Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 7

Доказать, что если линейное отображение круга (з( < 1 на себя не сводится к повороту, то никакое концентрическое кольцо с центром в начале координат не переходит в концентрическое. Примечание. Это предложение есть частный случай следующей теоремы. рМ. Дополнительные вопросы теории линейныз преобразований За Для того чтобы существовало конформное отображение кольца гз < ф < гз на кольцо Вз < )ю) < Вз, необходимо и достаточно выполнения условия Вз/Вз = ге~ты При этом отображающая функция может быть только двух видов: ю = аз или ю= а/з.

Отображение однозначно определяется заданием одной лары соответствующих друг другу граничных точек (см., например, [3, гл. П, 3 3]). 2.61. 1) Отобразить кольцо 2 < )з) < 5 на кольцо 4 < )ю( < 10 так, чтобы ю(5) = -4. 2) Отобразить кольцо 1 < )х — 2г( < 2 на кольцо 2 < (ю — 3+ 2з) <4 так, чтобы ю(0) = — 1 — 2з. Имеет место следующая теорема. Каждая двусвязная область, границы которой не вырождаются в точки, может быть конформно отображена на концентрическое кольцо с вполне определенным отношением д радиусов внешней и внутренней окружностей (д — модуль двусвязной области). 2.63.

Полуплоскость Вез > 0 с выкинутым кругом (е — Ь( < В (Ь > Л) отобразить на кольцо р < (ю~ < 1 так, чтобы мнимая ось перешла в окружность ~ю) = 1. Найти р. Указание. Построить окружность с центром в начале координат и ортогональную к окружности (з — Ь~ = В; затем найти линейное преобразование, переводящее действительную ось и построенную окружность в две пересекающиеся (ортогонально) прямые, и убедиться, что при этом рассматриваемая область отобразится в концентрическое кольцо. Доказать, что центр этого кольца совпадает с началом координат, если точки пересечения построенной окружности и действительной оси переводятся в 0 и со. 2.64. Полуплоскость Нее > 0 с выкинутым кругом )з — Ь~ < 1, Ь > 1, отобразить на кольцо 1 < 1ю~ < 2. Найти Ь.

2.65. Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями ~з— — 3( = 9, ~з — 8! = 16, отобразить на кольцо р < ~ю! < 1. Найти р. 2.66. Двусвязную область, ограниченную окружностями )г— — ез! = гы (з — ез) = гз ((зз — зз! > гз + гз или )ез — зз) < )гз — гз!), отобразить на концентрическое круговое кольцо с центром в начале координат.

Найти модуль (зз) области. Указание. Найти пару точек, взаимно симметричных относительно обеих окружностей, и отобразить одну из них в О, а другую в со. Примечание. Нетрудно убедиться, что метод решения, рекомендованный в указаниях к задачам 2.63 и 2.66, один и тот же. 2.67. Пользуясь решением предыдущей задачи, найти модули двусвязных областей, ограниченных данными окружностями: 1) )з 4 = 2 )з+ь) = 5; 2) )л — Зь! =1, )з — 4( = 2.

рл.!й Кокфармкые отображения Групповые свойства дробно-линейных преобразований Преобразование Т(г) = Тз[Ть(г)) называется произведением преобразований Ть и Тз и записывается в виде Т = ТзТь (порядок записи важен, так как, вообще говоря, ТзТ1 ф ТьТг). Множество С преобразований Т образует группу, если оно содержит произведение всяких двух принадлежащих ему преобразований и вместе с преобразованием Т содержит обратное ему преобразование Т '. Группа, состоящая из степеней Т" и Т " одного преобразования Т, называется циклической. Если группа С образована из преобразований Ть, Тг, ..., Т„ путем построения всех обратных преобразований и всевозможных произведений данных и обратных им преобразований, то эти преобразования называются порождающими группу С.

Точки, получаемые из фиксированной точки г с помощью всех преобразований группы 6', называются эквиеалекткыми или конгруэнтнььни относительно группы С. Фундаментальной областью группы С называется область (связная или несвязная), которая не содержит ни одной пары точек, эквивалентных друг другу относительно данной группы, и в окрестности каждой граничной точки которой имеются точки, эквивалентные точкам области. 2.67.

Пусть Т; — линейные преобразования: Доказать следующие утверждения: 1) Т = ТьТг — линейное преобразование с определителем Ь = = Ь|Ьз,. 2) произведение преобразований ассоциативно, т. е. (ТВТ2)Т1 = Тз(ТзТь)~ 3) каждое преобразование Т; имеет обратное Т,. ', т, е. Т;Т, ' = Т, 'Т; = Х, где Х(г) = — г — тождественное преобразование; 4) произведение преобразований, вообще говоря, некоммутативно (привести примеры). 2.68. Доказать, что преобразования 1 1 г — 1 Ть = г, Тз = -, Тз = 1 — г~ Тл = , Ть — > Ть— 1 — л' г — 1 образуют группу (группа акгармокическик отношений). 2.69. Доказать, что множество линейных преобразований, заключающихся в повороте плоскости вокруг начала координат на углы, кратные а, образует циклическую группу.

В каком случае эта группа будет состоять из конечного числа преобразований? ря, допоенитееьные вопросы теории еинейныв преобразований 37 2.70. 1) Доказать, что множество преобразований вида ш = аз+ Ь = —, где а, 6, си д — целые действительные числа и ад — 6с= 1, сх+д образует группу (эта группа называется модузяркой). 2) Доказать, что если а, 6, с и д считать целыми комплексными числами (т. е.

числами вида гп+ из, где пз и и — целые действительные числа), удовлетворяющими условию ад — Ьс = 1, то множество преобразований из и. 1) также образует группу (группа Пикара). 2.71. Найти фундаментальные области для групп, порождаемых преобразованиями: 1) 7(з) = ез'Ппз (и — натуральное число); 2) Тз(е) = езец"з, Тз(з) = †; 3) 7(е) = з + ш; 4) Тз(з) = з +ш, Тз(з) = -з; 5) Тз(е) = з + шы Тв(е) = е + «зз (1ш †' ф О) (двоякопериодическая «и группа); б) Тз(з) = 3 + «з1, 72(з) = з + ш2 Тз(е) = — 3; 7) Тз(з) = е + «з, Тг(е) = зз; 8) Тз(з) = з+«з Тз(з) езсцзз.

9) Тз(г) = з+ «з, Тз(е) = ез"рвз. 2.72. Найти группы линейных преобразований, соответствующих при стереографической проекции вращению сферы: Ц вокруг вертикального диаметра; 2) вокруг диаметра, параллельного действительной оси; 3) вокруг диаметра, параллельного мнимой оси; 4) вокруг диаметра, стереографическая проекция одного из концов которого есть точка а.

Указание. Если ем зз — образы диаметрально противоположных точек на сфере, то гздз = -1 (см, задачу 1,49). 2.73. 1) Доказать, что группа линейных преобразований, соответствуюШих врашению сферы и переводящих точки со стереографическими проекцинмн а и 6 друг в друга, определяетсн соотношением из — Ь е — а = еза 1 + Ьзо 1 + аз )дз( 2) Доказать, что дифференциал сЬ = инвариантен отно- 1«-~еР сительно преобразований этой группы и представляет сферическую длину элемента дуги де (т. е.

длину образа этого элемента на сфере). Га. 11. Конформные етпопранеения 38 Линейные преобразования и геометрия Лобачевского При интерпретации геометрии Лобачевского в единичном круге ~з~ < 1 роль прямых играют лежащие в этом круге дуги окружностей, ортогональных к единичной окружности; роль движения— линейные преобразования единичного круга на самого себя, роль рас- 1 стояния между точками зг и зз — величина р(зызз) = — 1и (о„9, зз, зз) 2 где о и Д вЂ” точки пересечения "прямой", проходящей через точки з~ и зз, с единичной окружностью (порядок точек таков: а, зз, зз, р), а (а, ~3, зз, з~) — ангармоническое отношение указанных точек.

Углы измеряются так же, как в евклидовой геометрии (см., например, (2, гл. П, 24)). 2.74. Доказать, что р(ем аз) ) О, если зз ф зз и р(з, з) = О. 2.75. Доказать, что р(зз,зз) < р(зызз) + р(зз, зз), причем знак равенства надо брать тогда и только тогда, когда точка зз лежит на "отрезке", соединяющем точки з~ и зз. 2.76. Доказать, что если одна из точек з~ и зз стремится к точке единичной окружности (или обе они — к различным точкам единичной окружности), то неевклидова длина р(гысз) стремится к бесконечности (т. е.

точки единичной окружности соответствуют бесконечно удаленным точкам неевклидовой плоскости). ~ее( 2.77. Доказать, что дифференциал 4е = (ф < 1) инва- ~зР риантен относительно группы линейных преобразований, переводящих круг )е~ < 1 на себя, и представляет неевклидову длину элемента дуги Из. Указание.

Написать общую форму преобразования круга ф < 1 на себя, переводящего точку а в точку Ь ((а) < 1, )Ь| < 1). 2.78. Указать способы построения следующих линий: 1) пучка "прямых", проходящих через точку зо,. 2) "прямой", проходящей через точки з~ и зз, 3) эквидистанты "прямой" (геометрнческого места точек, "равно- удаленных" от данной "прямой"); 4) предельных линий (линий, ортогональных к пучку "параллельных прямых").