Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного

Болковыский Л.И., Лунц ГЛ., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. — 4-е изд., испр. — Мз ФИЗ54АТЛИТ, 2002. — 312 с.— 1БВ1ч 5-9221-0264-8. Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебными материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. 14 некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями. Третье издание — 1975 г. Лля студентов высших учебных заведений. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛ А В А |. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3 1. Комплексные числа 3 2. Элементарные трансцендентные функции . 3 3.

Последовательности и числовые ряды з 4. Функции комплексного переменнага.... 3 5, Аналитические и гармонические функции. ГЛАВА ||. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 27 3 1. Линейные функции 6 2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований 3 3. Рациональные и алгебраические функции ........, .... 3 4. Элементарные трансцендентные функции .............

3 5 Границы однолистности, выпуклости и звездности ....... сте ГЛАВА 1У. РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 3 1. Ряд Лорана . 3 2. Особые тачки однозначных аналитических функций...... 3 3. Вычисление вычетов 3 4. Вычисление интегралов 3 5. Распределение нулей. Обращение рядов ГЛАНА 3 1. 3 2.

3 3. 3 4. 3 5. 96, Ш. ИНТЕГРАЛЪ| И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Интегрирование функций комплексного переменного Интегральная теорема Коши Интегральная формула Коши Степенные ряды Ряд Тейлора . Некоторые приложения интегральной формулы Коши и пенных рлдов . 7 7 12 15 18 20 27 32 39 47 52 54 57 г9 61 63 68 72 72 74 77 79 96 Оглавление ГЛАВА Ч. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕ'ГРА 5 1. Функциональные ряды 5 2. Ряды Дирихле 9 3. Интегралы, зависящие от пераметра 102 102 105 106 ГЛАВА О1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 110 3 1.

Бесконечные произведения . 110 5 2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения. Суммирование рядов............,........ 113 5 3. Характеристики роста целых функций.............. Пб ГЛАВА НП, ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА ................ 120 5 1. Интегралы типа Коши !20 з 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потенциал и функция Грина ...................

126 3 3. Интеграл Пуассона, формула Шнарца, гармоническал мера . 129 ГЛАВА УШ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА. РИМАНОВЬ| ПОВЕРХНОСТИ 135 11 52 ГЛАВА з 1. з 2. 170 Ответы и решения . 204 ГЛАВА з 1. 3 2. з 3. ГЛАВА ~ 1. з 2. 3 3. Аналитическое продолжение . 135 Особые тачки многозначного характера. Римановы поверх- ности. 141 !Х. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 148 Формула Кристоффеля — Шварца....................

148 Конформные отображения, осуществляемые с помощью эллиптических функций 162 Х. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ Приложения к гидромеханике .. 170 Приложения к электростатике. 181 Приложения к плоской зедаче о распределении тепла..... 192 х1 ОБОБ1цЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФуНКПИИ ..... 194 Квазиконформные отображения,........... - . -..... 194 Обобщенные аналитические функции............ 200 Некоторые интегральные соотношения и двойные интегралы 202 ПРЕДИСЛОВИЕ "Сборник задач по теории функций комплексного переменного" (ТФКП) предназначаетсн в основном для студентов механико-математических и физико-математичсских факультетов университетов, соотвстствуюших отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике. В "Сборнике" имеются также циклы задач, выходящих за рамки программы. Некоторые из них могут служить основой для курсовых студенческих работ и материалом для занятий на семинарах по ТФКП.

Авторы полагают также, что "Сборник" окажется полезным для лиц, специализирующихся по механике непрерывных сред [гидродинамика, теория упругости) и электротехнике, так как в нем содержится большое число задач либо по непосредственному применению ТФКП к указанным дисциплинам, либо по вопросам, представляюшим их математическую основу (конформные отображения, гармонические функции, потенциалы, интегралы типа Коши и т. д.). Нам кажется, что "Сборник" достаточно полно отражает основные разделы ТФКП, более или менее близкие к учебным планам.

Для удобства пользования "Сборником" в оглавлении, помимо названия глав и параграфов, иногда перечислены содержащиеся в них оснонные циклы задач [это касается главным образом основного учебного материала). Предполагается, что пользуюшийся "Сборником" знаком с соответствующими разделами курса ТФКП (например, в объеме книги А. И.

Маркушевича "Краткий курс теории аналитических функций"). Если привлекается дополнительный материал, то даются необходимые справочные сведения, а также ссылки на литературу. Для наиболее часто цитируемых книг введены обозначения: [1] — Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций — 3-е изд. — — Мл "Наука", 1966.

[2] — Маркушееич А,11 Теория аналитических функций, Т. 1, 11.— 2-е изд. — Мл "Наука", 1967, 1968, . «3] — Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного — 2-е изд. — Мл "Физматгиз", 1965. [4] — Привалов Н. И. Введение в теорию функций комплексного переменного — 10-е изд. — Мл "Физматгиз", 1960. Предисловие Все указания к решению задач приведены в основном тексте.

Наиболее трудные задачи, номера которых отмечены звездочками, снабжены решениями, помещенными в ответах. При составлении "Сборника" были использованы имевшиеся в распоряжении авторов как русские, так и иностранные учебники, пособия,монографии. Второе издание еСборникав выходит в существенно переработанном виде.

В связи с пожеланиями, высказанными при обсуждении "Сборника" сотрудниками кафедры теории функций и функционального анализа Московского университета, увеличено число задач по ряду разделов (особые точки многозначных функций, конформные отображения, связанные с элементарными функциями, целые функции и т. д.). В та же время исключены некоторые циклы задач, не связанные с обязательным курсом ТФКП (сингулярные интегралы, классы функций с неизолированными особенностями, нестационарные вихревые течения и некоторые другие). Исключена часть справочного материала — таблицы преобразований эллиптических функций и интегралов (их можно найти в вышедших в последние годы на русском нзыке справочных изданиях).

Произведена также перегруппировка всего материала; в частности, выделены в отдельную главу вопросы, связанные с обобщениями поннтия аналитической функции. Исправлены погрешности, обнаруженные как в ответах, так и в условиях задач. В связи с этим авторы благодарны всем лицам, приславшим свои замечания. Мы особенно признательны А. А. Гольдбергу за ряд ценных советов и указаний.

Автори ГЛАВА 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В этой главе и вообше везде в этой книге, где не оговорено противное, приняты обозначения; х =х+1у =ге'г, ш =и+ го = ре'а (х, .у, и, ц, г, р, у и У вЂ” действительные числа, г > О, р ) О); Вез = х, 1тх = у, Агй» = у, (г~ = г, У = х — 1у. Если не сделано дополнительных указаний, то главное значение аргумента агах выделяется неравенствами — я < ага г ( х; комплексную плоскость, точки которой изображают комплексные числа з, будем называть з-плоскостью; обычно термины "комплексное число з" и "точка з" употребляются как синонимы.

3 1. Комплексные числа Комплексные числа, геометрическая интерпретация 1.1. Выполнить указанные действия; 1) — 2) — 3) 4) (1 + 1т/3)з 1.2. Найти модули и аргументы комплексных чисел (а. и Ь— действительные числа): 1) 34; 2) -2; 3) 1 + 1; 4) — 1 — г; 5) 2 + 51; б) 2 — 5г; 7) — 2 + 51; 8) — 2 — 5г; 9) Ь1 (Ь ф О); 10) а + Ь1 (а ф О). 1.3. Решить уравнение й = з" ' (и ф 2 — натуральное число).

1.4. Найти все значения следующих корней и построить их: 1) /П 2) /; 3) 0=Т; 4) У З; 5) Я; б) т/Т вЂ” 1; 7) т/3 + 41; 8) К-2 + 2~; 9) ~/-4 + 3С 1.5. Доказать, что оба значения ъ/хз — 1 лежат на прямой, проходящей через начало координат и параллельной биссектрисе внутреннего угла треугольника с вершинами в точках -1, 1 и х, проведенной из вершины л. 1.6.

Пусть п1 и и — целые числа. Показать, что (~/з) имеет и/(и, т) различных значений, где (и, пт) — общий наибольший делитель чисел ят и и. Убедиться, что множества значений (~/х) и ~/з з 14. 1. Комплексные кисла и функции комплексного переменного совпадают тогда и только тогда, когда (п, т) = 1, т. е. и и т взаимно просты. 1.Т.

Исходя из геометрических рассмотрений, доказать нера- венства: 1) ! + г! < ! !+ ! г!; 2) ! — г! Э !!з1! — !лг!!, Доказать эти же неравенства алгебраическим путем. Выяснить в каждом случае, когда имеет место знак равенства. 1.8. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать нера- венства: 1) ( — — 1! < !агйз!; 2) !г — 1! < !!г! — 1!+ !л!!агбг!. !з! 1.9. Доказать тождество !з1+гг! + !г1 — гг! = 2(!г1! + !гг! ) и выяснить его геометрический смысл.

1.10. Доказать тождество !1 — уззг! — !21 гг! = (1 — !г1! )(1 !зг! ). 1.11. Доказать неравенство ! + г! > - (!л !+ !гг!) ! — '+ — ! 2 ! !е1! )зг! 1.12. Пусть г, и г — произвольные комплексные числа, а а1 и аг — Действительные числа (аз+ аг ф 0). Доказать неРавенства + !г !г1! + !гг! — !г1+гг! < 2 < !з1! + !гг! + !г1 +гг!. а', +аз Указание.

Ввести вспомогательный угол а такой, что Сйа = = а1/аг, представить оцениваемое выражение в виде А+ Вззп2а+ + С сов 2а и найти его наибольшее и наименьшее значения. 1.13. Доказать тождества: 1) (и — 2) ~ ~!ае!~+ (~~~ ае( = ~~1 !он+ ае!'; 1=1 1=1 1<1<еде и и 2) п~ !ае!~ — ) ~аз! = ~~1 !ае — ае!~. Лп1 и=1 1аь<еяп 1.14. Доказать: 1) если л1 + гг + гз = О и !г1! = !гг! = !лз! = 1, то точки л1, лг, лз являются вершинами правильного треугольника, вписанного в еди- ничную окружность; 2) если л1 + гг + зз + г4 = О и !г1! = !гг! — !лз! = !г4!, то точки лз, гг, гз, ле либо являются вершинами прямоугольника, либо попарно совпадают. ад Комплексные числа 1.15.