Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 8

2.79. 1) Доказать, что для "прямолинейного" треугольника с углами ды ~оз, ~рз имеет место неравенство у1+ ~рз + (рз < я. 2) Доказать, что "прямолинейный" треугольник с точностью до "движения" определяется своими углами уы уз уз. Построить "прямолинейный" треугольник по его углам. 98. рациональные и алгебраические функции 39 9 3. Рациональные и алгебраические функции Общее отображение круга или полуплоскости на односвязную область ю-плоскости имеет вид ю = цг[1(д)], где ~с(з) — частное отображение, а 1 — произвольное дробно-линейное отображение круга или полуплоскости на себя (обратное отображение имеет вид г =1[Ю(ю)]).

Это замечание необходимо иметь в виду при нахождении нормированного отображения, т. е. отображения, удовлетворяющего определенным дополнительныгн условиям. Если условия нормировки не даны, то в ответе обычно указывается одна из отображающих функций. При фактическом построении конформных отображений важную роль играют некоторые общие принципы (см., например, [1, гл. 1Х, и.

5 и гл. Х, и. 7] или [3, гл. П, 91 и 93]). Принцип симметрии Римана-Шварца Пусть граница области Рь содержит дугу окружности С (в частности, прямолинейный отрезок), и пусть функция ю = ~г(г) реализует конформное отображение этой области на область Р,* такое, что дуга С переходит опять в дугу окружности или прямолинейный отрезок С*. Тогда функция ?г(г), принимающая в точках, симметричных относительно С, значения, симметричные значениям ?г(г) относительно С" '), будет аналитической в области Вг, симметричной с областью Рь относительно С и будет отображать ее на область Рг, симметричную с Р» относительно С . Функция 1ь(г) в ю = ?г(г) = ?г(г) нв Уг(г) в Ры С, Р', Рь + С+ Рг на область реализует конформное отображение области Р*+ С*+.0*г) ) Если С н С* — отрезки действнтельных осей (к этому всегда можно прнйтн, совершив дополнительные дробно-лннейные првобрвзоввння), то уг(л) = П(г).

г) Отобрвженке будет взаимна однозначным, вали области О~ н х?г, в также г?з н Р» не пересекаются. Принцип соответствия границ Пусть В и Р* — односвязные области с границами С и С*, причем область Р* расположена целиком в конечной части плоскости. Если функция ю = ?(г) аналитична в Р, непрерывна в Р и осуществляет взаимно однозначное отображение С на Се с сохранением направления обхода, то она осуществляет взаимно однозначное и конформное отображение области Р на Р*.

При решении задач этого и следующего параграфов в случаях, когда отображение осуществляется ветвью многозначной функции, рекомендуется проследить за соответствием точек на границах отоб- 40 Г*.В. Конформнеев отооралеения ражаемой области и ее образа (это относится в особенности к зада- чам на отображение областей с разрезами). 2.80. При помощи функции ю = зз и ей обратной найти конформное отображение следующих областей: 1) внутренности правой ветви равнобочной гиперболы хз — рз = аз на верхнюю полуплоскость; 2) внешности параболы рз = 2рх, р > 0 (т. е. области, ограниченной етой параболой и не содержащей ее фокуса) на верхнюю полуплоскость.

Примечание. Об отображении областей, ограниченных кривыми второго порядка, см. также задачи 2.110, 2.111, 2.136 — 2.140, 2.175. 2.81. При помощи функций, указанных в предыдущей задаче, отобразить: 1) внутренность окружности г = асоз~р (о > 0) на внутренность 1 кардиоиды р = — (1+ сов 0); 2) внутренность той же окружности на внутренность правой ветви лемнискаты р = ~/сов 28; 3) круг ф < 1 на внутренность кардиоиды р = А(1+ созд), А > О, так, чтобы ю(0) = А/8, ю'(0) > О. 2.82. Найти область, на которую отображается круг ф < 1 при помощи функции ю = В(з + птзз), В > О, 0 < ти < 1/2.

Найти образы полярной сетки з-плоскости. 2.83. Найти область, на которую полукруг ф < 1, Не з > О, отображается при помощи функции ю = з + гз. 2.84. 1) Найти область, на которую круг)з~ < 1 отображается при от помощи функции ш = В(з+ — /, В > О, и — целое число, и > 1. 2) Найти область, на которую отображается внешность единично- 1 го круга ~з~ > 1 при помощи функции ю = В(з+ — ~, В > О, и— Пво1' целое число, и > 1.

Примечание. Об отображениях, совершаемых функцией = В(. + -1) (функция Жуковского), см. задачу 2.106 и дальнейшие. 2.85. 1) Выяснить, для каких значений еп функция ю = В(з+ + епз"), где п — натуральное число, осуществлвет конформное отображение круга ~г~ < 1 на некоторую область, и найти эту область. 2) Выяснить эти же вопросы для отображения внешности круга ф < 1 при помощи функции ю = В(х+ ™1 и внутренности того же пу круга при помощи функции ю = В~- + гпл /.

71 ГЗ. Рацианалъные и алгебраические функции 41 Отображения круговых луночек и областей с разрезами 2.86. 1) Отобразить угол 0 < агйг < ясг (О < о < 2) на верхнюю полуплоскость. 2) Отобразить угол — — < агцл < — на верхнюю полуплоскость 4 2 так, чтобы ю(1 — 4) = 2, ю(4) = -1, ю(0) = О. 2.87. Найти функцию ю(з), отображающую полукруг [з~ < 1, 1гп з > О, на верхнюю полуплоскость при условиях: 1) ю( — 1) = О, ю(0) = 1, ю(1) = оо; 2) ю(~1) = ~1, ю(0) = оо; 3) ю(Ч = г, агбю'Н 2.88. Найти функцию ю(г), отображающую полукруг [г] < 1, 1т г > О, на круг ]ю] < 1 при условиях: 1) ю(~1) = ~1, ю(0) = — К; 2) ю(-) = О, агбю (-) = —. 2.89.

Найти функцию ю(л), отображающую область [г[> 1, 1птг > > О, на верхнюю полуплоскость. 2.90. Отобразить на верхнюю полуплоскостгн 1) сектор [г] < Л, О < аг8 г < тсг (О < сг < 2); 2) область (г] > Л, 0 < агаг < нсг (О < сг < 2). 2.91. Отобразить на верхнюю полуплоскость следующие круговые луночки (двуугольннки): 1)]г]<1, ]г — 4]<1; 2)]з]<1, [з — 1]>1; 3) ]г] > 1, ]г — 1] < 1; 4) ]г] > 1, ]г — 1] > 1; 5) ]г] > 2, [г — ъ'2[ < чг2. 2.92.

Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного верхнего полукруга. В задачах 2.93 — 2.105 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.93. Плоскость с разрезом по отрезку [ — 1,1]. 2.94. Плоскость с разрезом по отрезку [-г,4]. 2.95. Плоскость с разрезом по отрезку [гыге]. 2.96. Плоскость с разрезами по лучам (-со, — Л], [Л, со) (Л > 0). 2.97.

Плоскость с разрезом по расположенному в первом квадранте лучу, выходящему из точки 4 параллельно прямой у = з. Гл.П. Конформнме отоароменил 42 2.98. Плоскость с разрезом по дуге окружности, соединяющей точки — 1 и 1 и проходящей через точку 1Ь, где 0 < Ь < 1. 2.99. Полуплоскость 1т з > 0 с разрезом по отрезку [0,1Ь), Ь > О. 2.100. Полуплоскость 1тл > 0 с разрезом от 1Ь до со вдоль положительной мнимой полуоси (Ь > О). 2.101. Полуплоскость Ппл > О с разрезом по дуге окружности [а[=1 отточки а=1 доточки з=е', где О<а<я, 2.102.

Угол 0 < агйз < яД, где 0 < д < 2, с разрезом по дуге окружности [з[ = 1 от точки з = 1 до точки г = е', где 0 < а <,9. 2.103. Внешность единичного верхнего полукруга с разрезом по отрезку [О, -1[ (внешность "лопатки"). У к а з а н и е. Линейным преобразованием сводится к предыдущей задаче. 2.104. 1) Круг [з[ < 1 с разрезом по радиусу [О, Ц; 2) внешность единичного крута с разрезом по лучу [1, сс). 2.105. Найти отображение круга [з[ < 1 на ш-плоскость с разрезом по лучу ( — со, — -~ при условии, что ш(0) = О., ш (О) > О. 11 Р й Функции Жуковского 2.106, Найти преобразование полярной сетки [л[ = В, аг8» = а 1/ 11 с помощью функции Жуковского ш = — ~а+ -~.

21 2.107. Найти области, на которые функция Жуковского отображает; 1) круг [л[< В < 1; 2) область [з[> В > 1; 3) круг [е[ < 1; 4) область [л[ > 1; 5) полуплоскость 1гпл > О; 6) полуплоскость 1тз < О; 7) полукруг [л[ < 1, 1т - > 0; 8) полукруг [г[ < 1, 1шз < О; 9) область [г[ > 1, 1т г > О; 10) область 1 < [л[ < В, 1шз > 0; 11) область В < [з[ < 1, 1ш з > 0; 12) область — < [з[ < В, 1ш г > О, Не з > 0; 1 13) угол — — а < агйз < — + а (О < а < — 1.

2 2 2г' 2.108. Найти преобразование полярной сетки с помощью функций: 1) ш = — ~л — Ч; 2) ш = -(з+ — ) (о > 0); 3) ш = — р + — ~, с = [с[е" (О < 7 < я). уу. Рациекальнме и алееараикеские функции 43 2.109. Пользуясь функцией Жуковского, отобразить: 1) внешность отрезка [-с, с] (с > 0) на внешность единичного круга при условии, что ш(оо) = оо, агбш'(оо) = а; х у~ 2) внешность эллипса — + — = 1 на внешность единичного круае 6' га так, чтобы ш(оо) = со, ахйш'(со) = О. 2.110. Отобразить верхнюю полуплоскость с выкинутым полуэллипсом —, + —, < 1, у > О, на верхнюю полуплоскость. х у ае 2.111. Отобразить двусвязную область, ограниченную софокусными эллипсами —, + —, = 1...

+ „, = 1 (а > Ь), на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат и найти модуль (см. с. 37) данной двусвязной области. 2.112. Найти область, на которую функция Жуковского отображает круг [х] <1 с разрезом по отрезку [а, Ц ( — 1 < а <1). Рассмотреть случаи а > 0 и а < О. В задачах 2.113-2.117 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.113. Круг[а[ < 1 с разрезом по отрезку [1~2, Ц.

2.114. Круг ]х] < 1 с разрезами по радиусу [-1,0] и отрезку [а, Ц (О < а < 1). 2.115. Внешность единичного круга с разрезами по отрезку [ — а, — Ц и лучу [1, оо), где а > 1. 2.116. Верхнюю половину круга ]э[ < 1 с разрезом по отрезку [О, аъ] (О < о < 1). 2.117. Верхнюю половину круга ]х] < 1 с разрезом по отрезку [аг, ь] (О < а < 1). 2.118. Отобразить круг [х[ < 1 с выкинутым отрезком [(1— — Ь)е', е' ] на единичный круг плоскости иь 2.119. Круг [х[ < 1 с разрезом по отрезку [а, Ц, 0 < а < 1, отобразить на круг ]ш] < 1 так, чтобы ш(0) = О, и'(0) > О. Найти ш'(0) и длину дуги, соответствующей разрезу.