Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного, страница 6

Отобразить круг ф < 2 на полуплоскость Неш > О так, чтобы ю(0) =1, атяш'(0) = х1'2. 2.31. Отобразить круг )з — 4г~ < 2 на полуплоскость е > и так, чтобы центр круга перешел в точку — 4, а точи~ окружности 2г— в начало координат. ад Линейные фуннции зз 2.32. Найти общий вид дробно-линейной функции ш(е), отображающей круг !з! < 1 на правую полуплоскость Нею > 0 так, чтобы ю(зе) = О, в(зз) = со, где зы зз — заданные точки на окружности !з! = 1 такие, что агяз~ < агяза.

Построить семейство линий в круге !з! < 1, соответствующих полярной сетке в полуплоскости Нею > О. У к а з а н и е. Воспользоваться общей формой дробно-линейного преобразования для трех пар соответственных точек и найти еие — е~ ага еил — ге 2.33. Найти центр юо и радиус Н окружности, на которую функе — е! ция ю = — отображает действительную ось (1щаз ф 0). 2.34. Найти функцию, отображающую верхнюю полуплоскость на себл так, что в(а) = Ь, атею'(а) = а (1т а > О, 1т6 > 0).

Указание. Отобразить предварительно оба экземпляра полу- плоскости на единичный круг с соответствующей нормировкой. 2.35. Отобразить верхнюю полуплоскость па нижнюю так, чтобы еи(а) = а и агав'(а) = — — (1та > 0). 2 2.36. Для функции ю = е' (!а! < 1), отображающей еди- 1 — из ничный крут на себя: 1) найти агхю(еч') = В(~р); 2) найти ю'(0) и ю'(а); 3) выяснить, какая часть единичного круга при этом отображении сжимается и какая растягивается; йш~ . ~Ив! 4) найти щах~ — ~ и пцп! — ! для !з! < 1.

йе 2.37. Отобразить круг !з! < 1 на круг !ш! < 1 так, чтобы: 1) ю( — ) = О, агав (-) = 0; 2) ш( — ) = О, агбш'(-) = —; 3) ю(0) = О, агав'(0) = — —; 4) ю(а) = ои агав'(а) = а. 2.38. Отобразить круг !з! < Не на круг !в! < Нз так, чтобы в(а) = Ь, агав'(а) = а (/а! < Нд, /Ь! < Нз). 2.39. Отобразить круг !е! < 1 на круг /ш — 1! < 1 так, чтобы ю(0) = 1/2 и ю(1) = О. 2.40. Отобразить круг !г — 2! < 1 на круг !ю — 21! < 2 так, чтобы ю(2) = 1 и агав'(2) = О.

2.41. Найти общий вид дробно-линейной функции ю(з), отображающей круг !г! < Н на себя при следующих условиях: 1) в(а) = 0 (/а! < Н); 2) ю(а) = Ь (/а! < В, !Ь! < Н); 3) в(~В) =*В. Гя.П. Конформяые отовражеяыя з2 2.42. Отобразить круг Ц < 1 на себя так, чтобы заданные точки гы зз внутри круга перешли в точки ~а (О < а < 1); найти а. Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.41, 2) и тождеством задачи 1.10. 2.43. Отобразить круг ф < 1 на себя так, чтобы отрезок действительной оси у = О, 0 < к < а (а < 1) перешел в отрезок действительной оси, симметричный относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка.

2.44. Доказать, что при отображении круга на круг линейное преобразование однозначно определяется заданием образов одной внутренней и одной граничной точек. 2.45. Единичный круг отображается на себя так, что точка га ф О переходит в центр круга. Доказать, что при этом единичная полу- окружность отображается на полуоьружность тогда и только тогда, когда ее концы лежат на диаметре, проходящем через точку ге. 2.46.

Построить отображение единичного круга на себя, при котором прообраз центра находится на действительной оси, а дуга О < < ~р < х/г единичной окружности отображается в следующие дуги: ц о<в<-'; г) о«в<-; з) — '<в< — '. з 2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований Нанонические формы линейных преобразований Дробно-линейное преобразование с одной неподвижной точкой ге называется параболическим. Параболическое преобразование можно записать в канонической форме 1 1 = — +Ь, ш — гг г — гг если гс ф со, или если го = ж.

Дробно-линейное преобразование с двумя различными неподвиж- ными точками г1 и зз в канонической форме имеет вид ю — и я — н =к —, ю — г я — яг если гч ф оо, зз ф со, или и> — з1 — — Й(з — зз), если зз = оо; преоб- разование с двумя различными неподвижными точками называется гиперболическиц если к > О, эллиптическим, если 1с = еья и а ф О, и локсодромическим, если й = ае", причем а ф 1 и а ф 0 (а и а— действительные числа, а > 0).

рл. Дополнитвльныв вопросы теории линвйныл преобразований ЗЗ 2.47. Доказать следующие утверждения: ал+Ь 1) общее дробно-линейное преобразование ьо = — можно ел+ 4 ал+Д а привести к виду ьо = —, где о - -1; 7л+ о 7 2) если сь + б — действительное число, то преобразование является эллиптическим, когда ~а + б~ ( 2, гиперболическим, когда (сл+ б! > 2, и параболическим, когда )сь+ б) = 2; 3) если 1гп(о+ 6) ~ О, то преобразование локсодромическое.

2.48. Доказать, что если линейное преобразование имеет две неподвижные точки, то произведение производных в этих точках равно единице. 2.49. Найти окружности, которые при параболическом преобра- 1 1 зовании + н переходят сами в себя. ьо — лв л — лв 2.50. Найти общий вид параболического преобразования круга ф < Н на себя, если точка Л является неподвижной.

2.51. Доказать следующие свойства гиперболического преобразования: 1) любая окружность, проходящая через две неподвижные точки, переходит сама в себя, причем направление обхода сохраняется; 2) любая окружность, ортогональная к окружностям, проходящим через неподвижные точки, переходит в окружность, обладающую тем же свойством. (Это свойство непосредственно следует из свойства 1).) У к а з а н и е. Предварительно рассмотреть случай, когда неподвижные точки О и оо. 2.52. Доказать, что при эллиптическом преобразовании: 1) любая окружность, ортогональная к окружностям, проходящим через две неподвижные точки, переходит сама в себя с сохранением направления обхода; 2) дуга окружности, соединяющая неподвижные точки, переходит в дугу окружности, соединяющую неподвижные точки и образующую угол сь с первой дугой (а = агя 1с).

2.53. 1) Доказать, что при локсодромическом преобразовании сохраняются свойства 2) гиперболического (см, задачу 2.51) и эллиптического (см. задачу 2.52) преобразований. 2) Доказать, что при локсодромическом преобразовании не существует неподвижных окружностей, если только а ф я (а = агб)с). Доказать, что если сл = я, то окружности, проходящие через неподвижные точки, переходят сами в себя с изменением направления обхода. 2.54. Доказать, что при локсодромическом преобразовании зо = = ае'ал логарифмические спирали т = Ае1ы'з' 1к (А > 0) переходят сами в себя.

3 Л.И. Волковысккя к лр. Гм!1. Конформнне отолронгення гх е — а 2.55. Доказать, что линейное преобразование и = егх (а = 1 — аг = )а)ее, )а! < 1), переводнщее единичный круг на себв, может быть только либо эллиптическим, либо параболическим, либо гиперболическим. Выяснить, при каких значениях а имеет место каждый из указанных случаев. Найти неподвижные точки преобразования и привести его к каноническому виду. Некоторые приближенные формулы при линейных преобразованиях 2.56.

Верхняя полуцлоскость отображается на единичный круг так, что точка з = Ьг' 16 ) 0) переходит в центр круга. Найти длину Г образа отрезка [О, а) действительной оси (а > 0) и получить линейные приближенные формулы длн Г при малом а/1г и при малом и/а. 2.57. Единичный круг отображается на себя так, что прообраз центра круга — точка хо — находится на действительной оси. Найти длину Г образа дуги 0 < у < 7 единичной окружности (7 < х). Как изменлется величина Г/7 в зависимости от знака хо7 2.58. В условилх задачи 2.57 получить формулы: 1) Г = у+ 0(уз) при малом у; 1 — ео ег 2) Г = х — яс18Т вЂ” — сгйг-+0(яз) при малом е, где е = 2 2 2 = 1 — хо.

2.59. Единичный круг отображаетсл на себя так, что точка зо = = геены переходит в центр. Точки зг — — е'ю и зг — — его' лежат по одну сторону от диаметра, проходящего через зо ~уо < нгг < нгг < уо + х). Считая, что точка зо расположена близко к единичной окружности, доказать, что для длины Г образа дуги уг < ~о < ~от единичной окружности справедлива формула Г = а)с18 — с18 ~ + 2 2 + — ~~с15 — — с18 ~ ~+ 0(е ), е 1 гггг — уо ганг — тго1 з 2 ! 2 2 где е = 1 — г'о. Отображения простейших двусвязных областей 2.60.