Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 5

1.159. н(х, р) = хг — рг + х, 0 < (г! < оо. 1.160. и(х,у) =... О < ф < со. 1.161. и(х, р) = 1п (хз + уз) 1 2 а) в области, полученной из плоскости удалением полуоси: у = О, — оо < х < О; б) в плоскости с выколотым началом координат: 0 < ~г! < оо. 1.162. и(х,д) = — (1п(ха+уз) — !п[(х — 1) +У )): 2 а) в плоскости с вьпсолотыми точками г = О и г = 1; б) в плоскости с удаленным отрезком действительной оси: р = О, 0<х<1; в) в плоскости с удаленным лучом: р = О, 1 < х < оо.

56. Аналитические и гармонические функции 1.163. и(х, у) = — ~~~ сгь 1и [(х — хь)з + (у — уь)з]. 1 2 ь=п а) в плоскости с выкинутыми точками хы гз, ..., х„(гь = хь + 1уь, хг ф гт); б) в плоскости с удаленной простой (т. е. без самопересечений) ломаной линией, соединяющей данные точки. 1.164.

Существует ли аналитическая функция 7(г) = и + ги, для которой: х у 1) и = „,,; 2) и =!п(ха+ уг) — ха+ ут; 3) и = ее?г? ( -"жуг)г' В задачах 1.165 †.168 найти аналитические функции 7(г) = и, + го по заданной действительной или мнимой части. 1.165. и = хз — уз + 5х + у— хе+ уг 1.166. и = е*(х сову — у з1пу) + 2сйпх злу+ ха — Зхуз+ у. 1.167. о = 3+ хз — уев 2(хг + уг) 1.168. и = 1п(ха+уз) + х — 2у.

В задачах 1.169-1,176 выяснить, существуют ли гармонические функции указанного вида (отличные от постоянной), и в случае существования найти их, 1.169. и = ср(х). 1.170. и = со(ох + бу) (а и 6 — действительные числа). 1.171. и = д(У ]. 1.172. и = ио(ху). 1.173. и = р(х~ + уг). 1.174.

и = 1о( ) . 1.175, и = 1о(х + тггР+ уг). 1.176. и = ~р(х~ + у). В задачах 1.177-1.180 доказать существование и найти аналитические функции 7(х) по заданному модулю или аргументу. 1 177 р = (хз + уз)ее 1 178 р = е сочти 1.179. 9 = ху, 1.180. д = 1о+ га1пио. 1.181. Доказать: чтобы семейство линий уо(х,у) = С, где уг— дважды непрерывно дифференцируемая функция, было семейством линий уровня некоторой гармонической функции, необходимо и достаточно, чтобы отношение Ь~р/(8габ~р)з зависело только от ио. Указание. Предварительно установить, что искомая гармоническая функция имеет вид и = 7[~р(х, у)]. за Гл.й Комилексные числа и функции комилексного иеременного В задачах 1.182 — 1,186 найти аналитические функции, у которых вдоль любой линии соответствующего семейства сохраняет постоянное значение либо действительная часть, либо мнимая часть, либо модуль, либо аргумент.

1.182. х = С. 1.183. и = С. 1.184. у = Сх. 1.18ог. '+ у' = С. 1.188. '+ уз = Сх. Геометрический смысл модули и аргумента производной 1.187. Отображение совершается с помощью функций ю = г' и ю = гз. Найти угол поворота (д) направления, выходящего из точки го, и коэффициент растяжения (Й) в следующих точках: 1) го = 1' 2) го = — 1/4; 3) го = 1+ г; 4) го = — — 3+ 4г. 1.188. Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается., если отображение осуществляетсл функпией: 1)ю=г~; 2)ю=г~+2г; 3)ю=1/г; 4) ю = е', 5) ю = 1п(г — 1)? 1.189.

Область С отображается с помощью функции ~(г) конформно и взаимно однозначно на область С'. Указать формулы для вычисления площади Я области 6" н длины Л дуги, на которую отображается некоторая дуга 1, принадлежащая области С. 1.190. Найти длину Ь спирали, на которую с помощью функции е' отображается отрезок у = х, О < х < 2к, 1.191.

Найти плошадь области, на которую с помощью функции е' отображаетсн прямоугольник 1 < х < 2, О < у < 4. 1.192. Найти область П, на которую функция е' отображает прямоугольник 1 < х < 2, О < у < 8. Вычислить плошадь области В с помощью формулы, полученной при решении задачи 1.189, и обьяснить, почему эта формула дает неправильный результат. ГЛАВА 11 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 3 1.

Линейные функции Белые линейные функции 2.1. Найти целую линейную функцию, отображаюшую треугольник с вершинами в точках О, 1, 1 на подобный ему треугольник с вершинами О, 2, 1+ г. 2.2. Найти целое линейное преобразование с неподвижной точкой 1+ 21, переводящее точку 1 в точку — 1, 2.3. Для указанных преобразований найти конечную неподвижную точку хе (если она сушествует), угол поворота нокруг нее д и коэффициент растяжения Й. Привести зти преобразования к каноническому виду ю — хо = Л(з — хе): 1) ш = 2х + 1 — 31; 2) ю = г'а + 4; 3) ю = х+ 1 — 21; 4) ю — ю1 — — а(х — з1) (а ф 0); 5) ш = ах+ Ь (а ф 0).

2.4. Найти обшую форму целого линейного преобразования, переводящего: 1) верхнюю полуплоскость на себя; 2) верхнюю полуплоскость на нижнюю полуплоскость; 3) нерхнюю полуплоскость на правую полуплоскость; 4) правую полуплоскость на себя. Показать, что во всех случаях преобразование однозначно определяется заданием одной пары соответственных внутренних точек или двух пар граничных. 2.5. Найти общую форму целого линейного преобразования, переводящего: 1) полосу 0 < х < 1 на себя; 2) полосу — 2 < р < 1 на себя; 3) полосу, ограниченную прямыми у = х и у = х — 1, на себя. Выяснить, какие пары точек могут при этих отображениях соответствовать друг другу и в каком случае это соответствие будет однозначно определять отображение.

2.6. Найти целую линейную функцию ю(х), отображающую полосу, заключенную между данными прямыми, на полосу 0 < и < 1 при указанной нормировке: Гл.И. Конформные отображения 1) х = а, х = а+ 6; т1а) = 0; 2)х=а, х=а+6; со(а+-~= — +с, 1зпсо~а+ — +с) <1; 21 2 ' 1 2 3) у = Ьх, у = Ьх + Ь, со10) = О; 4) у=)сх+Ьс, у =йх+Ьз, 'ш(Ь~) =О. 2.7. Найти целую линейную функцию, отобрансающую круг ф < < 1 на круг (сл — во( < Н так, чтобы центры кругов соответствовали друг другу и горизонтальный диаметр переходил в диаметр, образующий с направлением действительной осп угол о.

Дробно-линейные функции 2.8. Для функции со = 1/» найти образы следующих линий: 1) семейства окружностей х +у = ах; 2) семейства окружностей хз + уз = Ьу; 3) пучка параллельных прямых у = х+ 6; 4) пучка прямых у =- Ьх; 5) пучка прямых, проходящих через заданную точку»о ф О; 6) параболы у = х"-. 2.9. Выяснить, во что функция в = + К переводит: 1 » — »с 1) прямоугольную сетку х = С, у = С; 2) полярную сетку (» — »о~ = Й, а»81» — »о) = о. 2.10. Дана функция т = 1) Доказать, что прообразом семейства )т) = Л 10 < Л < оо) является семейство окружностей 1окружпости Аполлония).

Для данного Л найти радиус и положение центра соответствующей окружности в »-плоскости. 2) Найти прообразы лучей ахаю = О. 3) Построить сетку в =-плоскости, соответствующую полярной сотке а ш-плоскости. 4) Найти область »-плоскости, соответствующую полукругу (в~ < < 1, 1го ш > О. В задачах 2.11-2.15 выяснить, во что преобразуются указанные области при заданных отображающих функциях. 2.11. Квадрант х > О, у > О; со = —.. »+1 2» — 1 2.12. Полукруг ф < 1, 1га» > О; со = —.. 2+ с» 2.13. Угол О < со < —; со =— 4' » — 1 у1.

Линейные функции е — 1 2.14. Полоса 0 < х < 1: 1) ш = —; е е — 1 2) ш —. =и†2.15. Кольцо 1 < ~х! < 2; ш = е — 1 2.16. Отобразить на вертикальную полосу 0 < Неш < 1: ф 1) полуплоскость Нее ) О с выкинутым кругом ~г — — ' < —; 2 2' 2) двуугольник, заключенный между окружностями (4 <йз); А~ йе — — — так, чтобы 2 ~ 2 3) внешность кругов ш(И2) = О. 2.12. Найти дробно-линейные функции, переводящие точки — 1, 1, 1+ е соответственно в точки: 1) О, 21, 1 — 1; 2) ц оо, 1. 2.18.

Найти дробно-линейные функции, переводящие точки — 1. оо, 1 соответственно в точки: 1) е, 1, 1 + г; 2) со, 1, 1; 3) О, оо, 1. 2.19. Найти дробно-линейные функции по следующим условиям: 1) точки 1 и 1 неподвижны, а точка 0 переходит в точку — 1; 1 5 3. 2) точки — и 2 неподвижны, а точка — + — 1 переходит в оо; 2 4 4 3) точка 1 являетсл двойной неподвижной точкой, а точка 1 переходит в оо. 2.20. Найти дробно-линейную функцию, переводящую точки — 1, О, 1 соответственно в точки 1, 1, — 1, и выяснить, но что при этом отображении переходит верхняя полуплоскость. 2.22.

Найти отображение верхней полуплоскости на себя при указанной нормировке: 1) ш(0) = 1, ш(1) = 2, ш(2) = со; 2) ш(0) = 1, ш(1) = 24. Примечание. Об отображении верхней полуплоскости на себя при другой нормировке см. задачу 2.34. 2.23. Найти функцию ш(з), отображающую круг ф < Л на правую полуплоскость Веш > 0 так, что ш(Л) = О, ш( — В) = оо, ш(0) = 1. Каков при этом отображении образ верхнего полукруга? 2.21.

Найти общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего: 1) верхшою полуплоскость на себн; 2) верхшою полу плоскость на нижнюю полуплоскостсц 3) верхнюю полуплоскость на правую полуплоскость. Гм11. Ноиформиыв отображения зо Две точки Ры Рг называются симметричными относительно окружности К с центром 0 и радиусом Л, если они лежат на одном и том же луче, выходящем из О, и ОРг . ОРг = Н .

2.24. Найти точки, симметричные с точкой 2 + г относительно окружностей: 1) (г! = 1; 2) )г — г! = 3. 2.25. Найти симметричный образ относительно единичной окружности следуюШих линий: 1) (г(=-; 2) (г — 1~=1; 3)у=2; 4) )г — го! = !го( (зо = хо + гуо); 5) (г — зо! = фло~г — 1 ()го) ) 1); б) гиперболы хг — уг = 1; 7) границы прямолинейного треугольника с вершинами аы гг, гз (г; ф 0). 2.26. Доказать, что для симметрии точек Рг и Рг относитель- но К необходимо и достаточно выполнения одного из двух условий: 1) всякая окружность Кы проходящая через точки Ры Рг, ортого- пальна к К; МР, 2) — = сопят для всех точек ЛХ окружности К (т. е. К является МРг окружностью Аполлония относительно точек Рг и Рг).

г †2.27. Функция ю = е'"= ((1 = а+ гЬ, Ь > 0) отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг: 1) найти ага ю(х) = й(х); 2) найти ш'(13); 3) выяснить, какая часть верхней полуплоскости при этом отобра- жении сжимается и какая растягивается. 2.28.

Отобразить верхнюю полуплоскость 1ш г ) 0 на единичный круг ~ю~ < 1 так, чтобы: 1) ш(г) = О, агяю'(г) = — —; 2) ш(2г) = О, агцш'(2г) = 0; 3) ю(а+ 61) = О, агяш'(а+ 61) = д (6) 0). 2.29. Отобразить верхнюю полуплоскость 1ш г ) 0 на круг )ю— — юо! < Н так, чтобы точка г пеРешла в центр круга, а пРоизводнал в этой точке была положительной. 2.30.