН. Если из центра О радвусои ОН описать другой круг, то касательная к атому кругу, проведенная через точку пересечения сторон СК ч ВК, при тои положении подвижных углов, при котором нх первые стороны СР и ВР проходят через четвертую из данных точек, и будет тою прямою Мльг, при номощи которой строится кривая. Обратно, можно в данное коническое сечение вписать четырехугольник, подобный данному (за исключением некоторых случаев невозможности). Есть и еще леммы, при помощи которых можно строить конические сечения заданного вида ко заданным точкам ч касательным. Напр., лемма такого рода: если через заданную точку проводить пряную, пересекающую даныое коническое сечение в двух точках, и расстояние иежду зтимв двумя точками разделять пополам, то точка делеыия опишет коническое сечение, подобное данному, и оси его будут параллельны осям данного.
Но я нерейду к более полезным. Лепна ХХТ1 Расположить веукзипы зиуегаольиика, по виду и величине уавною заданному, гиок, чзиобы каждая из инк лежала иа однай из пзуек задакник кеиауаллелвиик пуямык. Фнп ез Пусть даны по положению три неограниченные прямые АВ, АС, ВС (аиг. 62) и требуется расположить заданный треугольыик ЭЕР таь, чтобы его вершина З лежала ва прямой АВ, вершина Š— на праной АС и вер- шквал — на ВС Опиши около ЭЕ, ЭР, ЕР трв сегмента ЭЯ.Е, ЭОР, ЕМР, вмещающих углы, соответственно равыые ВАС, АВС, АСВ.
Эгп сегменты надо описывать по такую сторону пряных ЭК, ЭР и ЕУ', чтобы последовательыость букв ХИЕЭ была бы одинаковой с последовательностью ВАСВ, ЗОКЭ вЂ” одинаковою с АВСА и ЕЛХРŠ— одинаковою с АСВА. Этн сегменты дополняются до полных кругов. Пусть первые два круга пересекаются в точке 6, и пусть Р н Д вЂ” центры их. Соединив РО, РД, возьми 6а так, чтобы было Оа: АВ = РО: Рч и точкою 6, как центром, и радиусом Оа опиши круг, пересекающий первый круг З6Е в точке а. Проведи затеи аЭ, пересекающую второй круг ЭЕО в Ь, и а Е, пересекающую третий круг Ег)зР в с.
Остается построить фигуру АВСггсу', равную и подобную фигуре айсЭЕР, и задача будет решена. ДействительвЬ, вроведеи Рс, пересекающую аЗ в и, и соединим аб, ЬС, 96, г~Э, РЭ. По построению углы РаЗ= САВ асР= АСВ поэтому треугольники аис и АВС имеют соответственно равные углы. Следовательно, угол аис или РиЗ равен АВС, значит и углу РЬЭ, что показывает, что точка и совпадает с точкою Ь. Угол ба равный половине угла при центре СРЭ, равен углу при окружности гзаЭ, и угол СфР, равный по.ювине центрального угла ЕЧЗ, равен доволвению до двух прямых угла при вершине 6ЬЭ, значит равен углу СЬа, и треугольники СРД и Сад между собою нодобны, и Еа:аЬ= 6Р:У9= Са:АВ гпо построению), следовательно аЬ равно АВ, поэгому треугольники аЬс н АВС, о которых доказано, что они подобны, вместе с тем и равны.
Так как, сверх сего, вершины Э, .Е, Р треугольника ЗЕР ленгат на сторонах аЬ, ас, дс треугольника аЬс, то можно построить знгуру АВЮе1, равную п подобную згигуре аЬсЭЕР, и задача будет решена. Сгедсигвгге. Подобным же способом можно провести прниую так, что ее отрезюг, заключенные между тремн другими првмьгми, будут заданной длины. Вообрази„что вершина .0 треугольника ЭЕР упадает на сторону ЕР н что его стороны составляют продолжение одна другой, так что этот треугольник обратилсн в прямую линию, коей отрезок данной длины ЭЕ должен заключатьсн между заданными прнмыми АВ и АС и отрезок заданной же длины ЭР— между прямыми АВ и ВС. Применив к этому случаю указанное построение и получим решение задачи. 11редложеиие ХХ з'111.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
