Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 57

Перевозки пассажиров на международных авиалиниях к ТОО В С 400 к 5 00 а 400 И 300 .И 200 о тоо 8. о 0 10 20 30 40 50 60 Месяц рис. а7.7 388 4. В таблице представлены данные по месячным перевозкам, тыс. человек, пассажиров на международных авиалиниях в 5954-!958 гг. (рис.

17.7). ГЛАВА 18 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО РЕГРЕССИОННОГО И КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА $ з8.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости Для описания, анализа и прогнозирования явлений и процессов в экономике применяют математические модели в форме уравнений или функций.

Модели экономического объекта, отражая основные его свойства и абстрагируясь от второстепенных, позволяют судить о его поведении в определенных условиях. Одной из основных задач математической статистики является исследование зависимости между двумя или несколькими переменными.

Две переменные Х и т' могут быть независимыми или связанными функциональной либо статистической зависимостью. Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как хотя бы одна из переменных подвержена случайным факторам. Статистической зависимостыв называется такая зависимость, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение распределения другой. Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то в этом случае статистическая зависимость Глава 18 Е является корреляционной.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой. Основная цель изучения зависимостей между случайными величинами заключается в прогнозировании с данной вероятностью области значений одной случайной величины на основании наблюдаемых значений другой случайной величины. На практике при исследовании зависимости между случайными величинами Х и У часто ограничиваются исследованием зависимости между Х и условным математическим ожиданием К Напомним, что зависимости такого рода называются регрессионными зависимостями.

Функцию о(х) = ~ур(у~х)Иу= М(У ~Х =х) называют функцией регрессии первого рода (или модельной функцией регрессии) У по Х, а ее график — линией регрессии У на Х (см. $ 7.4). Аналогично функцию о(у)= ) хр(х(у)в(х=М(Х~У =у) называют функцией регрессии Х по К Например, уравнение регрессии У по Х двумерной случайной величины (Х У), распределенной по нормальному закону, имеет вид ~р(х)=а +г — (х-а„), о, о л т.е.

функция является линейной и график ее имеет вид прямой линии, проходящей через центр распределения С(а„, а,). Аналогично линией регрессии Хпо Убудет прямая фу)=а„+г — *(у-а ). о У Уравнение регрессии Р=о(х) делает возможными точечные предсказания значений условных математических ожиданий составляющей Удвумерной случайной величины (Х, У) по зна- 391 Щ» ЧАСТЬ Гс Математическая статистика чению составляющей Х = х. Однако для такого прогноза необходимо знать закон распределения двумерной случайной величины (Х, У), который на практике, как правило, неизвестен. Поэтому исследование зависимости случайной величины от ряда неслучайных и случайных величин приводит к моделям регрессии на базе выборочных данных. В качестве оценок условных математических ожиданий принимаются условные средние, которые находятся по данным выборки (х„у,), 1 = 1, 2, ..., п объема л.

Условным средним у„называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений у, соответствующих значению Х = х. Например, если при х = 2 величина у принимает значения — 5+ б+ 10+ 8 29 у, = 5, у, = 6, у, = 10, у„= 8, тогда у„= Условным средним х называется среднее арифметическое наблюдавшихся значений Х соответствующих )' = у. Если результаты выборки представить в виде точек (х„ут), 1 = 1, 2, ..., и в декартовой системе координат, то получим точечную диаграмму, называемую корреляционном полем (рис. 18.1.). Рис.

авд Х=х) Оценку функции регрессии называют эмпирической регрессией, или функцией регрессии второго рода. Поскольку функции регрессии обладают свойством минимальности, т.е. среднее квадратическое отклонение случайной величины К от функции са(х) является наименьшим, то для нахождения эмпирических уравнений регрессии у=с»(х, а, ..., с) применяется метод наименьших квадратов (см. 8 13.3). Регрессионный анализ — это анализ функций регрессии первого и второго рода. Перед проведением регрессионного анализа необходимо по статистическим данным выбрать общий вид эмпирической функции регрессии. На практике ча- 39а Глава 18 ви сто считают, что функция регрессии — это линейная функция: у =Ьх+а, где Й = рл„— коэффициент регрессии у по х.

Проверка этой гипотезы основывается на результатах оценки коэффициента корреляции. Если установлено, что зависимость между некоторыми наблюдаемыми величинами существует, то на практике важно знать, какая она: сильная или слабая, положительная или отрицательная. Для выяснения этих обстоятельств используется корреляционный анализ. Корреляционный анализ — это анализ оценок коэффициента корреляции. Он позволяет ответить на вопрос: существует ли линейная функциональная зависимость между случайными величинами Хи У, и позволяет измерить степень близости статистической зависимости к функциональной.

5 18.з. Регрессионные модели как инструмент анализа и прогнозирования экономических явлений В случае применения регрессионных моделей результат действия экономической системы или объекта в виде одного или нескольких выходных показателей можно представить как функцию влияющих на него факторов.

Некоторые из них оказывают существенное влияние на результат, другие — весьма незначительное. Как правило, существенных факторов мало, в то время как несущественных — достаточно много, поэтому пренебрегать полностью ими нельзя. К числу основных факторов при изучении зкономического объекта обычно относятся настоящий труд (или трудовые ресурсы) и прошлый труд (энергия, сырье, материалы, оборудование, здания, сооружения и т.д.).

Вместе с тем труд прилагается при определенном состоянии внешней среды, т.е. при определенных экономических и природных условиях. Поэтому соответствующие факторы также должны найти отражение в модели. В процессе производства и распределения продукции имеют место массовые многократно повторяющиеся события. Несмотря на развитие экономики и ее отдельных частей, на протяжении относительно небольших временных периодов и в пределах отдельных зкономических подсистем имеет место стабильность в условиях совершения массовых событий. Так, Э93 4АСТЬ П.

Математическая статистика прежде всего в процессе прогнозирования подразумевается возможность многократного повторения производственной ситуации, при наличии других существенных и несущественных факторов, однако при относительно стабильном комплексе внешних условий. Таким образом, приходим к следующей теоретико-вероятностной схеме.

Результирующий показатель у является функцией существенных (х„х„..., х,) и несущественных факторов (ем ея - т ек) у Р(хо " т Хя, яп ... яя). Несмотря на инертность поведения экономических систем, особенно больших, возможно их резкое изменение в связи с достижениями научно-технического прогресса. В новых условиях, вообще говоря, следует рассматривать другую функцию. Однако исходя из предположения эволюторности поведения зкономической системы на относительно небольшом временном интервале и при сравнительно малых изменениях переменных, в принципе, с помощью полиномов можно с высокой степенью приближения описать любую эволюторную функцию. В случае же невозможности линеаризировать функцию (разлагая в ряд нли преобразуя ее) при небольшом числе коэффициентов используют методы нелинейного оценивания.

Линейная регрессия двух переменных и ее различные экономические приложения более подробно разобраны в 513.3. $ аВ.З. Выборочные коэффициенты корреляции и их применение Основными характеристиками, описывающими степень свя- зи между составляющими Хи Удвумерной случайной величины (Х, У), являются ковариация соч(Х,У)=та =ти(Х вЂ” а„)(У-а,) и р,т коэффициент корреляции р = "', который является мерой о„о, линейной зависимости между Х и К Так как в случае статистических данных закон распределе- ния двумерной случайной величины неизвестен, для оценки тесноты связи применяется эмпирическая (или выборочная) 1" ковариация тс = — ~(хт-х)(у,.-у) и эмпирический (или выболт, рочный) коэффициент корреляции. Э94 Глава «8 ф Выборочным коэффициентом корреляции для выборки вида (х„у,), (х„у,), ..., (х„, у„) называется выборочная характеристика л ~(х,. -х)(у, -у) Выборочный коэффициент корреляции может принимать значения от — 1 до +1.

Он сходится к теоретическому коэффициенту корреляции соответствующих случайных величин, если тот существует. По абсолютной величине и знаку коэффициента можно судить о степени зависимости (сильная или слабая) и характере (положительная или отрицательная). Выборочный коэффициент корреляции обычно используется в предположении нормального закона распределения данных (нормальность данных). Как известно, в этом случае из равенства нулю теоретического коэффициента р следует независимость случайных величин (в более общем случае это неверно). В случае нормального распределения можно проверить гипотезу р = О. Пусть Г~Я-22 ~/1-г Если гипотеза р = О верна, то Т имеет распределение Стьюдента с л — 2 степенями свободы.

При уровне значимости а выберем критическую точку Гав = Г„,(а; и — 2) для двусторонней области. Если ~Х~ < г„,, гипотеза р = О принимается, иначе — отвергается. В случае, когда нормальность данных нарушается, применение выборочного коэффициента корреляции может вести к ошибкам: либо «не заметим» зависимость между величинами, либо получим ложную корреляцию. Существуют коэффициенты и методы, свободные от предположения о нормальности. Наблюдения всегда можно упорядочить по возрастанию какой-либо переменной (х или у). Рангом наблюдения называется его номер в таком ряду.

Если какое-то значение переменной встречается несколько раз, ему приписывается средний 395 й) ЧАСТЬ И. Математическая статистика ранг. Обозначим ранги наблюдений по возрастанию х и у через гт и з,. соответственно. Пусть и Я=~(б-з,.)'. Выборочным коэффициентом ранговой корреляции Сиирмена называется величина бЯ и =1- з л -и Этот коэффициент также может принимать значения от — 1 до +1. Аналогичным образом он отражает силу и характер зависимости между величинами. Для проверки гипотезы о независимости случайных величин существуют специальные таблицы критических точек.

Однако при больших п можно проверять гипотезу так же, как для обычного выборочного коэффициента корреляции. Заметим, что с помощью коэффициента Спирмена можно анализировать и ситуации, когда некоторый признак объекта («качество», «привлекательность» и т.п.) нельзя строго выразить численно, но можно упорядочить объекты по его возрастанию или убыванию, т.е. нрораижировать их. Задача 1. В табл. 18.1 представлены средние цены (руб.), на растительное масло и сахар-песок в 12 городах Центрального района России на июнь 1996 г. (рис. 18.4). Таблица гад 396 Глава л8 ® Продолжение вабл. 18. 1 Цены нв мвсло и свар в арорвх Цвнсрвлыай России 4600 4400 4200 - 4000 в 3800 З600 ~1 3400 3200 3000 6000 6000 7000 8000 0000 10000 11000 Цены нв мвсло, ррб. Рмс.

ва.й Вычислить выборочный коэффициент корреляции между ценами на растительное масло и сахар. Проверить нулевую гипотезу на уровне значимости а = 0,1. Решение. Выборочный коэффициент корреляции г = 0,82. Имеем 2"= ' 4,53, в то время как 7„,(0,1; 10) = 1,81. 0,8240 л/1 -0,82' Таким образом, нулевая гипотеза отвергается. Связь между ценами на растительное масло и сахар оказывается довольно сильной и положительной.