А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Полезно заметить, что ряц Фурье зависит не только от вида кривой, которую этот ряд прецставляет, но и ог положения начала координат относительно этой кривой. Например:, если зе Ботасов)паа пьплеловатсльпость пвлооаротпмп пмаульсоп А Величины А(а)) и с(ы) представля)ог амплнтудньп) и фазовьы спектры функпукг Йг). Налип)н множителя 1/(2к) в (8.16) показывает, по А(с)) являетси плотностью амплитуд, отнесенной й частотам т= е)/(2к), а не к круговым частотам, поскольку формула (8.16) может быль представлена в вице )Ц /Т (8.21) (8.22) А» 1/о/(™) три = к/2.
/ -т/2 О т/2 Зб исаи»ран»нимб иримаугоиьнмй иьиг/льс (8.23) Следовательно, (8.24) О при — со <2<О, у(/) =1 ( (/ае '/'при О<с< со, зт Лмол!«туднмй со»игр ига»ирои»иного ирина!гол»мин и»нуль«и О. л зз 6иситр ими»итуд баснин»иной иаслсдоиитсльнасти аи«маер»том» ампул»сан начало координат на рнс. 32 расположить не в середние импуль- ЗР са, а ближе к одной из его границ то периодическаа функпил— относительно этого начала не будет облапать определенной би четпостью.
Следовательно, се ряд Фурье будет отличатыи от (8,32), поскольку в нем варя/б/ с членами, содержащими сор лен, присутствуют члены с й!и лиг. Спектр пилообразных нмпульсогь Рассмотрим бесконечную последовательность пилообразных импульсов (рис 34). Имеем: т/2 г а = 2 (/о ) /'(г)бг = — (4 ! (1 — — ) б/ = (/о Т 'П2 7 'О Т Ю а»»а — (/о ! (1 — — ') сей ли!б! = О, 2 г ~» (/а ! (1 ) Яп лиг«1!= уа 1 д г! Спектры амплитуд и фаз даютск формулами Спектр амплит)И изображен на рис 35: амплитуды убывают обратно пропорционально номеру гармоники. Оинтр взолвроваюиго примоуголыюго импульса Этот импульс изображав на рис. 36 Имам «/2 к(и) (/ ~ е ~огбг (/ т и/н(ет/2) —./г вт/2 А(Ь) =2(/от ~ ~, гр(И) =О.
Б!о (ам/2) ип/2 Амплитудный спектр А(и) показан на рис. 37. Свекгр зксееевцвальж убывавацей фуикциж Найдид спектр функции график которсй изображен на рнс. 38. Имеем а Г(и) = (/о! е '/" «мб/ =(/от/(1+/ит). о Следовательно, А(в) = 2С«т/ /Т+азтз, В(в) = вс (8.25) зй ~вийю> аксиоиенцвальио убы щей (>гавана 20~с 39 Аыилиеулный сиен>В ексионеиниалыю убывающей (>гавани (8.26) Ьвт/2 = л.
Следовательно, между шириной спектра по частотам Ьо= =Ьв/(2л) и продолжительностью импульса Ьг =т существует соотношейие (8.27) ЬоЬг >ю1. ло Фа>оный сиектв зксионеиииально >бываквией вулкана Вмесю знака с>рогато ранена>вв испольюван знак приблизительного равенства, ч>обы подчеркну>.ь неопределенность Амплитудный А(о>) и фазовый >О(о>) спектры показаны на рис 39 и 4(г Соотношение между продолжительностью нмпулмв и шириной спектра Продолжщельпос>ью импульса называе>ся промежуток времени Ьь в >сченис коюрога нм»ул>с су>пественпо о>личаегся гл нуля.
Шириной спектра называется ингерввл час. тот Ьж на котором амплитуда спе>вра существенно отлична гп нуля В этих определениях имеется неопределенность, а именно не уточнено, чтб понимать пол словами существенно отлична от нуля. В зависимости аг определения этою понятия несколько изменяе>ся соо>ношение между продолжительностью конкретного импулыж и шириной его спектра При выбранном определении данного гюнятия это соотношение изменяется для различных импульсов в зависимости от формы. Поэтому универсальнон> соотношения мсжлу продолжи.шльностью импульс> и шириной спек>ра не существует. Однако есть универсальная закономерность в соотношениях между продолжительностью импульса и шириной спектра, которая соблюдается при различных определениях понятия «существенно отлична аг нулин и пля импульсов различной формы Эта закономерность гласит: ширина спектра обратно проаорпиональна продолжи > ельнос и> импульса.
Выведем эту закономерность на примере прямоугольного изолированного импульса (см. рис. 36), когда определение его продолжительности не вызывае> сомнений, — продолжительность импульса Ьг = т. Сдругой стороны, ширина спектра этого импульса (ви. рис. 37) также определяе>ся довольно естес> венно: это интервал частот от нуля ла частоты, при которой амгшитудв обращается первый рвз в нуль, поскольку последующие максимумы амплитуд незначительны по сравнению с основным максимумом при в=О. Поэтому лля ширины спектра Ьв можем написать равенство определений Ьо и Лг, в результате которгй соотношение справедливо лишь с точностью ло множителя порядка единицы. Соотношение (8.27) принимается в качестве универсального 5 В соотношения межлу продолжительностью импульса и шириной спектра.
Основной вывод из (8.27) заключается в том, что чем короче продолжительносп импульса, тем более широким спектром частот сн обладает. Другими словами, нельзя надеяться представить очень короткий импульс набором гармонических функций с небольшим интервалам частот.
Если Ьг О, то в спектре присутствуют всевозможные частоты от малых до очень больших. Смешные начащ отсчета примешь Пусть вместо функции Лг) имеется функция Лг — го),.гле го — постоянная.. Это изменение аргумента не изменяет формы импульса, а изменяет лишь начало отсчета времени (рис. 41) При этом изменяетси образ Фурье-'функции Л 4! О Смещение начала отечета времени р; (щ) = (Дг — г ) е щбг = е ' " ! т (б) е г г(чь = (8.28) = г(щ)е — '"' гле произведщ переход к новей переменной интегрирования г, =г — щ Таким образом, смещение начала отсчета времени в точку го изменяет фазу образа Фуры на — его, т. е. оставляет бее изменения амплитудный спектр и изменяет фазовый. Смешщще спектра по частотам.
Аналогично может быть выяснено влияние сдвига частот, т. е. замены г" (щ) -ч р(в — гоо): е 1н. (Г) = — 1 Г(щ — ФО) ЕЕн'дщ = 1 Е'"" .1 Г(Ч)ая'СЦ = (8.29) =дг) емы гле ч = щ — тоо. Таким образом, смещение спектра нн ото эквивалентно модуляцив временной функпиисщрмоническим множителем с частотой гоо. Отрицательные частвтьь Комплексный спектр (8.8) полностью определяет как спектр амплитуд А(то), так и спектр физ в(от) посредством соотношений (8.16) и (8.17) Однако в большинстве 'случаев удобнее обсуждать спектр функции, пользуясь непосредственно выражением Р(щ) без перехода к величинам А(щ) и гр(щ) Поскольку аргумент Р(го) принимает как положительные, так и отрицательные значения, возникает вопрос о смысле отрицательных частот.
Примем во внимание, что еьм описывает комплексный единичньй вектор (рис. 42, а), проведенньш из начала координат и вращающийся около этого начала от оси Х к оси у при увеличении г. Это направление принимается за положительное, поскольку оно свшано правилам правого винта с направлением 42 Клнанчиме иоеищеиеиые веитарые е вавравлеинем вращмвм иалви нтеиьвым (в); отравительным (о) оси л. Комплексный единичный вектор е '"' п)ж увеличении с вращается в отрицательном направлении (рис.
42, й). Поскольку функция Яс) через образ Фурье выражается формулой (8.7), зеюпочаем, что Р(Ф) при Ф > О описывает плотность спектральной компоненты частотой Ф с положительным направлением врасцения, а р( — Ф) — плотность спектральной компоненты той же частоты в, но с отрицательным направлением вращения. Такам образом, обращение к отрнпатессьссьвю частотам связано с изменением базисных функций, с помощью которых осуществляется Фурье-преобразование, а именно с переходом к исзапсасощимся комплексным вектором ках базисным функциям Фурье-преобразования. Все сксссаиное об отрнцательных частотах в связи с (8.7), разумсезся, полностью сохрющст свое значение и для рядов Фурье в комплексной форме. Теорема Парсевалж Исходя из представления периодической функции в.вилл рада Фурье (8.3), найден интеграл по периоду от [с[г: г(г г(г ! 7(с))в(с)йс Е .с„с„! ехр[с(л — и')Фс[йс, -гуг — -гсг пг Учитывая, что ! ехр [С(л — л') Фс)[йс = И~, получаас равенство -гсг (8.30) которое называется сеоремой Парсева ля Для ряда Фурье (8.
1) в вещественнсй форме получаем (8.31) Теорема Плаисперели Если с'(с) представлено в виде (8.7), го для интеграла от квадрата модуля [/(с)[г аналогично предыцущему случаю получаем формулу (8.32) вырюкщощую теорему Плвншереля. Ф Иезффмциенты рмда Фурье нлн Фурье-образ функции зависит ет положенна начала отсчета времени. Смеитральный состав функции однозначно определаетсв козффнцментанм рада Фурье. Амплитудный и фазовый спактры епмсьсваютса веществемнынн чнсланм. Спещенне начала отсчета враненм приводит к унноженмю Фурье- образа функции иа фазовый множитель, зеансащнй от снащенна и част.оты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
