Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Найти вершины правильного н-угольника, если его центр находится в точке з = О, а одна из вершин з~ известна. 1.16. Точки зз и гз — смежные вершины правильного п-угольника. Найти вершину зз, смежную с зз (зз ~ зз). 1.17. Даны три вершины параллелограмма зз, зз, зз. Найти четвертую вершину зл, противоположную вершине зз.
1.18. При каком условии три попарно не совпадающие точки зз, зз, зз лежат на одной прямой? 1.19. При каком условии четыре попарно не совпадающие точки зз зз, зз, з4 лежат на одной окружности или прямойу 1.20. Точки зз, зз, ..., з„лежат по одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начало координат, Доказать, что аналогичным свойством обладают точки 1/зз, 1/зз, ..., 1/з„(указать, относительно какай примой) и что 1 1 з~ + з + ...
+ з„ф О, — + — + ... + — ф О. «2 за 1.21. Доказать, что если зз + зз + ... + г„= О, то любая прнман, проходящая через начало координат, разделяет точки зы зз, ..., з„, если только эти точки не лежат на этой прямой. 1.22. Доказать, что любая прямая, проходнщап через центр тяжести системы материальных точек гм зз, ..., з„с массами ггн, гпз, ..., т„, разделяет эти точки, если только они не лежат на этой прямой. В задачах 1.23 — 1.34 требуется выяснить геометрический смысл указанных соотношений.
1.23. )з — зо! < Н. ;)з — зо~ > Н; ~з — зо! = Н. 1.24. ( — 2! + (г + 2) = 5. 1 .25. (з — 2! — )з + 2! > 3. 1.26. (з — з~! = )з — зз), 1.27. 1) Кез > С; 2) 1пзз < С. 1.28. О < Ве (сз) < 1, 1.29. а < ага г < Д; а < аг8 (з — зо) < Д ( — я < а < ф ( х). 1.30. ф = Ке з + 1. 1.31. Ке з + 1~п з < 1. 1.32.1т ' = О; Ке ' = О. 1.33.
)2з) > )1+аз(. — з — зг 1.34. 1) )з~ < агяз, если О < агбз < 2х; 2) ф < агяз, если О < агйз < 2я. В задачах 1.35 — 1.38 требуется определить семейства линий в з-плоскости, заданных соответствующими уравнениями. 1.35.
1) Ке — = С; 2) 1щ — = С ( — со < С < сю). 1 1 з 3 ГО йи й Комплексные числа и функции комплексного переменного 1.36. 1) Веги = С; 2) 1пг ха = С ( — со < С < со). 1.3У. ~ — '" ( = Л (Л > О). 1.38. агя — ' = сг ( — я < сг < з). г гг 1.39. 1) Семейство линий в г-плоскости задана уравнением (гз — Ц=Л (Л>0), Для каких значений Л линии семейства будут состоять из одной простой кривой и для каких — распадаться? 2) Выяснить те же вопросы для семейства (г~ + ах+ Ь| = Л (Л > 0). 1.40.
Найти наибольшее и наименьшее расстолнил от начала координат до точек заданной линии (а > 0); 1) (г+-~=а; 2) (г+-(=а. 1.41. Функция агяг определена однозначно во всякой точке г ф О, если положить (г( — 2к < агя < (г1 Каково геометрическое место точек, в которых нарушается непрерывность определенной таким образом функции агяг? 1.42. Каково геометрическое место точек, в которых нарушается непрерывность функции агяг, однозначно определенной при любом г ф 0 неравенствами !п(г! — 2к < агяг < 1пф? 1.43. Первоначальное значение Агя ?(г) при г = 2 принято равным О. Точка г делает один полный оборот против часовой стрелки по окружности с центром в начале координат и возвращается в точку г = 2.
Считая, что Агя т"(г) изменяетсн непрерывно при движении точки г, указать значение АгбД2) после указанного оборота, если: 1) У(г) = ъгг — 1; 2) гг(г) = т)гг:1; 3) г(г) = ьгT — 1. Стереографическая проекция 1.44. Вывести формулы стереографической проекции, выражающие координаты (~,п, С) точки Р сферы с диаметром 1, касающейся х-плоскости в начале координат, через координаты (х,у) соответствующей точки г. Выразить также х и у через с, О, ь (оси с и и предполагаются совпадающими соответственно с осями х и у).
Примечание. В задаче 1.44 осуществляется соответствие между точками комплексной плоскости и сферы радиуса 1?'2, касающейся х 1. Комллексннв числа этой плоскости. Встречается и иной способ соответствия, при котором сфера имеет радиус, равный 1, а з-плоскость проходит через ее центр. См., например,(1; гл.1, и. 4]. 1.45.
Каковы на сфере образы точек 1, — 1, ~,(1 — ~)/з/2 ? 1.46. Каков на плоскости образ параллели с широтой Д(-я/2 < < Д < к/2)? Чему соответствуют "южный" и "северный" полюсы? 1.47. Найти на сфере образы: 1) лучей агбз = сц 2) окружностей ф = г. 1.48.
Каково на сфере взаимное расположение пары точек, взаимно симметричных: 1) относительно точки - = О; 2) относительно действительной оси; 3) относительно единичной окружности? 1.49. При каком условии точки зз и зз являются стереографическими проекциями двух диаметрально противоположных точек сферы? 1.50. При каком преобразовании сферы образ точки з переходит в образ точки 1/з? 1.51.
Найти на сфере образы областей, определенных неравенствами: 1) 1пз з > О; 2) 1т з < О; 3) Не з > О; 4) Вез < 0; 5) ф < 1; 6) )з/ > 1. 1.52. Что соответствует на сфере семейству параллельных прямых на плоскости? 1.53. Доказать, что при стереографической проекции окружности, расположенные на сфере, проектируются в окружности или в прямые на плоскости. Какие окружности на сфере соответствуют прямым? 1.54. Пусть К вЂ” окружность на плоскости, сответствующая окружности К' на сфере, Х -- северный полюс сферы, 5 — вершина конуса, касающегося сферы вдоль К' (предполагается, что К' не является большим кругом).
Доказать, что центр окружности К лежит на луче?УЯ. Рассмотреть случай, когда К' — большой круг. 1.55. Доказать, что при стереографической проекции углы между кривыми на сфере равны углам между их образами на плоскости. 1.56. Найти длину й(г, а) хорды, соединяющей точки сферы, соответствующие точкам з и а. Рассмотреть также случай, когда ив бесконечно удаленная точка. 1.57. Даны две точки з~ и зз (одна из них может быть бесконечно удаленной). Найти геометрическое место точек з-плоскости, которому на сфере соответствует окружность, равноудаленная от образов данных точек. 12 Гл. 1. Комллекскые кисли и функции комилекского керемеккого 3 2. Элементарные трансцендентные функции По определению ехрг = е' = е'(сояу+1я1пу), е" + е соя г = 2 Еа е-гг я1п г соя г яшг =, тдг =, сс8г =— 21 соя г я1п» ' сЬг = е'+ е 2 яЬг = е' — е 2 яЬг СЬг = —, сЬг сЬ г ссЬ г = —.
еЬг 1.58. Пользуясь определением е', доказать, что: 1) см е г ел1ч гг. 21 егч гкг ег. ) 3) если е'а" = с' при всяком г, то ш = 2кЬг ((с = 0,~1,~2,...). Соотношение ехргу = еое = соя со+ 1сйпу (формула Эйлера) по- зволяет вместо тригонометрической формы записи комплексного чис- ла г = г(сояу+1гйпсс) пользоваться показательной формой г = ге'ч'. В дальнейшем под о обычно понимается главное значение аргумен- та, т.
е. — к < сс < к. 1.59. Представить в показательной форме числа 1, — 1, г, — г, 1 + г, 1 — г, — 1+с, — 1 — г. 1.60. Найти е~ сз, е~"' (Ь = О, х1,х2, ...). 1.61. Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел есч', ег з' езен; е з "; — песо(а > О., ~ф < к); е г"'(~ф < <к); е' — ед(0<~3<а<2к). 1.62.
Найти суммы: 1) 1+ соях+ соя2х+ ... + солих; 2) я1пх+ сйп2х+ ... + я1ппх; 3) соях+ сояЗх+ ... + соя(2п — 1)х; 4) сйпх+ гйпЗх+ ... + яш(2п — 1)х; 5) яшх — яп2х+ ... + ( — 1)" ' я1п ох, 1.63. Найти суммы: 1) сова+соя(а+,6) + ... +соя(а+в(1); 2) яш а + яш (а + ~3) + ... + ьйп (а -ь п~З) . 1.64.
Исходя из определения соответствуюших функций, дока- зать: Ул 1) яй1з г+ сояз г = 1; 2) я1п г = соя ~ — — г); 'ч 2 3) сйп(г1+ гз) = сйпг1 соягз+ сояг1 ь4пгз', 4) соя(г1+гз) = сояг1соягз яшг1яшгз~ 5) 18 2г =; 6) сЬ (г1 + гз) = сЬ х|сЬ гг + яЬ ггяЬ гз. 2$3г 1 — ся гг ай. Элементарные трансцендентные аданаии 13 1.65. Доказать, что если соя(г+ аз) = соя з при всяком з, то из = = 2х)с (Ус = О,т1,т2,...).
1.66. Доказать, что: 1) гйпсг = еаЬг; 2) соа1г = сЬг; 3) 151г = !1Ьг; 4) сьйдг = — !сСЬг. 1.67. Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) гйпг; 2) соз -; 3) 15г! 4) зЬг; 5) сЬг; б) СЬг. 1.68.
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций; 1) соа(2+1); 2) сйп2е; 3) 15(2 — 1); 4) с!5( — — 1!п2); 5) сСЬ(2+1); 6) тЬ(!п3+ ™). 1.69. Для каждой из функций е=, созе, сйп г, Сйг, сЬ -, с1!зг найти множество точек г, где она принимает: 1) действительные значения; 2) чисто мнимые значения. 1.70. Найти все значения г, для которых: 1) (15г) = 1; 2) )1Ьг! = 1. По определению Ьпг = !пт+ьр+2яй (!с = О,т1,т2,...), 1пг = !пт+ ар( — л < 1а < х) (1пг называется глаеным значением величины 1 и г).
1.71. Вычислитзк 1) 1 п 4, 1,п (- 1), 1п (- 1); 2) 1,п Ь 1п 1; 3) Ьп =; 4) Ьп (2 — 3!), Ьп ( — 2+ 31). 1 т! ~/2 1.72. Найти ошибку в рассуждениях, приводящих к парадоксу И. Бернулли: ( — г)г = гг, позтому 2Ьп( — г) = 21.пг, следовательно, 1,п( — г) = 1,пг. 1.73. Первоначальное значение 1гпз'(г) при г = 2 принято равным нулю. Точка г делает один полный оборот против часовой стрелки по окружности с центром в точке г = 0 и возвращается в точку г = 2. Считая, что г(г) изменяется непрерывно при движении точки г, указать значение 1пт1(г) после указанного оборота, если: 1) з(г) = 2Ьпг; 2) з(г) = Ьп-; 3) Дг) =Ьпз — Ьп(а+1); 4) У(г) =Ьпл+Ьп(г+1). 1ч Гя.
й Комплексные числа и функции комплексного переменного По определению для любых комплексных чисел о ф 0 и ст а = ехр(оЬпа), или, если под е' по-прежнему') понимать ехрг, то а = е '"'. 1.74. Найти все значения следующих степеней: 1) 1'Гг. 2) ( 2)"1. 3) 2. 4) 1- . 5) 11 6) ( — ); 7) (3 — 41)1+', 8) ( — 3+ 41)'м'. чг2 1.75. Показать, что в случае рационального показателл степени (ст = гл/и) общее определение степени з совпадает с обычным определением: го1'и ( 7 )т (см.
также задачу 1.6). 1.76. Совпадают ли множества значений аз, (о")2, (аз)"? По определению, равенство щ = Агссоаз эквивалентно равенству г = созщ, Аналогично определяются функции Агса)пл, Агсгбг, Агсссбг и обратные гиперболические функции Агсп г, Агз)та, Аг1п з, Агсс)т г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
