Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 10

Полосу 0 < х < 1 с разрезом вдоль отрезка 0 ( х ( Ь, у = =О (Ь<1). 2.165. Полосу 0 < х < 1 с разрезами вдоль отрезков О ( х ( Ьы у=О и 1 — Ьг<х<1, у=О (Ьг+Ьг<1). 2.166. Полуполосу 0 <х < я, у>0 с разрезом вдоль отрезка х= =я/2, 0<у<Ь. 2.167. Полуполосу 0 < х < х, у > 0 с разрезом вдоль луча х = =я/2, Ь<у<оо(Ь>0). 2.168. Полуполосу 0 < х < я, у > 0 с разрезами вдоль отрезка х=л/2, 0<у<Ьг ивдольлуча х=л/2, Ьг(у<ос (Ьг>Ьг). 2 169.

Область, ограниченную окружностями ~» — Ц =1, (»+ Ц = = 1, с разрезом по лучу 2 < х < со, у = О. 2.170. Область, ограниченную окружностями (» — Ц = 1, (» — 2) = = 2, с разрезом вдоль отрезка у = 0„2 < х < а (а < 4). 2.171. Область, ограниченную окружностями (» — Ц = 1, )» — 2~ = =2,сразрезамивдольотрезков у=О, 2<х<а и у=О, Ь<х<4 (а < Ь). 2.172.

Область, ограниченную мнимой осью и окружностью ~»вЂ” — Ц = 1, с разрезами вдоль отрезка у = О, 2 < х < а и вдоль луча у = О, Ь < х < со (а ( Ь). 2.173. Область, ограниченную окружностями )» — Ц = 1, )» + Ц = =1,сразрезомпоотрезку х=О, — а<у<6 (и>0, 6>0). 2.174. Область )» — Ц > 1, )»+ Ц > 1, 1пг» > 0 (верхняя полу- плоскость с выкинутыми полукругами) с разрезом по отрезку х = О, 0 < у < Ь. 94. Эаелгентарные трансцендентные франции 2.175. Отобразить внутренность параболы уз = 4аз(х+ ггз) на верхнюю полуплоскость и на единичный круг.

Указан ие. Провести разрез по оси симметрии параболы, отобразить верхнюю половину параболы (с помощью функции т/з) на Рис. В полуполосу, а затем па полуплоскость и воспользоваться принципом симметрии. 2.176~. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезкам О < у < а, х = л/2+Ах (й = О,х1,х2,х...) на верхнюю полуплоскость (рис. 8). 2.177.

Плоскость с параллельными разрезами — а < х < а, у = = и/2+ йх (й = О., х1, х2, ...) отобразить на плоскость с разрезами по отрезкам действительной оси [/сх — 6, йя + с] (й = О, х1, х2, ...; О < Ь < < я/2). Указание. Провести дополнительный разрез по мнимой оси, одну из образовавшихся областей отобразить на верхнюю полуплоскость и воспользоваться принципом симметрии. 2.178. Отобразить плоскость с разрезами по лучам ( — со, — л/2[, Рис. 9 [а/2,+со) и по отрезкам — а < у < а, х = х/2+ йх (В = О, х1, т2, ...) на внешность единичного круга (рис. 9). У к а з а н и е. Функция, дающая решение задачи 2.176, отображает заданную область на плоскость с разрезами по лучам ( 1 ~ ) 1 [ [ 1 — со,— 1, [,+ ').

агссйп 1/со а 3 ' 1ысаш 1/сЬ а ' Гя.П. Кон4ормнна отоараханил 2.1Т9. Плоскость с разрезами по лучам (-оо,р], [д, +оо) (-т/2 < Рис. 10 < р < д < х/2) и по отрезкам — е < у < а, х = х/2+ кя (к = О, х1, х2,...) отобразить на верхнюю полуплоскость (рис.

10). 2.180*. Плоскость с разрезами по лучам 0 < у < оо, х = кх/2 (к = О, *1,х2,...) отобразить на верхнюю полуплоскость. Простейшие многолистные отображения В задачах 2.181-2.184 отображения приводят к многолистным областям (см. сноску на с. 49). 2.181. Найти области, на которые отображаются с помощью функции ш = е'г 1) прямоугольник 0 < х < о, 0 < у < Ь; 2) лолуполоса О < х < о, у > 0; 3) полоса 0 < х < е. 2.182. Найти области, на которые отображаются с помощью функции щ = созьч 1) полоса — я/2 < х < х/2; 2) полоса О < х < 2т. 2.183. Найти область, на которую с помощью функции нг = газ отображается полоса 0 < х < 2л. 2.184.

Построить риманову поверхность, на которую функция щ = е1г' отображает з-плоскость. 3 5. Границы однолистности, выпукяости и звездности Пусть щ = /(з) — функция, аналитическая в начале координат, и /(0) = О. В задачах 2.185-2.193 через гг обозначен максимальный радиус круга с центром в начале координат, в котором функция щ = /(з) однолистна; через гз — максимальный радиус круга с центром в начале координат, который функцией щ = /(з) отображается однолистно на выпуклую область, и через гз — максимальный радиус круга с центром в начале координат, отображаемого функцией ш = /(з) однолистно на область, звездную относительно точки щ = О.

(Область до. Границы однолистности, выпуклости и»вввдности 53 называется звездной относительно данной точки, если любую точку области можно соединить с данной прямолинейным отрезком, целиком лежащим в области.) Очевидно, что гз < гз < гы 2.185. Для функции ш = — найти гв, гз, гз и построить 1 †» образы кругов )»( < гв, )»! < гг, ~4 < гз 2.186.

Найти г1 для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»»; 2) ш = »+ а»з (а — действительное число); 3)шт Л1 — ). 2.187. Доказать, что при отобрежении»о = 1(») кривизна образа окружности ф = г выражается формулой к = /»1'(»)! 2.188. Доказать, что аналитическая функция 1(») отображает окружность ф = г на выпуклую кривую тогда и только тогда, когда и — ~ — '+ р+а»81'(»)~ =1+Не~ ~ >О для всех 1о(» = гегв) ). 2.189. Доказать, что круг ф < г отображается аналитической функцией 1(») (1(0) = О) на область, звездную относительно точки д 1 1'(»)1 ю = О, тогда и только тогда, когда — а»8~(») = Ке ~ ~ 3 О для ду ~Д.))- всех 1о (» = ге1е).

2.190. Доказать: 1) если функция т = 1(») (1(0) = О) отображает круг ф < 1 на область, звездную относительно точки ю = О, то функция ш1 = / — Ш г У(1) будет отображать этот же круг на выпуклую область; 2) если ш = 1(») отображает круг (»~ < 1 на выпуклую область, то шв = »1'(») совеРшает отобРажение этого кРУга на область, звездную относительно точки в = О. 2.191. Найти гз для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»з; 2) ш = »+ а»' (а — действительное число); 3) 1о = »/(1 — »)з. 2.192.

Найти гс и гз для функции ш = е* — 1. 2.193. Найти гз для каждой из следующих функций: 1) ш = »+»з; 2) ю = »+ а»з (а — действительное число); 3) ш = »/(1 — »)з. Указание. При решении задачи 2.193, 3) удобнее исходить не- а посредственно из неравенства — (~р+ ахйу'(»)) > О. д1о ") См., нвпрнмер, (4, ге. ХИ1, 1 2). ГЛАВА 1П ИНТЕГРАЛЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В задачах этой главы, а также и в следующих главах, если не оговорено противное, обход простых (т. е. без точек самопересечения) замкнутых контуров происходит в положительном направлении.

3 1, Интегрирование функций комплексного переменного 3.1. Непосредственным суммированием доказать равенства: и 1 1) /дг = з~ — зе, '2) /з0з = — (г~~ — го). — о. и и 3.2. Пусть С вЂ” простой замкнутый контур, ограничивающий площадь Л. Доказать следующие равенства: 1) /хдг = гЯ; 2) /угу = — Я; 3) /гсЬ = 2г5. с С С З.З. Вычислить интегралы 1г — — /хсзр, 1з —— /угу по следующим путям: 1) по радиусу-вектору точки г = 2+ г; 2) по полуокружности ~з) = 1, О < аглг < х (начало пути —- н точке г = 1); 3) по окружности (з — а~ = В. 3.4.

Вычислить интеграл /фея по следующим путям: 1) по радиусу-вектору точки з = 2 — г; 2) по полуокружности ф = 1, О < агяз < л (начало пути— в точке г = 1); 3) по полуокружности ф =1, — л/2 <вгбз <я/2 (начало путив в точке з = — г); 4) по окружности ~з~ = Н. З.б. Вычислить интеграл /(з~Зг1з, где С вЂ” замкнутый контур, с состоящий из верхней полуокружности ф = 1 и отрезка — 1 < <х<1, у=О. 3.6. Вычислить интеграл / — дз, где С вЂ” граница полукольца, С изображенного на рис. 11. у 1.

Интегрирование функций комплексного переменного 55 З.Т. Вычислить интеграл (г — а)" г(г (и — целое числа): 1) по полуокружности ~г— — а~ = Л, 0 < агя (г — а) < я (начало пути — в точке г = а + гг); 2) поокружности ~г — а~ =Л„ 3) по периметру квадрата с центром в точке а и сторонами, параллельными осям координат, Рис. 11 В задачах 3.8-3.11 стоящая под знаком интеграла ветвь многозначной функции выделяется заданием ее значения в некоторой точке контура интегрирования.

Если контур замкнут, то начальной точкой пути интегрирования всегда считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции (следует иметь в виду, что величина интеграла может зависеть от выбора атой начальной точки). г йг 3.8. Вычислить интеграл / — по следующим контурам: ' l,/- 1) по полуокружности )г! = 1, у > О, Я = 1; 2) по полуокружности ф = 1, у ) О, 1/Т = — 1; 3) по полуокружности ф = 1, у < О, 1/1 = 1; 4) по окружности (г( = 1, т/1 = 1; 3) по окружности ~г~ = 1, т/ — 1 = 1.

3.9. Вычислить интеграл /'Ьпгбг, где; с 1) С вЂ” единичная окружность и Ьп1 = 0; 2) С вЂ” единичная окружность и Ьпу = кг/2; 3) С вЂ” окружность ф = Л и Ьп В =!и Л; 4) С вЂ” окружность ~г) = Л и Ьпй =)пг1+ 2кг. 3.10. Вычислить интеграл (' г" Ьпгдг, где и — целое число и: ай=1 1) Ьп1 = О; 2) 1п( — 1) = ггг', 3.11. Вычислить интеграл ( г аг, где сг — произвольное комплексное число и 1 = 1 !4=1 3.12. Доказать, что / а'сЬ = 0 при любом выборе начального значения функции и*. 14=1 3.13.