Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 9

При каком значении а разрез перейдет в полуокружность? У к а з а н и е. Целесообразно сначала отобразить как заданную область, так и круг [ш[ < 1 на внешность отрезка. 2.120. Круг ]х] < 1 с разрезами по отрезкам [а, Ц, [-1,— Ь] (О< < а < 1, 0 < Ь < 1) отобразить на круг [ш[ < 1 так, чтобы ш(0) = О, ш'(0) > О.

Определить ш'(0) и длины дуг, соответствующих разрезам. 2.121. Представив функцию Жуковского в виде Гя.И. Кона1орнные отоорагненин 44 найти: 1) образ окружности С, проходящей через точки л = ж1 подуглом гг (-гг < а < и) к действительной оси в точке 1, и область, на которую отображается внешность такой окружности; 2) образ окружности С', проходящей через точку з = 1 под углом а к действительной оси и содержащей внутри точку -1, а также область, на которую отображаетсн внешность такой окружности. 2.122. 1) Найти образы окружностей и областей з-плоскости, о которых идет речь в задаче 2.121, если отображающая функция ю(л) задана уравнением (0<б<2, ю>0 при з>1). 2) Каков при этом отображении образ внутренности окружности Су 2.123.

Отобразить внешность единичного круга ф > 1 на ю — 1 ю-плоскость с разрезом по дуге агб — = Д (О < й)~ < л),так, ю+1 чтобы ю(со) = оо, агбю'(оо) = о. В задачах 2.124 — 2.127 найти области, получаемые при отображении заданных областей указанными функциями. 2.124. Круг ф < 1; ю =— гг+ 1 1 2.125. Полукруг (з( < 1, 1тз > 0; ю = гг+1 2.126. Угол 0 < агйз < —; ю = — рн+ — ). 21 ~") 2.127. Сектор — — < агиз < —, (з~ < 1; иг = (ю(з) > 0 й н' (1 + о)г/о при з > 0). Указание.

Представить отображающую функцию в виде ю = Г(7(у(зЦ, где чг(г) = г У(г) = ( ), Г(1) = ч'~. Применение принципа симметрии 2.128. 1) Пользунсь решением задачи 2.127 и принципом симметрии, найти образ единичного круга при отображении ю = (1 + о)г/о 2) Найти функцию, отображающую внутренность (и внешность) единичного круга на внешность "звезды": ~ю) < 1, агбю = 2к(г/и (л = 0,1,2,...,п — 1).

у8. Рациональные и аеевбуаичеснив функции е'а 2.129. Отобразить на внешность единичного круга: 1) всю плоскость с разрезами по отрезкам [ — 1, 1] и [-6,1] (внешность креста); 2) всю плоскость с разрезами по лучам (-оо, — 1], [1, +со), ( — еоо,-1] и [е,+Ьоо). 2.130. 1)* Пользуясь функцией из задачи 2.12б, отобразить сектор [г[ < 1, 0 < агб з < я(п (п — целое число) на себя так, чтобы отрезки радиусов [з[ < се, агб з = 0 и [з[ < а, ахй з = я/и (О < ге < 1) перешли в соответствующие радиусы. 2) Отобразить внешность единичного круга с разрезами по отрезкам 1 < [г[ < ее, агбх = 2(ся/и (Ь = = О, 1, 2, ..., и — 1) на внешность единич- у ного круга. 2.131.

Отобразить на верхнюю полуплоскость и на внешность единично- -1 0 х го круга внешность креста, состоящего из отрезка [-а, Ь] действительной оси и отрезка [ — се, с1] мнимой оси (а > О, Ь > О, с > О, аз + Ьз + сз ф ф 0). У к а з а н и е.

Найти функцию, отображающую верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку [О, с1] на верхнюю полу- плоскость, и воспользоваться принципом — а1 симметрии, в силу которого внешность креста отобразится на всю плоскость с разрезом по отрезку действительной оси. 2.132. Плоскость с разрезами по лучу [ — а, +оо) (а > 0) и по отрезку [ — ш', и] (с > 0) отобразить на верхнюю полуплоскость. Указание.

См. указание к задаче 2.131. 2.133. Отобразить на внешность единичного круга плоскость с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней половине единичной окружности. У к а з а н и е. Линейным преобразованием сводится к задаче 2.129, 1). 2.134. Плоскость с разрезал~и по отрезку [-еее, 0] (се > 1) и по нижней половине единич- 6 ной окружности (рис. 2) отобразить на верхнюю полуплоскость, е-~а У к а з а н и е. Линейным преобразованием Рис. 3 сводитсн к задаче 2.131. 2.135.

Отобразить на верхнюю полуплоскость плоскость с разрезами по отрезку [ — 1,Ь] (Ь > — 1) и по дуге окружности с концами в точках е~е, проходящей через точку з = — 1 (рис. 3). Гя.П. Конбтормные оглображения 4б 2.136. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами по отрезкам: (а, Ь1), (-Ьт', — а), (1, а], (-а, — Ц у (а > 1, Ь > 1).

-141 1+а У к а з а н и е. Функция Жуковского отображает рассматриваемую область на область задачи 2.131. 2.137 . Отобразить на внешность единичного круга внешность "звезды", изображенной на рис. 4. 1 — 1 2.138 е. Отобразить на верх- нюю полуплоскость внутренность Рис. 4 правой ветви гиперболы, — —, = 1. х у соа о в1п'о 2.139. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность правой ветви гиперболы — „— —, = 1.

х у' сова а в1ах а 2.140. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, заключенную между ветвями гиперболы — — — = 1. у е Ье Простейшие многолистные отображения В задачах 2.141 — 2.142 рассматриваются отображения, приводящие к многолистным областям (римановым поверхностям) з). 2.141. Найти области, получаемые при отображении с помощью фушсцни щ = дд: 1) части кольца гь < ф < гт, 0 < агат < я.

+ сг (О < а < х); 2) области )дт — ц < а (О < а < оо). 2.142. Найти области, получаемые при отображении с помощью 1г' 11 функции Жуковского щ = — ~д + -): 21. д) 1) круга )д! < Л (В> 1). Указание. Пелесообразно рассмотреть сначала отображение круга ф < 1 и кольца 1 < )д! < Я (см, задачу 2.107); 2)круга ~ — ~<В (0<В<ос).

а) Здесь приведены лишь некоторые простейшие задачи такого рода. Специааьно риманоаым поверхностям посвящен 12 га. Н1РД бб. Элементарные трансцендентные функции 47 В задачах 2.143-2.145 построить римановы поверхности указанных функций. 2.143. 1) и) = —; 2) и) = ~/хз — 1. )) с+1 2+ 1 2.)44. П = ' )ет)); 2) е 2.145. и) = КР— 1.

3 4. Элементарные трансцендентные функции Основные трансцендентные функции 2.146. Выяснить, во что преобразуются при отображении и) = е': 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) прямые у = йх + 5; 3) полоса а<у<,9 (0<а<В(2л); 4) полоса между прямыми у = х, у = х + 2х; 5) полуполоса х < О, 0 < у < а < 2)г; 6) полуполоса х > О, 0 < у < о < 2з-, ?) прямоугольник а < х < )8, 7 ( у < б (б — т < 2л). 2Л4?. Каков прообраз верхней полуплоскости при отображении хс и = (1 + -] ? Каков предельный прообраз верхней полуплоскости п при и -~ оо? 2.148. Выяснить, во что преобразуются при отображении и = = !пса 1) полярная сетка ]з] = А„агбз = д; 2) логарифмические спирали г = Ас"Р (А > 0); 3) угол 0 < агб з < а < 2л; 4) сектор ]х] < 1, 0 < агд з < а < 2п; 5) кольцо 71 < ]з] < гз с разрезом по отрезку ]гм гз].

Билоллрными координатами точки х = х+ 1у относительно полюсов ха (а > О) называются действительная и мнимая части функции о+с / и) = ~ + !г! = )п —. о — с о I 2.149. 1) Доказать, что функция т однолистно отображает всю з-плоскость с разрезами (-со, — а] и ]а, со) на полосу плоскости пс -л < 7! ( 1г, причем верхним берегам разреза соответствует прямая )? = = !и', а нижним )! = — )г (рис. 5). Рес. Л 48 Г'л.И.

Конформнне огяображвния 2) Установить справедливость соотношений аБЬв сьев+ совп' авгпц сЬс + сове' сЬ6 — сове хг+ уг =г= а Ряс. а 3) Доказать, что прооб- разами отрезков г, = (о, — и < и < я служат окружности Аполлония относительно точек ха: а (х — астЬ(о) + у = ( — ) вЬсо (прообразом отрезка ~ = О, — я < и < я служит ось ординат) (рис. 6).

4) Доказать, что прообразами линий и = г1о служат дуги окружностей, проходящих через точки ха, г ( а х + (у+ асгвпо) = ( —. ~в!пгя лежащие в верхней полуплоскости при по > 0 и в нижней при по < О. Линии и = 0 соответствует отрезок ( — а, а). Дуги, соответствующие значениям гг = по н 0 = Чо — и (Ло > 0), дополняют друг друга до полной окружнос* ти (рис. 7). 5) Найти величины отрезков 5 (рис. 6) и 1 (рис. 7).

Примечание. Построенная таким образом координатная сетка г-плоскости называется биполярной сеткой. 2.150. Выяснить, во что преобразуются при отображении го = сов г: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса 0 < х < я, у < 0; 3) полуполоса 0 < х < и/2, у > О, 4) полуяолоса — я/2 < х < я/2, у > 0; 5) полоса 0 < х < гг; 6) прямоугольник 0 < х < я, — А < у < Ь (Ь > 0). 2.151. Выяснить, во что преобразуются при отображении иг = агсвгп в: 1) верхняя полуплоскостгя 94. Элементарные трансцендентные функции 49 2) плоскость с разрезами по действительной оси вдоль лучей ( — оо,-Ц, [1,оо); 3) 1-й квадрант; 4) полуплоскость х <,0 с разрезом по действительной оси вдоль луча (-оо, -1].

2.152. Выяснить, во что преобразуются при отображении в = = сЬг: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полоса 0 < у < к; 3) полуполоса х > О, 0 < у < я. 2.153. Выяснить, во что преобразуются при отображении т = = АтаЬьч 1) плоскость с разрезами по мнимой оси вдоль лучей 1 < у < оо и-со<у<-1; 2) первый квадрант. 2.154. Выяснить, во что преобразуются при отображении в = = 18з: 1) прямоугольная сетка х = С, у = С; 2) полуполоса 0<х<х, у>0; 3) полоса 0<х<к; 4) полоса 0 < х < к/4; 5) полоса х/4 < х < к/4.

2.155. Выяснить, во что преобразуются при отображении ш = = сспьч 1) полоса 0 < у < к; 2) полуполоса 0 < у < я, х > О. Отображения, приводящиеся к отображениям полос и полуполос В задачах 2.155 — 2.163 отобразить указанные области на верхнюю полуплоскость. 2.156. Полосу, ограниченную прямыми у = х, у = х + А. 2.157.

Полуполосу х < 1, 0 < у < 6. 2.158. Круговую луночку, ограниченную окружностями ~з~ = 2, )г — Ц=1. 2.159. Область, ограниченную окружностями )з( = 2, (з — 3( = 1 (плоскость с выкинутыми кругами). 2.160. Область, определенную неравенствами (з — 1) > 1, ~з+ 1! > 1, 1птг > 0 (верхняя полуплоскость с выкинутыми полукругами). 2.161. Область, заключенную между софокусными параболами у~ = 4(х+ 1), у~ = 8(х+ 2). Указание. См. задачу 2.80, 2). 2.162.

Найти функцию щ(х), отображающую область, ограниченную окружностью ~з~ = 1 и прямой 1щз = 1 (нолуплоскость 1п1 < 1 4 Л.И. Волковыския н др, 50 Рл. 11. Конформные отапрагненил с выкинутым кругом): 1) на круг )ю( < 1 с нормировкой ю( — Зг) = О, атбю'( — Зг) =я/3; 2) на круг )ю! < 1 с нормировкой ю( — Зг) =, ага ю'( — Зг) = —; 3) на верхнюю полуплоскость с нормировкой ю( — Зг) = 1+г', агяю'( — Зг) = я. Применение принципа симметрии 2.163. Отобразить на верхнюю полуплоскостгк 1) полосу 0 < х < 1 с разрезом вдоль луча х = 1/2, Ь < у < оо; 2) полосу 0 < х <1 с разрезами вдоль лучей х = 1/2, Ьг < у < со и х = 1/2, — оо < у ( Ьг (Ьг < Ьг).

Указание. Сначала отобразить полосу 0 < х < 1/2 на верхнюю полуплоскость. Отображающая функция будет, в соответствии с принципом симметрии, отображать заданную область на всю плоскость с некоторым разрезом. В задачах 2.164 †.174 отобразить на верхнюю полуплоскость указанные области. 2.164.