Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 59

4. а) й; б) И. 5. а) Все три станка потребуют внимания рабочего в течение часа; б) хотя бы один станок потребует внимания рабочего в течение часа; в) только один станок потребует внимания рабочего; г) два станка потребуют внимания рабочего; д) нн один станок не потребует внимания рабочего. б.а) Атт — мужубольше40летионстаршежены;б) АттВ- мужу больше 40 лет, но не старше жены; в) Ат тС вЂ” каждому из супругов больше 40 лет; г) Ат.тС вЂ” хотя бы одному из супрутов свыше 40 лет; д) А т.т  — либо мужу свыше 40 лет, либо он старше жены; е) ВттС вЂ” муж старше жены и жене больше 40 лет. Вычислительные задачи 7.

а) А,А,А,+А,А,А,+А,А,А,; б) А, А, А,; в) А,А,А„р = = 0,488. 8. а) А, А Ат ', б) А, ' Аг А, + А, ' Аг А, + А, ' А, ' А,; в) А,А,А„р = 0,784. 9. а) А,; б) А,А,; в) А,; р = 0,09. 10. 0,075. 11. 0,75. 12. 0,535. 13. 0,5. 14. 0,51. 15. 0,67. 16. 2/7. 17. 0,512. 18. 0,099. 19. 0,476. 20. 0,98. 21. 0,5. 22. 7/15. 23. 0,25. 24. и > 17. 25.

2/9. 26. 0,5. 27. 0,085. 28. 0,722. 29. 0,328. 30. 0,9148. 31. 0,2089. 32. 0,077. 33. 0,55. 34. 0,75. 35. 0,00207. 36. 0,014. 37. 0,182. 38. Стрелок В попал в мишень с вероятностью 10/19 и не попал с вероятностью 9/19. Более вероятно, что он попал. 39. 0,138. 40. 0,83.

41. 0,2499. 42. 0,66. 43. !7/45. 44. 4/45. 45. 0,2. 46. 5/9. 47. 7/12. 48. 0,22. 49. 12/13. 50. а) 0,38; б) 0,25; в) 0,41; г) 0,59. 4о7 Ответы и указания Глава 4 1. 0,05. 2. 0,058. 3. 0,008!. 4. 0,05. 5. 0,82. б. 0,019. 7. 0,998. 8. а) Вероятнее выиграть одну партию из двух; б) вероятнее выиграть две партии из четырех. 9. и = 7. 10. и > 645. 11.

и > 58. 12. и ~ 5. 13. и ~ 5. 14. 0,4096. 15. 5. 16. 21. 17. а) 2; б) 0,324; в) 0,0109. 18. 5; р = 0,2078. 19. и = 11, 12, 13. 20. и = 14, 15, 16, 17. 21. а) 0,9876; б) 0,5. 22. а) 0,00125; б) 0,998 (воспользоваться формулой Пуассона).

23. 0,616 (формула Пуассона). 24. 0,981 (интегральная формула Муавра — Лапласа). 25. 0,195 (формула Пуассона). 26. 0,8185. 27. а) 0,135; б) 0,676. 28. 0,813. 29. 0,079. 30. 0,463. 31. 0,175. 32. 0,981. Р(ти>11=1-Р(0)=1-е '=0,632. Отсюда Ъ.ы1 и Р(т<3)=Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)ы0,981 (формула Пуассона). 33. 0,1379. 34. 440. 35. 0,998. 36. От 73 до 107. 37. е = 0,057. 38. от 3904 до 4096. 39.

и > 49 923. 40. и > 18 507. 41. 0,4992. 42. 0,35. 43. 0,384. 44. 0,08505. 45. 0,131. Указание: рассмотреть полиномиальную схему: три испытания (три покупателя) с тремя исходами (требуемый размер костюма), выписать все возможные запросы, соответствующие событию, что ни один покупатель не ушел без покупки. 46. 0,00756. 47. 300. Указание: вычислить вероятность хотя бы одного выигрыша.

Обозначив через и число купленных билетов, найдите и из неравенства для вероятностей. Решая неравенство, удобно воспользоваться приближенным соотношением 1п(1 — х) = х (для малых х) и тем, что е' = 20. Это дает практически точный ответ. 48. 25; 0,96. 49. 7/!б. 50. 0,38. 51. 9; 0,24. 52. 15/128. 53. 10/81. 54. а) 0,14375; б) 0,0612. 55. 0,384. Глава 5 Теоретические задачи " 1.' 1. Воспользуйтесь разложением т ~— =е".

2. Воспользуйтесь .-ей! представлением г,=г!+...+~„, где г„=О в случае неудачи в т-м испытании, и ~, =1 в случае успеха. 3. Воспользуйтесь тем, что ир' ' =(р")'. 4. Мт! = 0; 1)!! = 1. 4ов Ответы к уквэвккя Вычислительные задачи 0 1 2 3 4 5 5 0,0729 0,0081 0„00045 0,00001 Р 0,59049 0,3280 1 2 3 Р 07 021 009 10.

13. 14. 2 3 4 Р 0,25 0,25 0,5 16. 17. а) Р(4>2)=1-Р(Ц<2)=1-Р(0)-Р(1)-Р(2)=1-5е '=0323; 4о9 Ответы и уназанив б) Р(~<1)=Р(0)+Р(1)=3е ' =0,406; в) Р~ф<21=5е '=0677. 18. 5 (геометрическое распределение). 19. 5 (геометрическое распределение). 20. 40,96. 21. а) 12; б) 18. 22.

М~=14; Юг,=35/3. 23. М4ы7/2; 214=35/12 24 М4ы1624' 274=0*811 25. 15 ; 187,2 (руб.). ; 2,952. ; 1,8. 30. -1,3 (руб.) 31. , 4 и т1 — зависимы; сот(~+т), ~-т))=-0,44. 33. ; 4 и т1 — зависимы; сов(2ф-Зт1 ~+2т1) 13/6 4то Ответы и указания ; ~ и т) — зависимы; соу(2т) + Р„т)+ «) = -49/81. 35. ; 4 и т) — зависимы; соу(ф-т) 2~+т))=-913/288, ; е и т) — зависимы; соу(2~+т), З~-т))=406/81. 37. М4=3/2; Р~= 3/4; о= ГЗ/2; Р(-1<~<3/2~=1/2; О, х<0, 1/8, 0<х<1, 1/2, 1<х<2, 7/8, 2<х<4, 1, х>4. Г(х) = 38. М4=7/4; 0~=55/1б; о=1,854; Р~5/2<~<5~=1/8; Р(х) = х>5.

39. М~ = 49/18; 2)~ ы 2,312; о ы 1,52; Р(1 /2 < ~ < 7/2~ = 7/18 х~О, 0<х~1, Г(х) = 411 О, 1/4, 3/4, 7/8, 1, О, 1/9, 1/3, 1/2, 1, х<-1, -1<х<2, 2<х<3, 3<х<5, 1<х<3, 3<х<4, х >4. ! ! Ответы и указания 40. М~=О; 1)г=18/7; оы1,604; Р(-3/2<г<2)=5/7;; О, х<-2, !/7, -2<х<-1, 4/7, -1 <х < 1, 6/7, 1<х~3, 1, х>3. Г(х) = 41.

0,356. 42. 0,6. 43. а) 153,76; б) 119,29; в) !16,41. 44. 6 акций первой компании и 4 акции второй компании. 45. 9 акций первой компании и 3 акции второй компании. ; б) 46. а) х 0 ; г) в) 47. а) ; б) у -1 в) <ра„! /2 0 1 х -1 1 -1/2 0' така 1/6 -1/6 ' 48. а) ; б) х — 1 1 тряа 15/! 1 9/7 в) ; М(Цт! = 4) = 22/7; 49. а) Ответы и указания ф 50. Биномиальное распределение с параметрами н и р= —, Л! Л,+Л, Ю, функция регрессии трь,я(/т)= ', lс = О, 1, 2, ..., н.

1 з Глава б Теоретические задачи 1. Воспользоваться формулой для плотности функции от случайной величины. 2. а) Р(т1, <х)=1-Р(гн >х,~з <х„...,Е,„~х)=1-(Р(Ч<х))" =1-е ' б) Р(т1,<х)=Р(ги<х,гз<х,...,4„<х)=(Р(4<х))"=(1-е )". 3. Найти функции распределения для тт, и ттз методом, использованным в задаче 2, и вычислить их математические ожидания. 4.

а) а= —; б) Р(х)= — + — агстах; в) Р(-1<С<1Ц=1/2. 1 ! 1 л 2 л 5. а= —; М~=О,РГ,= —; Р(1г~<т(Р<) =1-е ~ =075;; Л 2 -./з 2 Л' Р()Ь,)<3,/ЗЦ=1-е '~ =0,98.. б. а) 0,9974; б) 0,9817; в) 1. 7. р(х)=-~1- — ~, (х)<а; т)Ц = 0; РЦ = —. 1 ( (х( ) а' а~ а~ 6 8. Воспользоваться методом геометрической вероятности: т з з 2 Я' Р(р < х) = Р(Ь,'+т)' <х') = — = —; х е(О,Рт]; Мр= — РнРр = —.

лдт Яз' ' ' 3 18 и 6С гыО„ Лз 9. а) нь(г)= т(ь-а)' " б) нтт(г)= з з.!г1<л. 1, у=О; 10. Указание. Изучить соответствующие интегралы на сходимость. 4тЭ Ответы и указания Вычислительные задачи х<-1 О, 9 (х+1), -1~х~2; Ми=1;Рфз <1~=4/9, 1, х>2; П. С=2/9;Г(х)= О, х<-2, -х'+1Ох+24 2 <1 М~ 33 1, х>1; 12. С=2/33; Р(х)= Р(0 <1 < 21= 3/11. О, х<3, 3<х>5, М<=25/6; 8 1, х>5; 13. С=1/4;Р(х)= Р~4 < <,<бт)= 5/8. (О, х<0, 14.

С=1/2;Г(х)=~ * „, ' математическое (1-(х+1) ыз, х>0; ожидание ие существует; Рф Г-1/3~<1)=1-(7/3) О, -(Зх-х +2), -1<х<1, з 4 1, х>1; 15. С=З/4;Г(х)= М< = 0; а1Г =1/5 Р 8 с, -1/ 2 ~ < 1/41= 35/128. 16. С=1;Г(х)= ' ' М1,=-1,31=1;Р(-2<1<1)= '11, х~О; ' =0,86. ! 4зл ! 17. Р(х)= з ' М1=0 01=2 Р(-1<Ц<3~=079 (те ", х>0; Ответы и указания 18. р(х) = ' ' ' М»=1/3, Р» =1/18. [О, хе[0, Ц; 19.

Р(2~»<5)= —; Р(5<»<7)=-. 3 1 4' 4 О, х<0, х х' — — 0 < х <10, Среднее время ожидания— 6 150* 1„х >10; 20. Р(х)= 3,89 минуты. 21, Указание: доказать, что случайная величина п=птах(»,24-») распределена по равномерному закону на [12; 24[. Ответ: 18 см. 22. Указание: доказать, что случайная величина т)=ш(п(»,12-») распределена по равномерному закону на [О; 6[.

Ответ: 3 см. Глава Т Теоретические задачи 1. а) р(х)= О, х<0, 1 а' в) р(х)= —,1п —, 0<х<а; г) р(х)= 1/2, 0<х<1, 1/(2х'), х > 1; 2. Достаточно доказать это свойство для «центрированных» случайных величин, т.е. для тех, у которых М», = 0. Воспользоваться формулой свертки, учитывая соотношение 3. Рассмотреть функцию распределения для и.

4зз О, х<0, х/а', 0<х<а, (2а — х)/а', а > х к 2а, 0 х>2а. О, х<-а, (а+ х)/а',-а < х < О, (а-х)/а',0 <х <а, О, х>а; Ответы и указания Вычислительные задачи 4. С= —, р(х)= — при хе(О,Ц; Р(0,25 < т1 < 0,64) = 0,3. 1 1 2 2 т'х 5. р(х)= при хе[2;10]. ! 4 /х-1 б. р(х)= — е" при хе[-1пЗ; О]. 1 2 7. р(х)= при хе[1; 10). 1 бт/10-х 8. р(х) =, при х > 0.

2 (хь1)' ! 1~ 1ит 9. р(х)=,е з при хыО. 6~/2х]х! 10. р(х)= —,~1- — [ при х>1. 2( 11 х'~ х! 11. р(х)= е" при х>0. /2ттх Указание: вычислить функцию распределения для т1 и продифференцировать ее. 12. а) р(х)=е" при х>0; б) р(х)= — е 'т* при х>0; 2 Гх в) р(х)=22хе ~ при х>0; г) равномерное распределение на отрезке [О; Ц.