Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 4

Функция ш = е 1!' определена всюду, кроме точки г = О. Доказать, что: 1) в полукруге О < Ц < 1, (атйг( < к/2 эта функция ограничена, но не непрерывна; 2) внутри этого же полукруга функция непрерывна, но не равномерно; 3) в секторе О < ф < 1, )атбг! < а < к/2 функция равномерно непрерывна. 1.130. Функция /(г) равномерно непрерывна в круге (з) < 1. Доказать, что для любой точки ~ на окружности ~г~ = 1 и любой по- ЗО Гл.

Н Номплексные числа и функции комплексного переменного следовательности хп -+ ь, ~хп( ( 1 существует предел 1цп /(хп). Доказать также, что этот предел не зависит от выбора последовательности (гп) и что функция, доопределенная на границе круга при помощи предельного перехода, будет непрерывна во всем замкнутом круге ф ( 1. 3 5. Анвлитические и гармонические функции Условия Коши — Римана 1Л31. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций с", е-, соа г, Ьн х и доказать, что (гп)' = пгп, (е ) = е, (созе)' = — а1пх, (Ьпх)' = —. 1.132.

Найти постоянные а, Ь, с, при которых функция /(х) будет аналитической; 1) /(х) = х+ ау+1(Ьх+ ау); 2) /(г) = сое х(сЬ у + а аЬ у) + 1 а1п х(сЬ у + Ь аЬ у). 1.133. Найти области, в которых функция /(г) = 1х — у ! + 2с(ху( будет аналитической. 1.134. /(г) = и + ги = рс'е †- аналитическая функция. Доказать, что если одна из функций и, и, р, 0 тождественно равна постоянной, то и функция /(з) постоянна. 1.135.

Пусть з = тесе и /(г) = и(г,~р) + 1и(г,со). Записать уравнения Коши-Римана в полярных координатах. 1.136. Доказать, что если /(е) = и + 1о — аналитическая функция и а и ц — перпендикулярные векторы, причем поворот от вектора а к вектору и на прямой угол совершается против часовой стрелки, то ди до ди ди — — и де дп дп де (д/де и д/дп — производные от функций двух действительных переменных по соответствующему направлению).

1.137. Доказать, что функция /(х) = 3 нигде не дифференцируема. 1.138. Доказать, что функция ш = х Ее х дифференцируема только в точке е = О; найти ш'(0). 1.139. Доказать, что для функции /(х) = фху( в точке х = О выполняютсн условия Коши-Римана, но производная не существует.

рй. Анааитические и гархгонические функции 21 Доказать, что Г(г) дифференцируема в точке г. 1.143. пусть и = г"(г) = и+1о и и(х,у) и о(х,у) дифференцируемы в точке г. Доказать, что множество всевозможных предельных значений отношения Ьш/Ьг при Ьг — ~ 0 есть либо точка, либо окружность. Формальные производные по Воши Если в соотношении (г) = У(х,р) = У( — ": —,, ) = 'р(г,д) рассматривать з и 1 как независимые переменные, то производные по этим переменным будут равны д 1 д,д д 1 д .д — = — ( — — г — ), — = — ~ — +1 — ). д ды В дальнейшем приняты обозначения — = и„ д.

— =ю-ит.д дг 1.144. Доказать следующие соотношения: 1) Нш = ю,гЬ + гигйз; 2) ш, = — ((иг + ьи) + г( — и„+ о )]; 1 1 3) гог = — ((иг — ог) +1(ни+ ег)). 2 1.140. Доказать следующие утверждения: 1) если у функции ю = .г'(г) в точке г существует предел 1нп (В.е — ~, то частные производные и, и ьи существуют и равны между собой; Ью1 2) если существует предел 1пп ~1т — ~, то существуют частные ог о ~ гзг!' производные и„и о, причем и„= — о; 3) если заранее предположить, что функции и и г дцфференцируемы, то существование любого из пределов, указанных в пп. 1) и 2), обеспечивает существование другого и, следовательно, дифференцируемость функции 1(г).

1.141. Функция в = 1'(г) обладает в точке г следующими свойствами: 1 Ьгг 1) и, о дифференцируемы; 2) существует предел 11щ ог о(Ьг ' Доказать, что либо г(з), либо ~(.) дифференцируема в точке г. 1.142. Функция ги = Дг) обладает в точке г следующими свойствами: Ьш 1) функции и, о дифференцируемы; 2) существует 1цп агй —. ог- о Ьг ЗЗ р».1 йааплекскые числа и функции комплекского переменного 1.145.

Доказать, что уравнения Коши-Римана эквивалентны уравнению шг — — О. 1.146. Доказать, что уравнение Лапласа Ьи = О можно записать ди в виде — = О. д» д» 1.147. Доказать, что дш = Иш, ш, = шг, шг = ш, (большая черточка означает, что переход к сопряженному значению совершается после дифференцирования). 1.148. Доказать, что для функции»(ш), обратной по отношению к ш(»), суг '- ~ш-Р-1ш-Р""" ~ш.Р-~ш=Р"" 1.149.

Доказать, что якобиан преобразования ш(») равен д(и, и) г =) .! — М.-! . д(х,у) 1.150. Доказать следующие равенства: йш 1) — = ш, + шгс з', где о = асад»; 2) шах ) — ! = )Гш,(+ (шя(; 3) п1ш ! — = Дш ~ — )ш»Й. если о = агбсс», о' = агбс(ш, то; 1.151. Доказать, что йо' 1) — = уо (иг соя сг+ иг 3 сйп о) г + (ох соа о + ег Яш о)г гри аш — где р = Ак р . ~иш ! цш»( — (ш»й а» до~ 2) шах — = р, ппп йо Гармонические функции Функция и(х, у), обладающая в некоторой области непрерывными частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа дги дги Ьи = —, + — = О, дх» дуг называются сопряженными.

называется гармонической функцией. Две гармонические функции и(х, у) и о(х, у), связанные уравнениями Коши-Римана ди до ди ди дх ду' ду дх' го. Аналитические и гармонические функции 23 — — Дх+ — ду+ С дн ди дх Интеграл берется по пути, лежащему в области С, ть — целые числа и ди ди ль = / — — дх+ — ду, ду дх тг где (ь — простые замкнутые контуры, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы (Ге) (числа ге называются периодами интеграла или циклическими постоянными). Для однозначности функции о(х, у) необходимо и достаточно, чтобы все числа иь были равны нулю.

1.152. Доказать следующие предложения: 1) Линейная комбинация гармонических функций ~ ~с;и,(х,у) есть функция гармоническая. г=1 2) Если аргументы гармонической функции и(х,у) подвергнуть преобразованию инверсии х = , , у = „ „, то преобразован- члг+Чг~ члг ( Пг| ная функция будет гармонической. 3) Если аргументы гармонической функции и(х,у) подвергнуть преобразованию х = у(~,у), у = ф(С,П), где ~р и ф — сопряженные гармонические функции, то преобразованная функция будет гармонической.

(Отсюда, в частности, следует предыду- Г 1 щее утверждение.) 4) Пусть и(х,у) и и(х,у) — сопря- ~Г2 женные гармонические функции и д(и,о) якобиан ' в некоторой области д(х,у) отличен от нуля. Тогда обратные функции х(и,о) и у(и,о) также будут гармоническими и сопряженными.

1.153. 1) Доказать, что всякая гармоническая в односвязной области С функция и(х, у) имеет семейство сопряженных гармонических функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое ( м( о(х,у) = / (ломо) 2) Доказать, что если область С многосвязпа и ограничена внешним контуром Го и внутренннлчи контурами Г„Г2, ..., Г„(каждый из которых может вырождаться в точку; рис. 1), то функция о(х, у) может оказаться многозначной и общая формула для ее значений будет иметь вид ди ди о(х, у) = / — — с(х + — Ну + ~' гп„я, + С. ду дх (ее ге( ь=! 24 Гл. 1. Комплексниге числа и 4ункции комплексного переменного Примечание. Контур Го может и отсутствовать, если только функция п(х,у) гармонична в бесконечно удаленной точке, По определению это означает, что функции (У(~, г?), полученная из функции н(х,р) преобразованием инверсии (см.

задачу 1.152, 2), будет гармонической в начале координат. Можно доказать, что в этом п случае ~ ггь =О. и=! 1.154, Предполагая известным, что аналитическая функция бесконечно дифференцируема, доказать следующие теоремы: 1) действительная и мнимая части аналитической функции Дг) = = и + 1е являются сопряженными гармоническими функциями; 2) производные (любого порядка) гармонической функции также являются функциями гармоническими. 1.155. 1) Будет ли гармонической функция иг, если и — гармоническая функция? 2) Пусть ц-- гармоническая функция.

Для каких функций ? функция г'(и) будет тоже гармонической? 1.156. Будут ли функции (((г)~, агй ((г), 1п(((г)( гармоническими, если )'(г) — — аналитическая функция? 1.157. Преобразовать оператор Лапласа Ьн = —, + — к поди ди дхг диг лярной системе координат (г, у) и найти решение уравнения Лапласа Ьи = О, зависящее только от г.

1.158. Выписать для п = 1, 2, 3, 4 гармонические многочлены рп(х, р) и д„(х, у), определяемые равенством г" = рп + гд„. Записать в общем ниде рп н 4„в полярной системе координат. Пользуясь формулами задачи 1.153, в задачах 1.159 — 1.163 найти функции, сопряженные с данными гармоническими функциями в указанных областях.