Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка

В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 23

DJVU-файл В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка, страница 23 Уравнения математической физики (УМФ) (2618): Книга - 4 семестрВ.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка: Уравнения математической физики (УМФ) 2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин - Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 23 - страница

Уд(х)е "— + дя(х) — = д(х)ш+ Ь(х). к„аао Вш Ох ау Общее решение; ш = Ф(н)С(х, и) -г С(х, и) 51, и = е " — Г(х), гг(Г) ае ти где Г(х) = Л с)х, С(х.,н) = схр( ), ха — любое. Л( ) ' ' ' 5.а Хг(Г)[аУГ(Г)) 8.8.2. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции х и произвольные функции у О а 1. а — + 6 — = сто+ 5(х)д(у). а ау Общее решение; = ест [Ф(Ь вЂ”, )+ — ' Гщ ('(' ')+"у) -сдобь] Геа а где ха -. любое. Ощ ака 2. с — .+ Ь вЂ” = око + ху(у) + уд(х). Ох Оу Общее решение: ю = е' "5(ф(ьх — ау)+ —, / (сете( ' ) + [ь(1 — х)+ ау)д(е))е " 'сгь) а о, 3.

с + Ь = а (х)щ+ д(х)Ь(у). Ох Ву Общее решение: — Г(х)[Ф( )+ — / '(,) д(И )с)1], и=Ь где Г(х) = ехр[ — / 1(х) г(х]. 4. с + Ь = [У(х) + д(у)]то+ р(х) + д(у). Общее решение: ш = ехр [ — / у(х) Ах Ф вЂ” / д(у) ду] (Ф(ьа — ау) Ф вЂ” / [р(х)-~-д( )] ехр( — — / [у(х)+д( * )] да)дх), где и = Ьх — ау. При интегрировании и рассматривается как параметр. 5. сх + Ьу = сто+ у(х)д(у). Общее решение: ш = х Г [Ф(х Шу) + — 1 ~ ~'У )(1)д(ещ" х ищу) гИ]. а*а Вш а б. Хт(х) — + Уа(у) — = ате + дг(х) + дя(у). Ох Оу Общее решение: га = Ег(х)Ф(и) + Е1 (х) 1 'Сг + Еа(у) I 5 т"1(")Ег(х) 5 Ыу)Е (у) ' где Ег(х) = ехр[а / ], Е (у) = акр[а / — ], и = / — / 128 дннвянмн юавнвния вндя Г(х, у)+ + д(х, у)+ = Ь~ (х,у)ю+ бо(х, у) и~ = ехр[хт( У )](Ф( — ") Ф / д(1,ие)ехр[ — ГД(и)] — ), и = —, где хо —. любое.

+ бр = 1(х, у)ю + д(х, у). дю дю дх др Общее решение: ю = схр[ — ) — У(х, и щх щ) г(х](Ф(и)+ + — 1 — д(х, и х ) ехр[ — — 1 — 1(х, и х ) г)х] гГх), 1 Г1 П Н Г 1 Рт гГ а! а, т а х где и = у" х . При интегрировании и рассматривается как параметр.

у(х) — + д(х)у — = ях, р)ю + х (х, р). дю дю дх ду Общее решение: 3. ю = Н(х, и) [Ф(и) + / 4 Г(х)Н(х.и) где С = С(х) = схр[1 ' дх], Н(х,и) = ехр[(' У(х) оГх], и = —, Р С' Л(х, иС) пх]. При интегрировании П ) и рассматривается как параметр 4. У(х) + [дт(х)у+до(х)] = Цх,у)ю+У(х,у). Общее решение: и~ = Н(х, и) [Ф(и) Ф / ' ~1х], где С=С(х) =ехр[~' ~'~дх], Г) =Г)(х) =С(х) ~ уо(.) "х Г(х) ' ' ' 4 Г(х)С(х) ' При интегрировании и рассматривается как параметр.

4 (х) "' + [д,(х)р + до(х)у"] = 6(х, у)ю + Г(х, у). При и = 1 см. уравнение 5.8.3.3. При й ~ 1 замена С = у' и приводит к уравнению вила 5.8.3.4: т(х) — -Н (1 — д) [дг(х)8 Ф до(х)] — = 6(х, 8 '-г ) ю+ Р(х, 8 '-Я ). Х(х) + [дт(х) + до(х)с""] = Цх,у)ю+ Е(х,у). дх ду Замена я = е ~Я приводит к уравнению вида 5.8.3.4: д Г(х) — — Л[дг(х)я 4-до(х)] — = Ь(х, — — 1пя)ю Ф г'(х, — — 1пя). дх 5.8.3. Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции двух переменных дю дю 'р' — + у — = ху,— ) + д(х, у). д др Общее решение: 6. Линейные уравнения вида ~(х, у, з)ф + д(ж, у, л)ф + й(ж, у, л)ф = О 6.1.

Предварительные замечания 6.1.1. Методы решения 6.1.1-!. Характеристическая система. Структура общего решения. Рассмотрим линейное одноролнос уравнение в частных произаолных первого порядка стремя независимыми переменными вида дю дю дю Д(х., у, ») — -1- д(х., у, ») — -1- й(х, у, ») — = О. дх ' ' ду ' ' д» Если известны два нсзанисимых интслрана (интслршльный базис) и1(х, у, ») = Сы из(х, у, ») = Сз (2) характеристической системы (3) Д(х,у,») д(х,у,») б(х,р,») ' то общее решение уравнения (1) имеет вид ю = Ф(иы и»), (4) 6.1.1-2. Метод решения, основанный на переходе к новым переменным.

Пусть известен одна интеграл и(х, у, ») = С системы (3). Переходя от х, у, » к новым пере- меннылл х, у, и = и(х, у, »), получим линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными х, у: — дю дю )'(х, у, и) — + д(х, у, и) — = О, дх ' ' др (5) в которое и входит как параметр. Функции ((»ау, и) и д(х, у, и) получаются из Г(х, у, ») и д(х, у, ») с помощькз перехода к переменным т, у, и.

О решении уравнений (5) см. Равд. !.2. 6.1.1-3. Физическая интерпретация. Уравнсние (1) описывает стационарное распределение концентрации вещества в трехмерном потоке (без учета диффузии). При этом считается, что компоненты скорости жидкости по осям х, у, » определяются соответсгвенно функциями г, д, 6,. Оа ейнаедатири яре»дену 6 ! 1: Э Камке П966) И Г Петровский (!970) Н й!лес К Дпя Ы Н Ашнпдяоп (! 986), В. Ф.

Зайцев, Д. 11. Полян ни (1996). 9 В. Ф. Звинвв, А Д Поннннн глс Ф произвольная функция двух аргументов. Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разл. 6.2- 6.8, часто будет указан только интегральный базис. Общее решение этих уравнений можно потучить с помощью формулы (4). 130 линвяныв тгввнвния вида Д(х, у, с) а + д(х, у, х) — „",' + й(х у з) а, = О 6.1.2.

Задача Коши (задача с начальными данными) 6.1.2-1. Классическая задача Коши. Требуется найти решение ю = ю(х, у, г) уравнения (1), удовлетворяющее условию ю = За(у,я) при х = ге, (6) где цг(у.с) --.известная функция. Начальное усгювие (6) удобно представить в параметрическом виде: х = хс, у = бг г = (з ггг = Ьг(бг,бг), (ба) где бг, бз параметры. 6.1.2-2. Физическая интерпретация задачи Коши.

1'. Стациаиггриая интерпретация задачи Коши. Пусть х, у, я --. пространственные координаты, ю концегпрация. Считается, что распределение концентрации описывается стационарным уравнением переноса (!) и в начальном сечении х = хс задан профиль концентрации (6). Требуется найти ю = гг~(х, у,с) в потоке за начальным сечением (при х > хе). 2". Пестациоиириая шипериретация задачи Коши. Пусть х — время, у и я . пространственяые координаты, ю - . концентрация (2 = 1). Считается, что распределение концентрации описывается нестационарным уравнением переноса (!) и в начатьный момент времени х = хс запан профиль концентрации (6).

Требуется найти ю = ю(х, у, з) в последующие моменты времени (при х > хе). 6.1.2-3. Процедура решения задачи Коши. Для решения задачи Коши подставляют начальные данные (ба) для независимых переменных в интегралы (2) харалчеристической системы (3) и добавляют к полученным выражениям послслнес равенство (ба): цг(ха сг сз) = Сг, цз(тс,ьг ьз) = Сз, ги = Ьа(чг ьз).

(7) Затем из первых лвух уравнений (7) выражают Рг и Рз через Сг и Сг и подставляют их в правую часть последнего равенства (7). В результате находят зависимость ю =,4,(С„Сз). (8) Подставляя сюда вместо С1 и Сг левые части интегралов (2), получают решение задачи Коши: ю = ф(иг(х, у, г), из(х, у, )). (9) 6.1.2мй Обобщенная задача Коши. 6.1.3. Конкретные примеры Пример 1. Рассмотрим уравнение дю дю дю — 4 а — Х Ьх — =. О. дх ду дя (10) Характеристическая система 1 а Ьх Формулировка обобщенной задачи Коши: требуется найти решение ю = ю(х, у, г) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям х = рг(ьг,сз), У = Ия(ьг,ьг), с = згз(сыфг), ю = Ьсг(сысз), где Ры Рз-- параметры (огд < Рг,з < ()нз), а Ьгь(бг,фг) - заданные функции.

Метод решения обобщешюй залачи Коши аналогичен методу, описанному выше в равд. 6.1.2-3. Ов Литература я ригдегу 6 1 2: тх Камке (1966)„И. Г. Петровский ( ! 970), Н. Кйее, К. Лг1з, Н, К. Лти1гдзон (! 986). ТЗТ 6.2 Уравнения, еидерлеащие еимненные фуню!ии р — к=с, ° — трб ,г 1! ' Поэтому общее решоние уравнения (11) имеет вид = Ф(Р— „— з Ьхз), где Ф произвольная функция двух аргументов. Пример 2.

Рассмотрим уравнение а а а — + ах — + Ьр — =- О. а ар а. Запишем характеристическую сисзсму в виде двух уравнений (13) (14) ах 1 Ьу Общее решение первого уравнения дается формулой р — —.ах = Сз. (! 5) Выразилг отсюда у через х и подставии повученнос выражение во второе уравнение (14). В рсзулшатс имеем ег, = 6(С -1- з ах ). Интегрируя, получим с — 6С х — 1, абхз = Сз.

Исключая отсюда С! с помопзью равенства (15), находим второй интщрал е — Ьхр -1- — абх' = Сз з з Общее решение уравнения (13) является произвольной фуикпией двух аргументов (15) и (16): ш .= Ф(р — —., ах,з — Ьху-1- — аЬх ). 1 з з з (!6) пример 3. требуется найти решение задачи коши щгя уравнения (10) с начвльныле условием (! 7) при с=1. Запишем начальные данные (17) а параметрическом виде х=! у=9! с=ба, ш=дь!9ь (17а) а затем подставим их в интегралы (12) характеристической системы (11). В результате имеем Сз — а =. Сд, бз — ! 6=-Сз. Выразив отсюда( иб через С и Сз и подставив их в последнееравенство(17а), получим ю = А(С -1- а) (Сз -1- +6) Заменив С! и Сз левыми частями равенств (12), находим решение задачи Коши ш = А(у — ае-1-а)н(е — — , 'Ьхз -1- ! 6)"'. 6.2.

Уравнения, содержащие степенные функции 6.2.1. КОЭффнцИЕНТЫ ураВНЕНИй ЛИНЕЙНЫ ПО ш, у, х 1. а +Ь +с =О. ах ау а Интегральный базис: пт = Ьх — ау, из = сх — ал. (") аимвритури: Э. Камкс !1966) дю +,„дю + Ь„аю О ах ар " а Интегральный базис: и! = ахз — 2у, пз = Зз+ ах(ахз — Зу). аю дмэ аю 3. а — +Ьу — +сх — =О. дх ду дх Итегршзызый базис: иг = )у!'е ь*, из = !з!'е "'. Ов Лимераяпра. Э. Камке (1966).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее