Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.77. Доказать следующие равенства (для корней берутся все их значения): 1) Агссоза = — с Ьп(г+ ч/гз — 1); 2) Агсзьп г = — г Ьп)(г + т/ 2 — 1); 1+с 1 1+ее 3) Агс18 г = — Ьп — = — 1 и 2 с — г 21 1 — гг' 4) Агсссбг = — Ьп —; 2 х+Г 5) Агсйз = 1п(г+ 1/зз — 1); 7) Агсйз = — Ьп —; 1 1+г 2 1 — с' 6) Агзйг = ).п(»+ ъ//зз+1); с) Согласно (1) е' = ехр (г Ьп е) = ехр (г (1+ 2хзл)). Однако, если не огоеорено проткеное, мы будем считать Ь = О т. е. по-прежнему ет = ехрг. 8) Агс1)1 г = — Ьп— 1 с+1 2 1.78. Доказать, что для любого значения Агссозз можно подобрать такое значение Агсз1п г, чтобы сумма этих значений была равна к/2.
Доказать аналогичное утверждение для Агссбг и Агссгбг. Примечание. равенствам Агсзьпз+ Агссоаз = к/2 и Агссйа+ +Агссгбз = л/2 всегда придается смысл, указанный в настоящей задаче. 4Я. Последовательности и числовые ряди 15 1.79. Показать, что все значения Агссовз содержатся в формуле Атосов с = т11 п(с+ ~/сзз — 1), где под хй~ — 1 понимается какое-нибудь одно его значение. 1.80. 1) Для каких с все значения функций Агссовс, Агсвшс и Агссб с действительны? 2) Для каких с функция АгеЬг принимает чисто мнимые значения? 1.81. Найти все значения следующих функций: 1 1 1) Агсяп -; 2) Атосов —; 3) Атосов 2; 4) Агсяпс; 5) Агстб(1+ 21); 6) АгсЬ21; 7) Агй (1 — 1).
1.82. Найти все 1) япг+ созе = корни следующих уравнений: 2; 2) яп с — сов - = 3; 4) сЬс — аЬЗ = 1; 1, 5) 2сЬс+ зЬг =1. корни следующих уравнений: 2) ешс =геЬ% 3) сове =свЬ2с. 3) япс — соаг = 5) зЬг — сЬс = 2 1.83. Найти все 1) созе = сЬ гц '3 3. Последовательности и числовые ряды 1.84. Доказать, что если ряд ~с„сходится и (аглс„~ < 11 < —, то ряд сходитсл абсолютно. =1 1.87. Доказать формулу (преобразование Абеля) е с-1 аьБе — — се Яь(Ьь — Ьь, 1) — Б 15 + Я„Ь„, е=т ь=т где 1 < т < и, $ь = а1 + аз + ... + ае (й > 1), Яо — — О. 1.85.
Пусть сходятся ряды ~ ~с„ и ~ ~с~. Доказать, что если с=1 с=1 Нес„) О, то ряд ~ (с„~~ будет также сходящимся. с=1 1.86. Ряд ~~~ с„обладает тем свойством, что четыре его части, с=1 состоящие каждая из членов, содержащихся в одном и том же замкнутом квадранте плоскости, сходятся. Доказать, что данный ряд сходится абсолютно. 16 Гл. д ломклексные числа и функции комклвксного кеременного 1.88.
Доказать, что длл сходимости РЯда ~~1 ипЬп, где Ьп > О, оо л= 1 достаточно, чтобы частичные суммы ряда ~ ап были ограничены и пи! последовательность чисел (Ь„1 монотонно стремилась к нулю (признак Диркхле). Указа н ис. Воспользоваться преобразованием Абеля. 1.89. Доказать, что для сходимости ряда ~ ~опЬи, где Ьп— п=1 действительные числа, достаточно, чтобы ряд ~ ~ап сходился, а поп=1 следовательность (Ьп) была мотонной и ограниченной (признак Абеля). 1.90. Доказать, что для сходимости ряда " опЬи достато 1но выполнения следукнних условий: 1) !нп чго Ьп оо О; 2) ряд ~~1 иги )Ь„ — Ь ,1~ сходится; п=1 п ои 3) последовательность †', где Яи = ~ аг ограничена.
1=1 1.91. Пусть 1!п1 ",/)с„! = ц. Доказать, что ряд ~ ~сп сходится и-лоо и=1 (абсолютно), если о < 1, и расходится, если о > 1. 1.92. Убедиться на примерах рядов 1 + — + — + — + ... (1 < а < Д), 1 1 1 2Л 3" 4Л а+Д~+а~+13~+...
(О<а<Д<1), что ряд л с„ могкет сходиться и тогда, когда 1нп ~ †"' ~ > 1, — ~с и,оо сп п=1 1.93. Доказать, что если 1нп ~ — "" ~ = 1, то для абсолютной схоимоо ~ Си 1'1 си„1 димости РЯДа ~ с„Достаточно, чтобы 1пп п1ч1 — ~ — 1) < — 1 И вЂ” 1ОО Сл (признак Раабе). ! си.11! а /11 1.94.
Доказать признак Гаусса: если ~ — ~ = 1+ — + о~-) сп п и где а не зависит от и и а < — 1, то ряд сходится абсолютно. дд. !Уосяедоеотеяьности и числовые ряды 17 В задачах 1.95-1.104 исследовать сходимость рядов ~ с„. — П П! 1.95. с„= —. 1.96. с„= — '. 1.97. с„= е'". '7 (27)п ' ' ' '7 (777)п ' 7П 7ПО 7П 1.98.
с„= —. 1.99. с„= . 1.100. с„= —. 1.101. с„= — е"7Уп. 1 а(а 4 Ц...(а+ п — Цд(17+ Ц...(уУ+ п — Ц п! у ( у + Ц... ( у -!- п — Ц рический рнд), Ке(а+ 17 — у) < О. 1.1ОЗ. со = —. 1.104. с„=- 1.105. Найти предельные точки множеств; 1) з = 1+ (-Цп — (и = 1,2, ...) и -у 1 2) з = — + — (гп, и — произвольные целые числа); 7П П 3) л = — + 7 — (гп, 71, р, уу — произвольные целые числа): Р Ч 7П П 4) !з! < 1. / 1.106.
Доказать, что пз бесконечной ограниченной последовательности точек (ло) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. 1.107. Доказать следующие предложения: 1) сходимость последовательности (зп = х„ + гр„) эквивалентна одновременной сходимости последовательностей (ап) и (рп); 2) для того чтобы существовал предел )пп з„ ф О, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы )(гп (з„) ф О и (при подхоо — 7СС днщемопРеделенииаг5зо) )пп асяс„. Если )пп з„неавлЯетсЯотРии-77П П вЂ” 7ью цательным числом, то можно, например, считать, что — л < агл зп < 77. В каких случаях сходимость последовательности (з„) эквивалентна сходимости только последовательности (!зп!)? 1.108. На основе утверждений задачи 1.107 доказать: 18 Рл.
й Комплексные числа и функции комплексного переменного В 4. Функции комплексного переменного Комплексные функции действительного переменного В задачах 1.109-1.115 требуется определить линии, заданные указанными уравнениями. 1.109. г = 1 — г1, 0 < 1 < 2. 1.110. г = 1+ ссз, -оо < г < со. 1.111. г =1т+11г, — оо <1 < со. к Зк 1.112.
г = а(сов 1+ г гйп 1), — < 1 < —, а > О. 1.113. г = 1+ —, — оо < 1 < О. 1.114. 1) г=Г+г,/1 — 1г, -1<1«1; 2) г = — 1+ 1Д вЂ” Р, — 1 < 1 < 0 (берется арифметическое значение корня). 1.115. 1) г = а(1+1 — 1е а), — оо < 1 < со, а > О; 2) г = 1а+ аг — гЬе и, 0 < 1 < 2к, а > О, Ь > О. Функции комплексного переменного 1.116. Для отображения ж = гз требуется: 1) найти образы линий х = С, у = С, х = у, (г) = Л, агяг = о и выяснить, какие из них преобразуются взаимно однозначно; 2) найти прообразы (на г-плоскости) линий и = С, е = С (го = = и+1е).
1.117. Для отображения ю = 1гг найти: 1)образылиний х=С, у=С, Ц=Л, агах=а, (г — Ц=1; 2) прообразы линий и = С, е = С. 1 1 1.118. Длв отображений ео = г+ — и го = г — — найти образы окружностей )г! = Л. 1 1.119. Для преобразования чо = з + — найти на г-плоскости прог образ прямоугольной сетки (и = С, е = С) плоскости ги. 1.120. Во что преобразуется окружность |г) = 1 при отображении го = г/(1 — г)зт 1.121. Для отображения го = е' найти; Цобразылиний х=С, у=С, х=у; 2) прообразы линии р = д (О < д < со).
уг. Функции комплексного переменного 19 1.122. Найти преобразование прямоугольной сети (х = С, у = С) плоскости г с помощью функции: 1) ш = гз + г; 2) ш = с1Ь г; 3) ш = е' . 1.123. Во что преобразуются с помощью функции ш = е'+г отрезки прямых х = С и прямые у = С, лежащие н полосе О < у < к? 1.124. Что соответствует в г-плоскости полярной сетке (ш~ = Л, г агяш = сг при преобразованиях: 1) ш = е11', 2) ш = е'? Непрерывность 1.125. Функция /(г), определенная в окрестности точки го, называется непрерывной по Гейне в точке го, если для любой последовательности (зп), сходящейся к го, выполняется условие 1пп /(гп) = и — ~о = /(го); зта же функция называется непрерывной по Коши, если для любого е > О существует такое д(е) > О, что из неравенства (г — "о( < б следуот, что ~/(г) — /(го)~ < е.
Доказать эквивалентность обоих определений (см., например, (1, гл. 1, п. 3.6]). Бег г Ве(г ) г Бег 1.126. функции —, —, —,, — определены для г ф О. ' ~4' !гр ' !4 Какие из них могут быть доопределены в точке г = О так, чтобы они стали непрерывными в этой точке? 1.127. Будут ли функции: 1) 1/(1 — ); 2) 1/(1+ ); непрерывны внутри единичного круга (ф < 1)? Будут ли они равномерно непрерывны? 1.128. 1) Доказать, что функция е. 'Лц равномерно непрерывна в круге ф < Л с выколотой точкой г = О. 2) Будет ли равномерно непрерывна в этой же области функции е '?"? 3) Будет ли функция е '1 равномерно непрерывна в секторе О < ф < Л, ( атд г! < л/6? 1.129.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
