34_PiskunovT2 (Полезный учебник по дифференциальным уравнениям), страница 5

Интегрируя, накодии ) — = — з! — +С; т. е. )п!р)= — )п(к)+ х ' ,) и зх .(-1п(С! е') или 1и!у)=1п! С/хй отсюда получаем общее решение: у=С!х. Пример 3. Дано уравнение (1+х) рбх+(! — у) хл~=о. Разделяя не- 1+х 1 — у /1 ременные, находим — 'Нх+ — Фу=о, ~ — +11! Пх+( — — !) бр=о.

Ин- х тегрнруя, получаем 1п! х1+х+1и (у ~ — у=С, нли!п ! хи~+к — у=С; последнее соотношение есть общий интеграл данного уравнения. П р имер 4. Установлено, что скорость распада радея прямо пропорциональна его количеству в каждый данный момент. Определить закон изменения массы радия в заввсимости от времени, если при !=О масса радия была тр.

*) Эти преобразованвя законно производить только в той области, где ни Ж,(р), ни М, (х) не обращаются в нуль. '") Имея в виду дальнейшие преобразования, мы обозначили произвольную постоянную через 1п(С), что допустимо, так как 1п(С) (при С же) мо'кет принимать любое значение от — оч до + со. !ГЛ. ХРИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Скорость распада определяется следующим образом. Пусть в момент 1 была масса т, в момент 1+61 — масса гл+бт.

За время бт распалась масса йт. от Основ.ение — есть средняя скорость распада. Предел этого отношения при Ьг ог — оО Ело йп йш АО о ог от есть скорость распада радия в момент 1. По условию задачи (4) Рис. 255. где й — коэффициент пропорциональности (й > 01. Мы ставим знак минус потому, что при увеличении времени масса радия убывает и, следовательно, о1гл — < О. лг Уравнение (4) есть уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные: Решая уравнение, получим!пт= — йт+1пС, откуда !п — = — й( Ш С т=Се ай (5) Так как при 1=0 масса радия была т„то С должно удовлетворять соотношению ло =Се " о=-С. Подставляи это значение С в равенство (5), получим искомую зависимость (рнс. 255) массы радия как функцию времени: ГЛ = Газо Р Ы (6) Коэффициент й определяется из наблюдений следующим образом. Пусть за время Го распадается а% первоначальной массы радия. Следовательно, выполняется соотношение 1 — — ) шо=тое )— а'1 ы 100 ! откуда или 1 Г а й= — — 1п ~1 — ). г, ~ 100)' Таким образом было определено, что для радия 4=0,000436 (единица измерения времени — год).

Подставляя это значение й в формулу (6), получим ш — шее-о,оооомо Найдем период полураспада радия, т. е. промежуток времени, за который распадается половина первоначальной -массы радия. Подставляя в последнюю шо формулу вместо и значение — получим — =тое о оооооот, откуда 2 2 4М ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА — 0,000436Т вЂ” )п2, или )п2 Т=, =~590 лет.

Заметим, что к уравнению вида (4) приводят и другие задачи физики и кимни. Замечание 1. Пусть функция ~а(у), входящая в уравнение (1), имеет корень у=Ь, т. е. ),(Ь)=О. Тогда, Очевидно, функция у =Ь есть решение уравнения (1), в чем легко убедится непосредственной подстановкой.

Решение у=Ь может и не получиться из формулы (1"). Мы будем проводить анализ этого случая, но отметим, что на прямой у=Ь может нарушиться условие единственности. Приведем пример. Уравнение у' = 2)' у имеет общее решение у=(х+с)' и решение у=О, которое не получается из общего решения. На прямой у = О нарушается условие единственности. Замечание 2.

Простейшим дифференциальным уравнением с разделенными переменными является уравнение вида „вЂ” "=Т(х), или йу=г(х) йх. Его общий интеграл имеет виду = ~ )'(х) йх+С. Решением уравнений этого вида мы занимались в главе Х. $5. Однородные уравнения первого порядка Определение 1. Функция ~(х, у) называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если при любом Х справедливо тождество 1 (Лх, Лу) = Лх) (х, у) . Пример Ц Функция )(х, у)=у/ха+уз — однородная функция первого (((*. ((=~/4~ ~(((' (г 4.Р (((*, (.

Пример 2. )(ху)=ху — у' есть однородная функция второго измерения, так как (Лх) (Лу) — (Лу)з Лг(ху уз) хз — уз Пример 3. ((х, у)= есть однородная функция нулевого измеху (Лх)'- — (Лу)з х' — уз репка, так как =, т. е. Г(Лх, Лу)=Г(х, у), или (Лх) (Лу) ху )(Лх, Лу) =Лз((х, у). Определение 2. Уравнение первого порядка —,„=Их; у) оу называется однородным относительно х и у, если функция )'(х, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и 'у. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл.

хш Решение однородного уравнения. По условию ~(),х, )у)=)(х, у). Положив в этом тождестве 1=1/х, получим )(х, у) =) (1, — "), Сделаем подстановку и= — „, т. е. у=их. р Тогда будем иметь йу йи — = и+ — х. ох йх Подставляя это выражение производной в уравнение (Г), получим и+х — „~ =~(1, и). Это — уравнение с разделяющимися переменными: йи Пи 0х х — =1 (1, и) — и, нли их 1(!,и) — и х' Интегрируя, найдем Подставляя после интегрирования вместо и отношение у1х, получим интеграл уравнения (1').

П р н мер 4. Дано уравнение ир хр их х — у Справа стоит однородная функция нулевого намеренна; следовательно, нмеем однородное уравнение. Делаем замену у/х=и; тогда йу пи у=их, — =и+х —, г1х их ' Пи иа х йх 1 — из' Ни и и+х — = йх 1 — и'' разделяя переменные, будем иметь !1 — и')йи йх / ! ! ! йх — ( — — — ) й~= — 1 иа х ' ! иа и,) х т.

е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (1) в этом случае примет вид йе1 УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ 27 отсюда, интегрирун, находим 1 1 — —,— !п)и)=1п)х)+!п(С), или — — з=!п)ихС!. Подставляя и=у/х„получим общий интеграл исходного уравнения! хз — — =1п)Су'1. йуа Получить у как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Впрочем, здесь легко выразить х через у: х=уу — 21п) Су).

3 а м е ч а н и е. Уравнение вида М (х, у) г(х+й((х, у) г(и=О будет однородным в том и только в том случае, когда М (х, у) и Ф(х, у) являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пример 5. Уравнения (2х+Зу) Фх+(х — 2у) Уу=о, (ха+у*) дх — 2хубу=О являются однородными. 5 6. Уравнения, приводящиеся к однородным К однородным уравнениям приводятся уравнения вида 0у ах+Ьу+с ах азх+Ьгу+ст ' (1) Если с,= с=О, то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть теперь с и ст (или одно из них) отлйчиы от нуля. Сделаем замену переменйых х=х,+й, у=у„+й. (й) Тогда иут бх бхх ' Подставляя в уравнение (1) выражения х, д и и, будем иметь Й/ бут ах!+ Ьут+ ай+ ЬЬ+с ихт а хь+Ьгут+агь+Ьзй+ст 1гл. хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 28 Подберем й и й так, чтобы выполнялись равенства ай+Ьй+с=О, а,й+Ь,й+с,=О, (4) т.

е. определим й и й как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным: ду~ ах>+Ьу> ах, = а,х,+Ь,у, ' ау (ах+Ьу)+с ).( +Ьу)+с (5) Тогда подстановкой г=ах+Ьу (6) уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, — = а+Ь вЂ”, »г»у ах дх ' откуда >>у 1 аг а Б ЬЖ Ь Подставляя в уравнение (5) выражения (6) и (7), получим 1 »г а г+с Ь »х Ь > г+сг' а это есть уравнение с разделяющимися переменными.

Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения >>у )> ах+ Ьу+с Б 1а>х+Ь>у+с>/' где 1' — какая угодно непрерывная функция. Решив зто уравнение и перейдя снова к х и у по формулам (2), получим решение уравнения (1). Система (4) не имеет решения, если 1:г ",1=' т.

е. аЬ,=а,Ь. Но в этом случае — '= — '=А, т. е. ат=Ха, а Ь Ь, = АЬ и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ Пример 1. Дано уравнение сгу х+у — 3 стх х — у — 1' Рещая систему двух уравнений Ь+ц †3, находим 3=2, А †и †, В результате получаем однородное уравнение цуг хг +УГ цхг ха — уа' яоторое решаем подстановкой уг — =и; хг тогда агу г с(и уг = ихь — = и + хз —.

сГхг уха' сГц 1+и и+х,— —, схг 1 — и' и мы получаем уравнение с разделяющиьгггся переменными с1и 1+из х,— = —. цхг 1 — и ' Разделяем переменные: ! — ц сГхг с(ц = —. + цз Интегрируя, находим агс!Уи — 2 1п(1+из)=1п(х,(+1п(С(, 1 агс!У и= 1п~ Сха ф' !+из(, нлн Схг ~/ 1.!.ца загс!к и Подставляя сюда — вместо и, получим уг хг асс!ив Ус С (ггха.+уаг =с Наконец, переходя к переменным х н у, окончательно получаем у-! а сгк— С 1/ (х 2! +(у 1)а е х-2 Чтобы преобразовать его в однородное уравнение, делаем замену х=ха+йа у=ус+у. Тогда с(уг хг+уг+Ь+й — 3 цха х у, +й 1гл хш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗО Приме р 2.

Уравнение 2х+ у — 1 4х+ 2у+ 5 уже нельзя решить подстановкой х=х,+Ь, у5 ут+й, так как в этом случае система уравнений, служащая для определения й и й, неразрешима (здесь 12 11 определитель ~ 2~ из коэффициентов при переменных равен нулю). Это уравнение можно свести к уравнению с разделяющимися переменными заменой 2х+Е=г, Тогда у'=г' — 2, и уравнение приводится к виду ' — 2— 2г+5' или 5г+ 9 а'= —. 2г+ 5' Решая его, найдем — г+ — 1п15г+91=х+С.

2 7 5 25 Так как г=2х+у, то мы получим окончательно решение походного уравне- ния в виде 2 7 5 12х+е)+ — 1п1 рйх+5р+91= +с, нли 1Оу — 5х+ 7 1и 1 !Ох+ 59+ 9 1 = Ст, т. е. в виде неявной функции у от х. 9 7. Линейные уравнения первого порядка Оп р еде лени е. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид —,~+ Р (х) у = Я (х), где Р(х) и ье (х) — заданные непрерывные функции от х (или постоянные). Р е ш е н и е л и н е й н о г о у р а в н е н и я (1).